浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题41 因式分解【九大题型】

专题4.1因式分解【九大题型】

【浙教版】

【逑型।囚式分解的意义】......................................................................1

【题型2利用因式分解求系数的值】.............................................................3

【题型3利用公式法进行因式分解求代数式的值】.................................................4

【题型4利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】.............................................6

【题型5因式分解】............................................................................7

【题型6利用添项进行因式分解】...............................................................10

【题型7利用拆项进行因式分解】...............................................................10

【题型8利用因式分解确定三角形的形状】......................................................12

【题型9因式分解在阅读理解中的运用】.........................................................13

【知识点1因式分解】

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把

这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+h+c)；

②公式法：a2~b2=(a+b)(a-b)；a2+2ah+b2=(a+b)2；a2-2ab+h2=(a-h\2<>

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c^d)+h(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a^p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法

分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法

分解因式

(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

【题型1因式分解的意义】

【例1】(2022•济宁)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-1)2

C.x2-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-1)=x2-x

【分析】根据因式分解的定义判断即可.

【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；

B选项计算错误，故不符合题意；

C选项是因式分解，故符合题意；

D选项不是因式分解，故不符合题意；

故选：C.

【变式1-1](2022秋•僧州校级期末)下列各式不能因式分解的是()

A.cr-b2B.a2-2a+1C.ab-aD.a2+h2

【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可.

【解答】解：同、原式=Ca+b)Ca-b),不符合题意；

B、原式=(4-1)2,不符合题意；

C、原式=〃(〃-1),不符合题意；

D、原式不能分解，符合题意，

故选：D.

【变式1-2](2022春•青川县期末)下列各式因式分解正确的是()

1

A."cr+a-a2+2a+1=(。+1)2

B.cr+ab-6b2=a(。+〃)-6h2

C.cr-b2-a-b=(a+b)CG-b)-a-b

D.a-2a2+a3=a(1-2a+a2)=a(1-a)2

【分析】直接利用因式分解定理判断即可.

【解答】解：A选项的系数不正确；

B、C选项不是因式乘积形式，不正确；

D,a-2a2+a3=a(1-2a+a2)=a(1-〃)？是正确的.

故选：D.

【变式1-3](2022秋•德惠市期末)给出六个多项式：①f+y2；②③片+火+尸；⑤x(x+l)

-2(x+1)；©m2-nm\2.其中，能够分解因式的是一②③④⑤⑥(填上序号).

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.

【解答】解：①/+y2不能因式分解，故①错误；

②-『+产利用平方差公式，故②正确；

③f+Zyy+.y完全平方公式，故③正确；

④产-|平方差公式，故④正确；

⑤x(x+l)-2(x+1)提公因式，故⑤正确；

+；…、

@nr-nm/完全平方公式，故⑥正确；

故答案为：②③©⑤⑥.

【题型2利用因式分解求系数的值】

【例2】(2022•攀枝花模拟)若关于x的多项式f-px-6含有因式x-2,则实数〃的值为()

A.-5B.5C.-1D.I

【分析】设f-px-6=(x-2)(A-«),右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等

的条件即可求出〃的值.

【解答】解：根据题意设x2-p.r-6=(x-2)(x-a)=f-(a+2)x+2a,

-p=-a-2,2ci=-6,

解得：a=-3,p=-\.

故选：C.

【变式2-1](2022春•聊城期末)如果100『+5，+49尸能分解为(10x-7y)2,那么k=・140.

【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解.

【解答】解：•・•(lOx-7)，)2,

=100『-140切，+49)2,

=100*+云”49产，

:.k=-140.

故应填-140.

【变式2-2](2022春•南山区校级期中如果/+加+辰+4有两个因式J+1)和(X+2),则a+b的值为13.

【分析】根据题意，可得V+af+ZuHTn(A+1)(x+2)(x+2)(%为任意实数)，再根据多项式乘多项

=(a-/>)2+(〃-c)2+(Z?-c)2

=(1999x+2000-1999x-2001)2+(1999x+2000-1999x-2D02)2+(1999x+2001-1999x-2002)2

=1+4+1

=6.

Xj=

/.cP+lr+c2-ab-be-ca=(>-3.

故选：

【变式3-1](2022春•新吴区校级期中)(1)已知x+y=4,专，=2,求^力冲力/9+与，的值；

=1\

(2)已知x•,化简并计算：(1-2v)2(2r+I)2-(3+2x)2(3-2r)2.

【分析】(1)原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，将x+y与孙的值代入计算即正求出值；

(2)原式利用积的乘方变形，利用平•方差公式分解得到结果，将x的值代入冲算即可求出值.

【解答】解：(1)Vx+y=4,xy=2,

工原式=2x.y(x+y)2=64；

(2)原式=(1-4*)2-(9-4/)2

=-8(1()-8^)

=-80+64/,

1

当x=l2时，原式=-8O+1M=64.

【变式3-2](2022春•洪泽区期中)一个长、宽分别为m、〃的长方形的周长为16,面积为6,则评川+加彦

为值为48.

【分析】根据长方形周长与面积公式求出〃?〃与，〃+〃的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值.

【解答】解：•・♦一个长、宽分别为，〃、〃的长方形的周长为16,面积为6,

.*.2(m+n)=16»/〃〃=6,

即〃?+〃=8,〃"?=6,

则原式=〃?〃(〃?+〃)=48,

故答案为：48

【变式3-3](2022•安顺模拟)已知〃尸=4〃+。，〃2=4/〃+a,〃2¥〃，则〃尸+2〃?〃+〃2的值为()

A.16B.12C.10D.无法确定

【分析】将〃「=4〃+。与/=4〃?+”相减可得(〃？-〃)(/2/+/H-4)=0»根据〃?#〃，可得/〃+〃+4=0,即

m+n=-4,再将加2+2〃?〃+〃2变形为(〃?+〃)2,整体代入即可求解.

【解答】解：将m2=4n+a与ir=4m+a相减得nr-n2=4n-Xm,

(〃?+〃)Cm-n)=-4(m-n)»

(m-n)(〃?+〃+4)=0»

“：m丰n,

.•・〃?+〃+4=0,即m+n=-4,

^.nr+2mn+n2=(〃?+〃)2=(-4)2=16.

故选：A.

【题型4利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】

【例4】(2022秋•新泰市月考)两个连续的奇数的平方差总可以被人整除，则攵等于()

A.6B.8C.6的倍数D.8的倍数

【分析】首先设两个奇数分别是2〃-1和2〃+1,把两个数的平方差进行分解因式，即可求得.

【解答】解：设两个奇数分别是2〃-1和2〃+1.

则(2/1+1)2-(2n-1)2

=4〃X2=8〃

则两个连续的奇数的平方差总可以被8整除.

故选：B.

【变式4-1](2022秋•河北区期末)对于任意整数〃，多项式5+7)2・/都能被()

A.2整除B.〃整除C.7整除D.〃+7整除

【分析】逆用平方差公式进行运算后即可判断.

【解答】解：(n+7)2

=(〃+7+〃)(n+1-n),

=7⑵+7).

•・•〃为整数，

：.7(2/2+7)是7的倍数，能被7整除.

故选：C,

【变式4-2](2022秋•荔城区校级期中)对于任意的正整数〃，能整除代数式(3〃+1)(3n-1)-(3-〃)

(3+〃)的整数是()

A.3B.6C.10D.9

【分析】根据平方差公式，可化简整式，根据提取公因式，可得因数.

【解答】解：(3n+1)(3〃-1)-(3-n)(3+n)=9/r-1-(9-n2)

=10n2-10

=10(7-1),

10能整除(3〃+l)(3M-1)-(3-n)(3+〃)，

故选：C.

【变式4-3)(2022春•招远市期末)已知424-1可以被60.70之间的某两个整数整除，则这两个数是()

A.61,63B.63,65C.65,67D.63,64

【分析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可.

【解答】解：424-1=248-1=(224+1)(224-1),

=(224+1)(2,2+1)(212-1),

=(224+1)(2,2+1)(26+1)(26-1)；

V26=64,

/.26-1=63,26+1=65,

・•・这两个数是65、63.

故选:B.

【题型5因式分解】

【例5】(2022秋•梅里斯区期末)因式分解

(1)-3xy+6xy・3孙％

(2)3x(a-b)-6y(b-a).

【分析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式；

(2)先利用相反数把(b-a)转化为Ca-b),再提取公因式.

