湖南长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月第一次学情检测数学试卷含答案或解析

湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B．5 C． D．2．设，则，，则，，的大小关系是（

）．A． B． C． D．3．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．4．已知点，，．则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．6．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是（参考数据：，）（

）A．年 B．年 C．年 D．年7．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心8．在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（

）A．1 B． C． D．2二、多选题9．设、为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．若，则10．已知向量，，则下列说法正确的是（

）.A．若，则 B．若，的值为C．的取值范围为 D．存在，使得11．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（

）A．的取值范围是B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是D．若三角形是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为三、填空题12．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是.13．设复数，，则的取值范围是．14．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为.

四、解答题15．设三角形的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，.(1)求三角形外接圆半径；(2)若三角形的面积为，求的值.16．已知向量，满足，.(1)若，求与的夹角；(2)若对任意的实数，恒成立，求与的夹角.17．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5nmile，与小岛D的距离为nmile，为钝角，且.(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；(2)记为，为，求的值.18．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.(1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；(2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值；(3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.参考答案1．A【详解】因为，所以，故选：A．2．B【详解】，所以有，因为，所以有，故选：B3．A【详解】关于的一元二次方程有实数解，则，解得，结合选项可知的一个必要不充分条件的是.故选：A.4．C【详解】因为，，．所以，，，所以向量与的夹角为钝角，因此量在上的投影向量与方向相反，而，，所以在上的投影向量为，故选：C5．B【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.6．C【详解】设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，因为该市年全年用于垃圾分类的资金为万元，每年投入的资金比上一年增长，所以后第年该市全年用于垃圾分类的资金为，由已知所以，两边取常用对数可得又，所以.所以后第年，即年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿.故选：C.7．B【详解】对于①，因为①，所以点O到点的距离相等，即点O为的外心;对于②，因为，所以，所以，即，同理，即点O为的垂心;对于③，因为，所以，设D为的中点，则，即点O为的重心;对于④，因为，故，整理得.又，所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.故选：B8．B【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，

由于，则，则，而，即有,故，因为，，当且仅当，即时取等号，故当时，取到最大值，故选：B9．BC【详解】对于A选项，取，，则，A错；对于B选项，设，，则，所以，，B对；对于C选项，设，，则，，，则，，则，故，C对；对于D选项，取，，则，但，D错.故选：BC.10．AB【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，因为，所以的值为，故B正确；对于C，，因为，所以，，所以的取值范围为，故C错误；对于D，，所以，，若，则，得，解得，因为，所以，解得，因为，所以无解，故D错误.故选：AB.11．BC【详解】因为，所以，所以，所以，即，又，所以，，因为，所以，所以，所以，故A错误；因为，所以，所以，又，所以，即，当且仅当即时，等号成立，所以，即的面积的最大值为，故B正确；，因为，所以，所以，所以，所以，故C正确；由题意得：，由角平分线以及面积公式得，化简得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时，而，所以，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D错误；故选：BC12．【详解】因为函数是上的增函数，则，解得.故答案为：.13．【详解】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环，而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离，即圆环内的点到点的距离．由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，．故答案为：.

14．【详解】，，，存在实数，使得，即，又，则，，，，则，故答案为：．15．(1)(2)【详解】（1），则，则，,故外接圆半径R满足：；（2）因三角形的面积为，则，结合，，可得，则.16．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即，又，所以，可得：，所以，又所以与的夹角为；（2）设与的夹角为，因为恒成立，所以得，整理得，由，可得对一切实数恒成立，所以，即，又因为，所以，即.又，所以，即与的夹角为.17．(1)nmile；nmile2.(2)【详解】（1）为钝角，且得，因，则，,在中利用余弦定理得，在中利用余弦定理得，将代入得或（舍），或（舍），则小岛A与小岛D之间的距离为nmile，四个小岛所围成的四边形的面积为nmile2（2）在中利用余弦定理得，，因，则，则，，则.18．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，因为是线段的中点，所以，又因为，设，则有，因为三点共线，所以，解得，即，所以．（2）因为，，由（1）可知，，所以，因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，