多模态信号处理基础 课件 第5章 拉普拉斯与Z变换

拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是在复平面中，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s

，故称为s域分析。拉普拉斯变换的定义Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)

的双边拉氏逆变换（或原函数）。1.双边拉氏变换双边拉普拉斯变换对2.单边拉氏变换考虑到实际信号都是因果信号，采用0-系统，相应的单边拉普拉斯变换为拉普拉斯变换的定义3.收敛域只有选择适当的

值才能使积分收敛，信号f(t)的拉普拉斯变换存在。

F(s)收敛域：使f(t)拉氏变换存在的

取值范围。单边拉氏变换收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换，简称拉氏变换。拉普拉斯变换的定义例1因果信号f(t)=e

t

(t)

，求其拉普拉斯变换。可见，对于因果信号，仅当Re[s]=

>

时，其拉氏变换存在。解收敛域收敛边界

对于反因果信号，仅当Re[s]=

<

时，其拉氏变换存在。例2反因果信号f2(t)=e

t(-t)，求拉氏变换。拉普拉斯变换的定义收敛域收敛边界

拉普拉斯变换的定义例3

双边信号求其拉普拉斯变换。其双边拉普拉斯变换仅当

>

时，其收敛域为

<Re[s]<

的一个带状区域。收敛域收敛边界拉普拉斯变换的定义解象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。例4求下列信号的双边拉普拉斯变换。拉普拉斯变换的定义4.常用函数的拉普拉斯变换序号时域表示s域表示1

(t)

2

(t)或13e-αt4cos

0t

5sin0t

6t1

请回答如图所示信号的单边拉氏变换是否相同。相同不同不能确定ABC提交单选题1分单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质序号性质序号性质1线性7卷积定理2尺度变换8s域微分3时移9s域积分4s域平移10初值定理5时域微分11终值定理6时域积分单边拉普拉斯变换的性质若a,b为常数,则1.线性性质例故

的拉斯变换。求因为单边拉普拉斯变换的性质2.尺度变换若则例已知解单边拉普拉斯变换的性质3.时移特性若则证明令则有代入上式单边拉普拉斯变换的性质解：单边拉普拉斯变换的性质4.s域平移特性若则例已知且有复常数单边拉普拉斯变换的性质5.时域微分特性若则推广6.时域积分特性若则单边拉普拉斯变换的性质推广若为因果信号，则单边拉普拉斯变换的性质分析单边拉普拉斯变换的性质7.卷积定理若则时域卷积定理复频域（s域）卷积定理单边拉普拉斯变换的性质8.s域微分特性若则n取正整数例求的拉斯变换。单边拉普拉斯变换的性质9.

s域积分特性则例求的拉氏变换。若单边拉普拉斯变换的性质10.初值定理若例则设函数不包含及各阶导数，且已知，求单边拉普拉斯变换的性质11.终值定理若例则f(t)当t→∞时存在，并且

f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，单边拉普拉斯变换的性质若例𝐹(𝑠)不是真分式,应化为真分式𝐹(𝑠)中有常数项，说明

𝑓(𝑡)中有𝛿(𝑡)项。解拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换常用的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开两种或三种方法结合拉普拉斯逆变换通常象函数F(s)是s的有理分式，可写为：式中，ai,bi为实数，m,n为正整数。2.若m≥n

（假分式）,可用长除法将F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。1.当m<n,F(s)为有理真分式。讨论拉普拉斯逆变换多项式长除法由于，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。拉普拉斯逆变换零极点概念上式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根。