【解答】解：(1)原式=-31尸(A2-Zry+y2)

=-3疗(x-y)2；

(2)原式=3x(a-b)+6y(a-〃)

=3(a-b)(x+2y).

【变式5-1](2022春•聊城期末)把下列各式分解因式：

(1)9孙2-15/,：

(2)-9«)叶3町，-6xyz；

(3)3m%-6〃〃1+3加；

(4)-24a2b-Sab2+2Sab3.

【分析】(1)提取公因式3盯进行因式分解.

(2)提取公因式-3町进行因式分解.

(3)提取公因式3〃?进行因式分解.

(4)提取公因式-4时进行因式分解.

【解答】解：(1)9x)2-15/『=3町，(3厂5/).

2f

(2)-9«)计311y-6xyz=-3x)(3x-y+2z).

(3)3nrn-6inn+3m=3rn(mn-2n+1).

(4)・24/〃-8。〃+28。护=-4ab(6a+2b-7Z?2).

【变式5-2](2022•碑林区校级开学)把下列各式分解因式：

(1)4.yyz-4.ryx-Mxyzx

(2)20*i户12i+叱2；

(3)-20c(«-b)2-25Cb-a)3；

(4)x(x-2)-x+2.

【分析】(1)利用提公因式分解即可解答：

(2)利用提公因式分解即可解答：

(3)利用提公因式分解即可解答：

(4)利用提公因式分解即可解答.

【解答】解：(1)4xyz--12xy2z=4xyz(1-x-)；

(2)20a“向庐叶4_“户计9〃+2=4"/%/2(5/,^2,3^).

(3)-20c(«-b)2-25(b-a)3

=-20c(b-a)2-25(b-a)3

=-5(b-a)2[4C+5(b-a)]

=-5Ch-a)2(4c+5b-5a)；

(4)xG-2)-x+2

=x(x-2)-(x-2)

=(x-2)(x-I).

【变式5-3](2022•寻乌县模拟)把下列各式分解因式：

(1)6(«-/?)2+3(a-b)；

(2)x(x-1)-3x+4；

(3)/(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)；

a5-+^-ab4

(4)-U.

【分析】(1)利用提公因式法分解；

(2)先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解;

(3)先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；

(4)先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解.

【解答】解：(1)6(a・b)2+3(a-b)

=3(a-Z?)[2(a-b)+1]

=3(a-b)(2a-28+1)；

(2)x(x-I)-3x+4

=f-x-3x+4

-4x+4

=(x-2)2；

(3).F(r-1)+2A-(/-1)+(/-1)

=()，27)(x2+2r+l)

=(y+1)(y-1)(x+1)2；

—•■+—•

=a(/%2b2'%4)

1

=a(a14b2)2

+2

=a(a*1/?)2(a7?)

【题型6利用添项进行因式分解】

(ft6](2022春•市中区期末)因式分解：x4+4y4

【分析】运用添项法因式分解.

【解答】解：乂+4)，4=_?+4『)，2-4尸-4小产，

=(f+Zy2)，底广

=(A2+2.V2+2X.V)(W+2.V2-2xy)

【变式6-1](2022秋•鱼台县期末)因式分解：-2ar-b2-2ab.

【分析】运用添项法因式分解.

22

【解答】解：x-lax-b-2abr

=f-2ax+cr-cr-Ir-lab,

=(x・a)2-(fl+Z?)2,

=(x-a+a+b)(.x-a-a-b)»

=(x+。)(x-2a~b).

【变式6-2](2022春•永定区期中)把多项式f+324因式分解.

【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可.

【解答】解:丁+324=f+36«+324-36，

=(f+18)2-36A2

=(f+18)2-(6x)2

=(JT+18+6A)(X2+18-6.r).

【变式6-3](2022•柳南区二模)分解多项式。-1的结果是—

【分析】补上比第一项的指数小1的项逐次分解因式即可.

【解答】解：原式=/-/+/_.3+/_/+序_-1

=/(«-I)+/(a-1)+a2(a-1)+a(a-1)+(a-1)

=(«-I)(a4+ay+a2+a+1).

故答案为：(t/-1)(/+/+/+〃+]).

