数与线的“爱恋”之美

1、数与线的“爱恋”之美 数是用来计数、标记或度量、比较同质事物的抽象概念， 也是数学中最基本的概念之一。 可以说， 数概念的学习伴随着学 生数学学习的整个过程， 是在不断形成和发展着的。 学生数概念 的形成与发展在各个学段各有侧重， 总体应注重的是学习兴趣和 学习能力的培养，从而让数概念和核心素养自然生长。 本期，我们探讨学生数概念的形成与发展过程。 为帮助学生深入认识数概念的核心本质， 教师在教学中应特 别注重直观模型的使用， 其中数线是帮助学生深度理解数概念的 直观载体。下面，笔者以北师大版小学数学教材为例，探析数线 在儿童数概念的形成与发展中的直观体现。 一、研究的缘起一一聚焦数线 在小学

2、阶段数概念的形成与发展中， 很多直观模型对数的认 识、数的运算的理解起到了至关重要的作用。 比如对整数及整数 运算而言，究竟有哪些直观模型呢？循着教材的编写线索梳理， 主要有以下几种：小棒、计数器、小方块、点子图、方格纸、数 线等（如图 1）。 可以说，以上这些实物、模型等直观材料因其自身的特点， 在儿童整数及整数运算的学习中都发挥了不可或缺的作用。 数的 运算是对数意义的进一步 ?J 识，这些直观模型在学习过程中的 介入有力地支撑着儿童数概念的形成与发展。 而在这些直观模型 中，有的却因其自身所具备的独特天然属性， 直观作用与价值不 同于其他模型而独树一帜一一它就是数线（数轴）。弗赖登塔尔

3、在作为教育任务的数学中指出：“与其他直观材料相比，数 轴是确定的、 可长久使用的， 它不像有些材料只用一会儿就被放 弃。”可见，数线因其自身的结构特性，突破和克服了其他直观 材料的缺点而被人们广泛使用。 既然数线能够在众多的直观模型中脱颖而出， 我们就有必要 对数线本身所具有的优越属性、 直观作用以及数线与数和运算之 间相生相伴的天然联系进行剖析和研究。 二、数线在整数运算中的直观体现 （一）数线与加减 在数概念的形成与发展中， 为什么数线具有如此强大的魅力 呢？笔者认为， 这与数线模型本身所具有的属性、 结构和功能密 切相关。 1. 从呈现形式上看 伴随着数与运算的学习， 数线在学生的认知系

4、统中经历了由 实物到数尺、再到数线的形成与发展，这个过程是循序渐进的， 不是一蹴而就的。 从外化的呈现形式来看， 在实物原形中表现为 数与实物一一对应， 在数尺中表现为数与方格一一对应， 在数线 中表现为数与点一一对应。 在此过程中， 数线的功能也由实物直 观走向了几何直观， 从离散走向了连续， 而这正是基于数的运算 的发展与数的扩充的需要，是数概念形成与发展的内在需求。 2. 从数量级上看 借助数线并沿着数线往右，以“一”为单位1 个 1 个地跳 （数），或者以“十”为单位 10个 10个地跳（数），以“百” 为单位100个100个地跳（数）这样随着不断地以计数单位 累加的过程， 就会产生更

5、大的新的计数单位。 在度量单位的不断 累加运算中，也方便和满足了数量级扩展后大数加减法的开展。 可见从数量级上看， 数线在数的运算发展过程中， 表现出一种自 身天然的灵活性。 3. 从数线的结构上看 从数线的结构来看，首先有一条向右的直线，规定了方向， 其次规定了起点定为 0，最后是单位长度，而这里的单位是灵活 的，可以是任何一个自由的正数。具体而言，起点0是计数 的开始， 单位长度满足了累加的度量需求， 方向满足数 的排列与可比性。 从数线的数学性角度来审视， 数线像一把用来 量数的“尺子”，满足了数概念形成与发展的需要。 4. 两个加减法的例子 我们来看一个一位数加法的例子“ 8+6”。

6、在这条简单的数线（数尺）上，数与格（点）一一对应，往 右表示累加，得到“ 8+6”结果的操作就是基于这种“一一对 应”，数出计数单位的过程，从 8开始，以“ 1”为单位，连续 累加 6次，就得到“14”这个结果。 这个运算的过程就是计数单 位累加的过程。 运算“ 8+6”，还可以如上，10格为 1档，从8开始，以“1” 为单位，先累加 2次到“ 10”，遇“ 10”停顿，再累加 4次，孕 伏“满十进一”，产生新的计数单位“十”。 我们再来聚焦一个减法的例子“ 239 - 118”。 在这条数线上，往左表示“递减”， 从 239 开始，先以“百” 为单位递减 1 次（减一个百），再以“十”为单位

