职教高考数学向量的加法与减法讲练结合

中职数学向量的加法与减法[知识整合]基础知识1．平面向量的概念(1)向量只有大小没有方向的量叫作数量，既有大小又有方向的量叫作向量．例如：力、速度、位移等都是向量．向量通常用有向线段来表示．具有方向的线段叫作有向线段．以A为始点，B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)向量的表示几何表示：一个向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．例如：用有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))表示向量时，就说向量eq\o(AB,\s\up6(→))，如图(1)，记作eq\o(AB,\s\up6(→))，A是始点，B是终点．印刷时，常用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时则用带箭头的小写字母…，表示．图(1)(3)向量的长(或模)如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，那么线段AB的长度，表示向量a的大小，也叫作a的长(或模)，记作|a|.(4)特殊向量①零向量：长度等于0的向量叫作零向量，记作0，即|0|＝0，零向量的方向是任意的．②单位向量：长度等于1的向量叫作单位向量．如：|a|＝1，则a为单位向量．③相反向量(负向量)与非零向量a长度相等并且方向相反的向量称为a的相反向量(负向量)，记作－a.规定：零向量的相反向量(负向量)仍为零向量．(5)相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．两个向量a与b同向且等长，即a与b相等，记作a＝b.(6)平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量称为平行向量，零向量与任何一个向量平行．2．平面向量的加法与减法运算(1)加法运算①向量加法的三角形法则——首尾连，首指尾．已知a，b，如图(2)，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，作向量eq\o(AC,\s\up6(→))，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫作向量a与b的和(或和向量)，记作a＋b.图(2)②向量加法的平行四边形法则——同起点，对角线．图(3)图(4)已知a，b，如图(3)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，如果A，B，D不共线，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.这个法则叫向量求和的平行四边形法则．③多个向量的求和法则——首尾连，首指尾．如图(4)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋b＋c＋d.(2)减法运算①向量减法的三角形法则——同起点，指被减．已知向量a，b，如图(5)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))叫作向量a与b的差，记作a－b，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)).图(5)由此得：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量．②a－b＝a＋(－b)．一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．(3)运算法则①a＋0＝0＋a＝a；②a＋b＝b＋a(加法的交换律)；③(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法的结合律)；④a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.基础训练1．“|a|＝|b|”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(CA,\s\up6(→))3．填空：(1)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝____________；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝____________．4．若a表示“向南走2米”，则－a表示____________，|a|＝____________．5．若a、b为相反向量，则a＋b＝____________．[重难点突破]考点1平面向量的概念例1给出下列命题：①|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|；②向量a和向量b的方向相同或相反，则a∥b；③若a与b都是单位向量，则a＝b；④方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量．其中正确的命题是()A．①②B．①④C．①②④D．①②③④【解析】①、②、④都是正确的；③是错误的，单位向量有方向．故选C.【变式训练】给出下列命题：①平行向量指的是相等向量或相反向量；②两个相反向量和为零；③零向量与任何向量都平行．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．0例2下面说法中错误的是()A．零向量的方向是任意的B．零向量就是0C．在一个平面内，可以有很多单位向量D．非零向量b满足a＋b＝0，则b为a的相反向量【解析】零向量是0，与数量0不同，B错；单位向量只要其模为1即可，C正确，故答案选B.【变式训练】判断下列命题的对错：(1)平行向量是相等向量；(2)相等向量的模一定相等；(3)方向相反的向量就是相反向量；(4)单位向量的长度都相等．例3如图，在平行四边形ABCD中，下列说法错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))相等C.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))平行D.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的模相等【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))互为相反向量，∴B错误．【变式训练】在△ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出：(1)与eq\o(DE,\s\up6(→))相反的向量；(2)与eq\o(AD,\s\up6(→))共线的向量．考点2平面向量的加法与减法例4在如图所示的平行四边形ABCD中，下列等式不正确的是()A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))【解析】根据平行四边形法则或三角形法则，易得出eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，故选C.【变式训练】在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，则(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝____________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝____________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝____________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝____________．例5已知|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝3，则|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))|的最小值和最大值分别为()A．0和8B．0和5C．5和8D．2和8【解析】当eq\o(OP,\s\up6(→))和eq\o(OQ,\s\up6(→))同向时|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))|有最大值8，当eq\o(OP,\s\up6(→))和eq\o(OQ,\s\up6(→))反向时|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))|有最小值2，故选D.【变式训练】在矩形ABCD中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|的值是____________．例6一艘船以8km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为6km/h，求该船的实际航行速度．【解】eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))))＝eq\r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2)＝eq\r(62＋82)＝10.又tan∠CAD＝eq\f(4,3)，利用计算器求得∠CAD≈53°7′，即船的实际航行速度大小是10km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约为53°7′.【变式训练】一艘轮船先向南航行20海里，再向东航行20海里，求这艘轮船实际航行的路程及位移．[课堂训练]1．如图，在平行四边形ABCD中成立的是()第1题图A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))2．化简(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))－(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))的结果为()A.eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(BA,\s\up6(→))3．下列等式中，正确的个数是()①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0A．5B．4C．3D．24．某人先位移向量a：“向北走5m”，再位移向量b：“向东走5m”，再位移向量c：“向东偏南45°走5eq\r(2)m”，则最后的位置距原来的位置为()A．0mB．5mC．10mD．10eq\r(2)m5．a，b满足何条件时，等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＋b))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a))))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b))))成立()A．a与b同向B．a与b反向C．a与b同向，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a))))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b))))D．a与b反向，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a))))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b))))6．在如图的菱形ABCD中，与向量eq\o(AB,\s\up6(→))模相等的向量有____________．第6题图7．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD为____________．8．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，完成下列问题：(1)写出eq\o(OA,\s\up6(→))的相等向量；(2)写出eq\o(OA,\s\up6(→))的相反向量；(3)写出eq\o(OA,\s\up6(→))的平行向量．第8题图中职数学向量的加法与减法答案知识整合基础训练1．B【解析】|a|＝|b|a＝b，|a|＝|b|⇐a＝b，即必要条件．2．B【解析】原式＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，故答案选B.3．(1)eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(DC,\s\up6(→))【解析】(1)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).4．向北走2米2米【解析】a和－a是相反向量，|a|是长度．5．0【解析】相反向量的和为0.重难点突破【例1】【变式训练】A【解析】①平行向量也叫共线向量，方向相同或相反；而相等向量和相反向量除了方向相同或方向相反，还要求长度相等．假命题；②假命题，应为零向量；③真命题．【例2】【变式训练】(1)错，平行向量不一定是相等向量，因为方向可以不同；(2)对；(3)错，相反向量要求方向相反，还要求长度相等；(4)对．【例3】【变式训练】(1)∵点D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC，与eq\o(DE,\s\up6(→))相反的向量有eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)与eq\o(AD,\s\up6(→))共线的向量有eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).【例4】【变式训练】(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)0【例5】【变式训练】3【解析】|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3.【例6】【变式训练】【解】设a：向南航行20海里，b：向东航行20海里，则实际航行的路程为|a|＋|b|＝20＋20＝40(海里)，位移为a＋b，其中|a＋b|＝eq\r(a2＋b2)＝20eq\r(2)(海里)，方向为南偏东45°.课堂训练1．D【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(CB,\s\up6(→)).2．D【解析】原式＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).3．B【解析】根据平面向量的概念及运算法则，①③④⑤正确．4．C【解析】第5题图如图所示，可知a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD