自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧

自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧河北孟村回民中学马治涛自由落体运动知识清单：一、自由落体运动。1、什么是自由落体运动。任何一个物体在重力作用下下落时都会受到空气阻力的作用，从而使运动情况变的复杂。若想办法排除空气阻力的影响（如：改变物体形状和大小，也可以把下落的物体置于真空的环境之中），让物体下落时之受重力的作用，那么物体的下落运动就是自由落体运动。 物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。2、自由落体运动的特点。从自由落体运动的定义出发，显然自由落体运动是初速度为零的直线运动；因为下落物体只受重力的作用，而对于每一个物体它所受的重力在地面附近是恒定不变的，因此它在下落过程中的加速度也是保持恒定的。而且，对不同的物体在同一个地点下落时的加速度也是相同的。关于这一点各种实验都可以证明，如课本上介绍的“牛顿管实验”以及同学们会做的打点计时器的实验等。综上所述，自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。二、自由落体加速度。 1、在同一地点，一切物体在自由落体运动中加速度都相同。这个加速度叫自由落体加速度。因为这个加速度是在重力作用下产生的，所以自由落体加速度也叫做重力加速度。通常不用“a”表示，而用符号“g”来表示自由落体加速度。 2、重力加速度的大小和方向。同学们可以参看课本或其他读物就会发现在不同的地点自由落体加速度一般是不一样的。如：广州的自由落体加速度是9.788m/s2，杭州是9.793m/s2，上海是9.794m/s2，华盛顿是9.801m/s2，北京是9.80122m/s2，巴黎是9.809m/s2，莫斯科是9.816m/s2。即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一样的。如在北京海拔4km时自由落体加速度是9.789m/s2，海拔8km时是9.777m/s2，海拔12km时是9.765m/s2，海拔16km时是9.752m/s2，海拔20km时是9.740m/s2。尽管在地球上不同的地点和不同的高度自由落体加速度的值一般都不相同，但从以上数据不难看出在精度要求不高的情况下可以近似地认为在地面附近（不管什么地点和有限的高度内）的自由落体加速度的值为：g=9.765m/s2。在粗略的计算中有时也可以认为重力加速度g=10m/s2。重力加速度的方向总是竖直向下的。三、自由落体运动的规律。既然自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。那么，匀变速直线运动的规律在自由落体运动中都是适用的。匀变速直线运动的规律可以用以下四个公式来概括：（1）（2）（3）（4）对于自由落体运动来说：初速度v0=0，加速度a=g。因为落体运动都在竖直方向运动，所以物体的位移S改做高度h表示。那么，自由落体运动的规律就可以用以下四个公式概括：（5）（6）（7）（8）二．解题方法自由落体运动是匀变速直线运动的特例，所涉及的题目大多是考查匀变速运动公式的灵活应用及方程组的求解，本题侧重于一段匀变速运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度这一规律的应用，变式题涉及的是自由落体运动运动规律的灵活运用．三．经典例题从某一高塔自由落下一石子，落地前最后一秒下落的高度为塔高的7/16，求塔高。分析：石子的下落可以近似看作自由落体运动，因此可以自由落体运动的规律来求解本问题解法：画出石子的运动草图。设石下落的总时间为t，塔高为H，则下落距离为塔高的9/16时经过时间（t-1），根据自由落体运动的位移公式：H=gt2解①、②两式得：t=4sH=80m竖直上抛运动知识清单：（1）全过程研究：v0竖直向上，a＝g竖直向下，以抛出点为坐标原点，以竖直向上的v0方向为坐标的正方向。说明：均为负值。vt、h的正负号表示方向跟规定正方向相同还是相反，三个公式概括了竖直上抛运动的往返运动全过程。注意：由于下落过程是上升过程的逆过程，所以物体在通过同一高度位置时，上升速度与下落速度大小相等，物体在通过同一段高度过程中，上升时间与下落时间相等。这是竖直上抛运动的对称性。（2）分阶段研究：上升阶段为vt=0的匀减速直线运动，下落阶段为自由落体运动。上升时间t上=，最大高度H=对称性：t上=t下，vt=－v0，在同一高度v上=-v下（3）分运动研究：由向上的匀速直线运动（v0）和向下的自由落体运动这两个分运动合成，设向上（v0方向）为正方向，则注意vt、s的“＋、－”的含义。方法指导：竖直上抛运动处理方法(1)分段法：把竖直上抛运动的全过程分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做末速度vt＝0、加速度a＝g的匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动．物体下落阶段的运动和上升阶段的运动互为逆运动．(2)全程法：把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成是一个匀减速直线运动，其加速度方向始终与初速度v0的方向相反．三．经典例题例题：一支步枪的发射速度为v0，有人每隔1s竖直向上打一枪，若不计空气阻力，求第一颗子弹射出后与第n(n≥2)颗射出的子弹彼此相遇的时间。（设子弹不相碰，且都在空中运动）。解法1：从第一颗子弹射出的时刻开始计时，设相遇时第一颗子弹运动了ts。因为每隔1s发射一颗子弹，所以相遇时第n颗子弹运动的时间为：tn=〔t－(n－1)〕（1）由相遇时位移相等得：h1=hn（2）又因为：h1=v0t－（3）hn=v0tn－（4）所以，将（1）、（3）、(4)式代入(2)式得：t=,（n≥2）解法2：根据竖直上抛运动的特点可知：相遇时第n颗子弹与第一颗子弹的速度大小相等、方向相反，即：vn=－v1（1）又因为：v1=v0－gt（2）vn=v0－gtn（3）tn=〔t－(n－1)〕（4）所以，将（2）、（3）、(4)式代入(1)式得：t=,（n≥2）解法3：根据竖直上抛运动的特点可知：相遇时第n颗子弹与第一颗子弹运动的时间之和等于，即：t＋tn=（1）又因为：tn=〔t－(n－1)〕（2）所以，将(2)式代入(1)式得：t=,（n≥2）解法4：因为相遇时第一颗子弹比第n颗子弹多运动了(n－1)s，所以根据竖直上抛运动的对称性可知：第一颗子弹从最高点下降到相遇点所经历的时间为s，则相遇时第一颗子弹运动的时间为：t=t上+（1）又因为：t上=（2）所以，将(2)式代入(1)式得：t=,（n≥2）三．两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法1．方法指导自由落体与竖直上抛物体的相遇问题当两个物体从不同位置先后做自由落体运动或两个物体分别做自由落体与竖直上抛运动时，两物体在空中相遇的条件都是两物体在同一时刻位于同一位置．上述两种情况下两个物体的相遇问题，可以地面为参考系根据自由落体规律结合位移关系和时间关系求解，也可以某一物体为参考系根据两物体相对匀速运动结合相对位移和时间关系求解．经典例题：例题：将小球A以初速度VA=40m/s竖直向上抛出，经过一段时间Δt后，又以初速度VB=30m/s将小球B从同一点竖直向上抛出，为了使两个小球能在空中相遇，试分析Δt应满足的条件。解析：由于是在同一点抛出且VA＞VB，故相遇的位置一定是在A球下降阶段，B球有可能是在下降或上升阶段，其抛出的时间间隔就由这两过程决定。方法一：利用空中的运动时间分析要使两小球在空中相遇，Δt应满足的条件一定是介于某一范围内，因此，只要求出这个范围的最大值和最小值就可以了。当小球B抛出后处于上升阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较大，故Δt的最大值为小球A刚要落回抛出点的瞬间将小球B抛出。而小球A在空中运动的时间为：，