7、递减 1 次（减 一个十），再以“一”为单位递减 8（减一个 8），即得到 “239- 118”的结果（度量值）“ 121”。在这个减法运算的过程 中，借助数线先减几个百、再减几个十、几个一，数线的直观介 入为学生分清数位、 理解减法竖式算法打下基础， 同时从数位的 角度帮助学生直观理解数的内部结构， 进而理解数概念及运算的 意义。 （二）数线与乘除 针对数线与乘除， 笔者尝试对教材中数线的使用情况进行了 梳理。 1. 两个乘除法的例子 我们先来看一个一位数乘法的例子。 这是乘法中“几个几”意义的运算内容。 结合数尺模型与算 式表征，解决“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4 个 3 是多 少”。

8、其中的 4 表示跳了几次， 3 表示每次跳几格，可以看作是 以“3”为单位，度量了 4 次的结果，其本质上都是对计数单位 的累加（累积），即对度量单位的运作。 我们再来看一个除法的例子。 这是除法中“包含除”意义的运算内容。解决“ 20 元可以 买几辆玩具车”就是求“ 20 里面有几个 5”。其运算的过程， 即 在数线上以 20 作为起点， 按照一定的“步伐”回到原点的过 程。这个过程可看作以“ 5”为单位去度量数“ 20”，正好数了 4 次，把 20 度量完的过程。说到底，其本质还是对度量单位的 运作。 不难看出， 数线的介入和使用， 能够帮助学生从计数单位累 加或递减的角度去直观地理解乘除

9、运算的意义。 2. 两个问题 在梳理教材“数线与乘除”这部分内容的过程中， 我们也发 现了两个问题。 问题 1：为何数线唯独缺席了除法“平 均分”的教学？ 梳理中发现， 在运算意义的认识中， 数线出现在乘法“几个 几”“倍”和除法“包含除”“倍”的教学中， 却唯独没有在除 法“平均分”的学习中出现， 那么是何原因导致数线缺席了除法 “平均分”的教学？ 我们以一个简单的例子试作分析。 比如8一 2=?从把8平均分成2份的角度来理解，我们来看 数线： 不难发现，“ 8”在数线上表现为一个“点”，它所在位置 决定了它到起点 0 的距离即它是多少个“ 1”累加的结果。 也就是说， 在数线上可以静态地表

10、示“ 8”?段距离， 却不利于直 观表示每份是几。 可见， 除法“平均分”因其内容自身的数学性 而拒绝了数线的介入。 问题 2：为什么数线在乘除运算中会逐渐隐退而被其他模型 取而代之？ 从前面的梳理中再进一步看， 除了在表内乘法、 末尾带 0 的 口算、两位数与两位数乘法这几类乘法运算中我们还能看到数线 的使用外，在相关的除法运算中，已经看不到数线的影子。比如 表内除法，教材中不再用，学生在学习中还在使用，到带 0 的除 法口算，连学生也不再用了。数线逐渐在乘除法运算中隐退，取 而代之的是点子图、表格、面积模型等。这一现象表明，数线在 拥有自身优越的属性和功能外， 还存在着一定的局限性， 这些

11、自 身的局限导致在后续的运算中被其他直观模型取而代之。 三、如何客观理性地看待数线 1. 数线与数的认识相谐相生，相存相伴 从以上教材的梳理不难发现， 数线模型与数的认识一路相生 相伴。具体来说，从一（上）到四（上）， 20 以内数的认识、 100 以内数的认识、万以内数的认识、亿以内数的认识等知识点 的学习， 借助数线向右逐渐拓展数量级； 从三（上）到五（上）， 小数的初步认识、分数的初步认识、小数的意义、分数的意义， 借助数线由宏观领域向微观层面扩充数； 四（下）生活中的负数， 借助数线向左继续扩充数域。 可见，数线与数概念的建构与形成、 数系统的不断扩充相谐相生，相存相伴。 2. 数线使整数运算由抽象变得直观 其一，加、减、乘、除运算可以在数线上动态呈现跳， 通过度量单位的动态的“跳”，直观理解计数单位的累加或递 减，进而理解运算的意义；其二，运算意义在数线上还可通过方 向来体现，而且便于理解加与乘、 减与除的内在关系与核心本质。 其三，数线为学生整数运算的学习提供了一个理解算理、 获得算 法的直观工具。 3. 数线不是万能的，离开数线却是万万不能的 如前所述，弗赖登塔尔在作为教育任务的数学中指出了 数线自身被广泛和长久使用的优越性。 但他同时也指出： “但是 要注意一种危险的倾向， 那就是有人对数轴寄予的希望过大， 走