2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二下学期3月月考数学检测试题一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分）1.已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据规律，利用观察法求出通项即可.【详解】因为的前4项依次为，所以的一个通项公式为．故选：．2.一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（）A.－2 B.－1 C.0 D.2【正确答案】D【分析】由导数定义求解即可；【详解】;故选：D3.设数列的前项和，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出.【详解】数列的前项和，则.故选：A4.在数列中，，则（）A12 B.16 C.32 D.64【正确答案】D【分析】根据题意，为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：D.5.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值.【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列，则，所以，.故选：B.6.在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（）A. B.2 C.3 D.4【正确答案】B【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比.【详解】由题设，易知是方程的两个根，又为递增的等比数列，所以，故公比.故选：B7.数列中，，，，那么（）A. B.1 C.3 D.【正确答案】B【分析】通过递推公式找出数列的周期性计算即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以是以6为周期的周期数列．因为，所以．故选：B8.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数据：）A.964万元 B.2980万元 C.3940万元 D.5170万元【正确答案】C【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解.【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，依题意，当时，，即，因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即，则，所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.故选：C二、多选题（本题共3题，每小题6分，共18分）9.记为等差数列的前项和，已知，则（）A.的公差为3 B.C.有最小值 D.数列为递增数列【正确答案】BC【分析】根据等差数列通项公式及等差数列前n项和基本量运算分别判断各个选项即可.【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，所以当时，取到最小值，故C正确；对于D，，且，故D错误.故选：BC.10.已知在正项等比数列中，，，则（）A.的公比为2 B.的通项公式为C. D.数列为递增数列【正确答案】AC【分析】应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D.【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以，又，所以，即，所以，，A，C正确，B错误；对于D，，则数列为递减数列，D错误．故选：AC．11.已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.若，则数列为等差数列B.若，则数列是公差为的等差数列C.若，则D.若，则【正确答案】AD【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的性质，逐一判断各个选项即可.【详解】对于A，当时，，数列为等差数列，A正确；对于B，，则是公差为的等差数列，B错误；对于C，当时，，则，，因此，，C错误；对于D，，D正确.故选：AD三、填空题（本题共3题，每小题5分，共15分）12.数列是以2为首项，3为公差等差数列，则__________．【正确答案】【分析】利用等差数列通项公式计算推理即得.【详解】依题意，，故得.故答案为.13.曲线在处的切线方程为__________.【正确答案】【分析】对函数求导求出处的导函数值，即为所求切线斜率，再求出切点坐标，再利用点斜式方程即可得切线方程．【详解】当时，，，所以曲线的切线的斜率，切点，故切线方程为，即故14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______．【正确答案】①.25②.【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式.【详解】正方形数所构成数列的第5项是，五边形数所构成数列满足，，，，，所以，，累加可得，当时成立，所以.故25；四、解答题（本题共5题，共77分）15.已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；(2)利用裂项相消求和.【小问1详解】因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，即，所以，联立解得，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以.16.已知函数，已知.（1）求函数的解析式；（2）设，求曲线的斜率为的切线方程．【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函数的解析式；（2）求出函数的解析式，求出，由，求出切点的坐标，利用导数的几何意义可求出切线的方程.【小问1详解】对，求导可得，所以，．解得，则.【小问2详解】因为，对求导可得．因为曲线切线斜率为，由，整理可得，解得或．当时，，此时，切线方程为，即；当时，．此时，切线方程为，整理得．综上所得，的斜率为的切线方程为或．17.已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列：（2）求数列的前项和.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由题意得，即可证明结论.（2）由（1）计算数列的通项公式，分组求和即可得到结果.【小问1详解】因为，所以，即，又，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得，，所以，所以.18.记为数列的前项和，且.（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）设数列的前项和，证明.【正确答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）根据，结合等比数列的定义及通项即可得解；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】由，当时，，所以，当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】由（1）得，则，，两式相减得，所以，因为，所以.19.若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”.（1）已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围；（2）已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由；（3）已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”.【正确答案】（1）（2）不存在符合要求的实数，理由见解析（3）证明见解析【分析】（1）利用“超1数列”的定义得，且，即可求得结果.（2）先假设存在实数，使得对恒成立，等价于对恒成立.推出矛盾即可证明.（3）由正项等比数列是首项为1，公比为整数“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况讨论，利用“超1数列”的定义证明数列是“超1数列”【小问1详解】由题知，，且，解得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】不存在，理由如下：由题知，对恒成立，所以数列是等差数列，且，公差为，所以.假设存在实数，使得对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立.当时，；当时，恒成立，因为，所以，与矛盾，所以假设不成立，故不存在符合要求的实数.小问3详解】由题意，设数列的公比为且，则.因为，所以在数列中，为最小项.所以在数列中，为最小项.因为为“超1数列”，所以只需，即，又，所以.又不是“超1数列”，且为最小项，所以，即.又，所以，又，所以或4.当时，，令，则，所以为递增数列，即，因为，所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.当时，，令，则，