【题型7利用拆项进行因式分解】

[ft7](2022秋•江油市期末)分解因式：加2+6〃计8.

【分析】把8变为9-1,利用拆项法分解.

【解答】解："『+6/"+8

=nr+6m+9-1

=(m+3)2-1

=(〃?+3+1)(in+3-1)

=(〃?+4)(m+2)

【变式7-1](2022春•市中区期末)分解因式：a2-6«+8.

【分析】加1再减h可以组成完全平方式；

【解答】解：。2-64+8,

=a2-6。+9-1,

=(a-3)2-1,

=(fl-3-1)(a-3+1),

=(a・2)(a・4)

【变式7-2](2022•寻乌县模拟)把『-4,计3因式分解.

【分析】常数项先加上1再减1,前三项构成完全平方式，再利用平方差公式因式分解，亦可把-4%写

出-3x-K的形式，分组后提取公因式.

【解答】解：法一、?-4x+3+l-1

-4x+4-1

=(x-2)2-1

=(jr-2+1)(x-2-1)

=(x-1)(x・3).

法二、x2・4x+3

=F-x-3%+3

=x(x-i)-3(x-1)

—(x-1)(x-3).

【变式7-3](2022秋•微山县月考)分解因式：/+]042+际.

【分析】把9/变为25尸76以利用拆项法分解.

【解答】解：♦+]解2/+9小

="+10/〃+25〃-16〃

=("+5属)2_(4〃)2

222

=(。2+5/+4〃)(a+5b-4b)

=(a2+9b2)(a2+h2).

【题型8利用因式分解确定三角形的形状】

【例8】(2022秋•鱼台县期末)已知：a,b,c为△A8C的三边长，J.2a2+2b2+2c1=2ab+2ac+2bc,试判

析8c的形状，并证明你的结论.

【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出。=0=c,即可得出答案.

【解答】△48C是等边三角形.

证明如下：

,/2«2+2/?2+2?=2ab^-2ac+2bc,

・・・2〃+2/+2(?2-2ab-2ac-2从=0,

a2-2ab+b2+a2-2ac+(r+b2-2bc+c2=0,

2

(67-h)2+(a-c)+(f)-c)2=0,

(a-b)2=o,Ca-c)2=0,(Z?-c)2=0>得a=〃且a=c且〃=c,

2Pa=b=c,所以△ABC是等边三角形.

【变式8-1](2022秋•鱼台县期末)△A8C三边〃，6c满足2/+序+/=2a(〃+c),判断△ABC的形状,

并说明理由.

【分析】通过分组分解法把2M+护+/=2a3c)化为(a-b)2+(QC)2=0,然后利用平方的非负性,

得出a=〃=c,判断出△ABC是等边三角形.

【解答】解：△/13c是等边三角形.理由如下：

V2a1+b1+c1=2a(b+c),

/.。耳片+/+廿=2ab+2ac,

a2+a2+b2+(r-lab-2ac=0,

(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+(r)=0,

Ca-b)2+(a-c)2=0>

'：(«-/?)220,(fl-(?)220,

/.(a-b)2=0,且(a-(?)2=(),

:.a=b=c,

・•・△ABC是等边三角形.

【变式8-2](2022春•乐平市期末)△A8C三边a,b,c满足标・出?-ac+儿=0,判断△A8C的形状.

【分析】先把/-〈山-ac+》c=0因式分解，得出(“・〃)(t?-c)=0,由此得出4=5，或。=的或a

=b=c,从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形.

【解答】解：•・•/・4力・。(?+庆=0,

(a2-ab)+(-ac+bc)=0,

a(a-b)-c(«-/?)=0,

(a-b)(ci-c)=0,

-。=0或a-c=0,。=8且。=，，

即a=〃，或a=c,或a=/?=c,

・•・/XABC是等腰三角形或等边三角形.

【变式8-3](2022秋•临沂期末)已知a,b,。为△A4C的三边，且序+2时=/+2心试判断△46C的

形状并说明理由.

【分析】把序+2aA=c2+2ac进行整理可得：(2a+b+c)(Z?-c)=0,而24+〃+cW0,只能是〃-c=0,

则有〃=c,即可判断△AZ?C是等腰二角形.