根p1

，p2···

pn称为F(s)的极点。

z1

，z2···zm称为F(s)的零点。零极点在复平面中的描述零点极点拉普拉斯逆变换拉氏逆变换的过程Step1求F(s)的极点Step2将F(s)展开为部分分式Step3查变换表求出原函数f(t)部分分式展开分三种情况1.F(s)极点为单极点（单阶实数根）2.F(s)极点为共轭复数3.F(s)有重极点（重根）拉普拉斯逆变换1.F(s)为单极点（单阶实数根）例已知，求其逆变换。Step1求极点解拉普拉斯逆变换Step2展成部分分式Step3查变换表求出原函数f(t)拉普拉斯逆变换2.F(s)极点为共轭复数可见K1,K2是共轭关系：F(s)展开成部分分式和形式拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换3.F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，则先求K11。上式两边同时乘以得然后代入s=p1，即可求出K11。拉普拉斯逆变换依此类推，可得系数计算通式如下：再求K12。同理，对F(s)两边同时乘以得然后,上式两边对复变量s求导得代入s=p1，即可求出K12。拉普拉斯逆变换关于重根的逆变换利用积分特性可知故例已知，求逆变换。解由题知s=-2是单根，s=-1为2重根。部分分式展开为拉普拉斯逆变换所以z变换的定义与收敛域1.z变换的定义z变换的定义与收敛域——序列的双边z变换——序列的单边z变换——变换对z变换的定义与收敛域z变换定义为一无穷幂级数之和，只有当该幂级数收敛，即其z变换才存在。对于序列，满足所有z值组成的集合称为z变换

的收敛域——ROC

2.z变换的收敛域收敛域的定义：z变换的定义与收敛域（1）有限长序列z变换的收敛域收敛域：例1设有限长序列,其中,若

，求其z变换。常数有限序列z变换的收敛域一般为

，可能在

或/和也收敛。z变换的定义与收敛域(1)f(k)的双边z变换为收敛域为0<

z

<∞

(2)f(k)的单边z变换为收敛域为

z

>0例1

求有限序列的z变换

z变换的定义与收敛域（2）因果序列z变换的收敛域例2求因果序列解：的z变换。收敛域：仅当，即时，其z变换存在。

因果序列z变换的收敛域为圆外域例3求反因果序列解:

的z变换仅当即时，其z变换存在z变换的定义与收敛域（3）反因果序列z变换的收敛域收敛域为

反因果序列z变换的收敛域为圆内域z变换的定义与收敛域（4）双边序列z变换的收敛域例4双边序列解：的z变换其收敛域为

双边序列z变换的收敛域为圆环域注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。例求下面序列的双边z变换。f1(k)=2k

(k)←→F1(z)=

,

z

>2f2(k)=–2k

(–k–1)←→F2(z)=,

z

<2对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。z变换的定义与收敛域归纳总结：z变换的定义与收敛域有限序列z变换的收敛域一般为

，可能在

或/和也收敛。（d）双边序列z变换的收敛域为圆环域。（b）因果序列z变换的收敛域为圆外域。（c）反因果序列z变换的收敛域为圆内域。（a）序列收敛域的特点：因果序列反因果序列双边序列

z变换的定义与收敛域常用序列的z变换：

(k)←→1，

z

>0z变换的性质z变换的性质1.线性性质对任意常数例：若其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。则z变换的性质双边z变换的移位性质：若

，且对整数

，则单边z变换的移位性质：若

且有整数m>0,则前向移位：特例：若f(k)为因果序列，则后向移位：2.移位性质z变换的性质若

，且常数则

证明：同理：3.z域尺度变换求的z变换。例

已知解：即收敛域：z变换的性质4.卷积定理则

对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。例：求

的z变换F(z).解：z变换的性质若例：求

的z变换F(z).解：若

则

z变换的性质5.z域微分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂主观题10分若

，设有整数m，且k+m>0，

则若m=0,且k>0，则

例：求序列的z变换。解:z变换的性质6.z域积分若

则序列的初值

z变换的性质序列在k<M时，，且对因果序列f(k)，则若

序列在k<M时，，且则序列的终值

7.初值定理8.终值定理逆z变换逆z变换求逆z变换的常用方法有：幂级数展开法、部分分式展开法、留数法等。通常，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即

f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)

(–k–1)+f(k)

(k)相应地，其z变换也分两部分F(z)=F1(z)+F2(z)，<|z|<已知象函数F(z)及其收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得原序列f(k)。

可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。例：已知象函数其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。（1）|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2逆z变换1.幂级数展开法(1)

由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数(2)

由于F(z)的收敛域为

z<1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)按升幂排列展开为z的幂级数

|z|>2|z|<1逆z变换(3)F(z)的收敛域为1<z<2，其原序列f(k