即Δt的最大值为Δtmax=8s。当小球B抛出后处于下降阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较小，故Δt的最小值为A、B两小球同时落地，先后抛出的时间间隔。而小球B在空中运动的时间为：，则Δt的最小值为Δtmin=tA-tB=2s。故要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。方法二：利用位移公式分析A、B两小球在空中相遇，不管其是在上升还是下降阶段相遇，相遇时的位移必相等。设小球B抛出后经时间t与小球A相遇，则小球A抛出后的运动时间为（t+Δt），由位移公式可得整理后可得，相遇时小球B所经过时间为：

（1）考虑到A、B小球在空中相遇，则0＜t＜6s。由（1）式可得：＞0

（2）＜6

（3）解（2）式得：1＜Δt＜8解（3）式得：Δt＞2，或Δt＜－6（不合题意）综合上述可得，要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。方法三：巧选参考系分析小球B经Δt再抛出后，以小球A为参考系，小球B作匀速直线运动，其相对速度为

=30－（40－gΔt）=gΔt－10而此时小球A的位移为，则小球B与小球A相遇的时间为同样，考虑到A、B小球在空中相遇，则0＜t＜6s，亦可以得到上述的（2）（3）两式，亦可求出要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。方法四：利用图象分析1．利用位移图象分析由位移公式可得A、B两小球的位移随时间的关系为SA=40t－5t2SB=30t－5t2可见，它们的图象均为抛物线，在位移-时间图象中分别作出它们的图象，如图1所示的图线A和B。经过不同时间Δt后再抛出小球B，只要将图线B逐渐向右移动，要使A、B两小球在空中相遇，必须使A、B两图线存在交点，交点的横坐标为相遇时的时刻，纵坐标为相遇时的位移。由图1可知，当移动的时间间隔为2s时，与图线A开始有交点，如图1中的B1位置；当移动的时间间隔为8s时，与图线A开始没有交点，如图中1的B3位置。由图可知，当2s＜Δt＜5s时，其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段，当5s＜Δt＜8s时，其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。因此可得A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为：2s＜Δt＜8s。2．利用速度图象分析由速度公式可得，A、B两小球的速度随时间的变化关系为：VtA=40－10t，VtB=30－10t在速度—时间图象中分别作出它们的图象，如图2所示的图线A和B。要使A、B两小球在空中相遇，必须使小球B抛出后，在小球A落地之前，它的位移要大于零。而位移为速度图线与坐标轴所围成的面积，由如图2可知，将B的速度图线逐渐向右移动，移动的时间间隔在2s以内，小球A的位移总是大于小球B的位移，且小球B总先于小球A落地，A、B两小球不可能相遇，当时间间隔等于2s时，如图中B1位置，两球同时落地。继续将B的速度图线向右移动，在小球A落地之前的时间内，如图中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移总是大于零，即说明了A、B两小球在空中相遇了。由图可知，当2s＜Δt＜5s时，其相遇情况是A、B两球都处于下