【解答】解：△ABC是等腰三角形，

理由：•・"2+2a/?=c2+2ac,

:•吩-W+2ab-2ac=0,

Cb-c)(b+c)+2a(b-c)=0»

(2a+b+c)(/?-c)=0,

,：2a+b+c^0,

*.b-c=0,即〃=c,

•••△ABC是等腰三角形.

【题型9因式分解在阅读理解中的运用】

【例9】(2022春•市中区期末)阅读下列因式分解的过程，再|可答所提出的问题：

1+x+x(x+l)+x(A+1)2

=(1+x)[\+x+x(x+l)]

=(1+x)2(1+x)

=(\+x)3

(l)上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次.

(2)若分解l+x+x(x+l)+X(X+1)2+…+%Q+1)2021,则结果是(1+')2022.

(3)依照上述方法分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)2+・・・+x(x+1)"(〃为正整数).

【分析】(1)利用提公因式法，进行分解即可解答；

(2)仿照已知的计算过程，即可解答；

(3)仿照已知的计算过程，即可解答.

【解答】解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，

故答案为：提公因式法，2：

(2)1+x+x(x+1)+x(x+1)4…+x(x+l)2021,

则需要用上述方法2021次，结果是(l+x)2022,

故答案为：(1+工)2。22；

(3)1+x+x(x+l)+x(x+l)耳…+xJ+1)”(〃为正整数)

=(1+x)[1+x+x(x+1)+...+X(x+1)n]]

=(1+x)2((1+x+x(x+1)+...+X(x+1)n'2]

•••

=(1+x)叫

【变式9-1](2022秋•徐闻县期末)阅读下列材料：

材料I、将一个形如｝r+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且〃=〃?+〃，则可以把.d+px+q

困式分解成(x+〃z)(x+〃)

(1)f+4.r+3=(x+1)(x+3)(2)x2-4x-12=(x-6)(x+2)

材料2、因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则原式=A?+2A+1=(A+l)2

再将“A”还原，得：原式=(x+v+1)2

上述解题川到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)根据材料1，把『-6x+8分解因式.

(2)结合材料1和材料2,完成下面小题：

①分解因式：(x-j)2+4(x-y)+3；

②分解因式："7(m+2)(m2+2m-2)-3.

【分析】(1)利用十字相乘法变形即可得；

(2)①根据材料2的整体思想可以对(x-y)2+4(x-y)+3分解因式；

②根据材料1和材料2可以对m(w+2)(〃尸+2〃?-2)-3分解因式.

【解答】解：(1)f・6x+8=(x-2)(x-4)；

(2)①令A=x-y,

则原式=*+4A+3=(A+l)G4+3),

所以(x-y)2+4(x-y)+3=(x・.y+l)(x-)H-3)；

②令B=ffr+2m,

则原式=8(8-2)-3

=B2-2B-3

=(8+1)(B-3),

所以原式=(m2+2m+1)(m2^2m-3)

=(m+1)2(//z-1)(m+3).

【变式9-2](2022春•吁胎县期末)(1)学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算(a+b+c)

2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；

①可以用“整体思想”把二项式转化为两部分：[(。+〃)也产或(〃+c)F，然后可以利用完全平方公

式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；

②可以用“数形结合”的方法，画出表示(a+〃+c)2的图形，根据面积关系得到结果.请你在下面方框

中画出图形，并作适当标注.

(2)利用(1)的结论分解因式：^+/+4-2xy+4x-4y=(x-y-2)2；

(3)小明根据“任意一个数的平方不小于()”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，

方法如下：

①VJ2-6A+7②-x2-2.V+3

=.F-6x+9-2=-(f+Zr+l)+4

=(3-3)2-2=-(x+1)2+4

,/G-3)22o•；-(x+1)2W0

A(x-3)2-2>-2.:.(X+1)2+4W4

故当x=3时代数式1-6x+7的最小值为-2故当x=-1时代数式・1・2x+3的最大值为4

请你参考小明的方法，求当x,y取何值时代数式"+产-2V-2什20有最小值，并确定它的最小值.

【分析】(1)①将前两项看作一个整体后用完全平方公式求解.

②利用面积关系画图.

(2)分组后用完全平方公式分解.

(3)配方后求最值.

【解答】解：(1)@Ca+b+c)2=[Ca+b)+c]2

=Ca