职教高考数列的概念讲练结合

中职数学数列的概念[知识整合]基础知识1．数列的概念按照一定次序排列的一列数，叫作数列．在数列中的每一个数都叫作这个数列的项，各项依次叫这个数列的第一项(或首项)，第二项，…，第n项，数列的一般形式写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．注意：①同一个数在数列中可以重复出现；②数列中的数按一定次序排列，两个数列数的排列顺序不同不是相同数列；③数列中的项与项数是不同的．2．数列的通项公式用项数n来表示该数列相应项的公式，叫作数列的通项公式．由此可知，数列的通项公式是以正整数集的子集为其定义域的函数，可记为an＝f(n)(n∈A，A⊆N*)．注意：数列的通项公式在形式上不唯一，例如数列1，－1，1，－1，…，其通项公式可以写成an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1，还可写成an＝cos(n＋1)π.3．数列的前n项和：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.数列通项公式an与前n项和Sn的关系：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2，n∈N*）.)))注：在求通项公式形如eq\f(1,n（n＋1）)的数列的前n项和的时候，可把数列的通项拆成两项之差：eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．数列的递推公式用含有数列前面若干项的表达式来表示后面的某一项的公式，称为数列的递推公式，如an＋1＝2an＋1.已知首项和递推公式，实际上也确定了数列．5．数列的分类按项数分：有穷数列(项数有限)、无穷数列(项数无限)．按项与项的大小分：递增数列(an<an＋1)、递减数列(an>an＋1)、常数列、摆动数列．常数列：数列的所有项都是同一个常数．基础训练1．已知数列{an}的通项公式是an＝3n－1，则a7＝()A．20B．21C．23D．242．已知数列{an}的前4项分别为：4，7，10，13，则数列的通项公式an＝()A．2nB．2n＋1C．3nD．3n＋13．已知数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，eq\r(3n－1)，则4eq\r(2)是这个数列的()A．第10项B．第11项C．第12项D．第13项4．若数列的通项公式为an＝n(n＋1)，则72是这个数列的()A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项5．观察下列数列，填空．(1)0，1，4，9，()，…；(2)－1，－1，－1，()，…；(3)0，3，0，3，()，…；(4)2，4，()，16，….[重难点突破]考点1数列的通项公式例1已知一个数列的通项公式是an＝n(n－1)，那么前4项分别是____________．【解析】把n＝1，2，3，4代入通项得0，2，6，12.【变式训练】数列的通项公式为an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))，则380在这个数列中的项数为()A．20B．19C．18D．21例2在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,an－1)＋1，则a3等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．1D．2【解析】a2＝eq\f(1,a1)＋1＝1＋1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)，故选B.【变式训练】已知数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1＋an，求a4.例3根据下面数列前4项的值，写出数列的一个通项公式．(1)9，99，999，9999…；(2)1，11，111，1111，…；(3)1，－1，1，－1，…；(4)1，－2，3，－4，…；(5)－eq\f(1,1·2)，eq\f(1,2·3)，－eq\f(1,3·4)，eq\f(1,4·5)，….【解】(1)由观察可得：an＝10n－1；(2)联想到数列9，99，999，…的通项公式，an＝10n－1，所以1，11，111，1111，…的通项公式an＝eq\f(1,9)(10n－1)；(3)是摆动数列，an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1；(4)观察得第n项绝对值为n，偶数项为负，奇数项为正，所以用(－1)n＋1来调整，即an＝(－1)n＋1n或an＝(－1)n－1n；(5)数列是分式项，分别观察其分子分母不难发现an＝eq\f(（－1）n,n（n＋1）).反思提炼：在观察数列前几项的值写出数列的通项公式时，一般会综合考查我们之前学过的基础知识，如偶数项为正，奇数项为负等等．【变式训练】根据下面数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．(1)－1，1，－1，1…；(2)eq\f(2,1)，eq\f(3,2)，eq\f(4,3)，eq\f(5,4)，….考点2数列的前n项和公式与通项公式的关系例4已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－2，求它的通项公式．【解】当n＝1时，a1＝S1＝12＋1－2＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－2)－[(n－1)2＋(n－1)－]2＝2n.而将n＝1代入得a1＝2×1＝2≠0，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0（n＝1）,2n（n≥2）.)))反思提炼：用数列前n项和Sn与an的关系式求解通项公式an时，特别要注意首项是否适合从第二项起才成立的关系式an＝Sn－Sn－1，若不适合，则应分段表示an.【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n＋2，求它的通项公式．[课堂训练]1．设数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，则2eq\r(5)是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项2．已知数列{an}满足an＝eq\f(2n＋3,2n2)，则a5＝()A.eq\f(50,13)B.eq\f(51,11)C.eq\f(11,51)D.eq\f(13,50)3．已知数列{an}的通项公式an＝3n＋1，则它的第3项为()A．12B．27C．28D．2434．已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n,2n＋1)，则a5＝()A.eq\f(1,42)B.eq\f(1,99)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)5．已知数列an＝n(n＋1)，则S5＝()A．40B．70C．112D．306．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(（－1）n＋1,n)，则a5＝____________，a8＝____________．7．数列an＝n2的第________项是121.8．已知数列的通项公式an＝eq\f(1,n（n＋1）)，则S6＝____________．9．根据数列的前几项的规律写出下列数列的一个通项公式．(1)eq\f(3,2)，eq\f(6,3)，eq\f(9,4)，eq\f(12,5)，…；(2)－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；(3)1，0，1，0，….10．已知a1＝2，an＋1＝2an＋3，求a4.中职数学数列的概念答案知识整合基础训练1．A【解析】由题意，令n＝7，即a7＝3×7－1＝20.2．D【解析】4＝3×1＋1，7＝3×2＋1，10＝3×3＋1，13＝3×4＋1.∴an＝3n＋1.3．B【解析】令eq\r(3n－1)＝4eq\r(2)，平方得3n－1＝32，所以n＝11，4eq\r(2)是数列的第11项，故选B.4．A【解析】设72是这个数列的第n项，则n(n＋1)＝72，解得n＝8或n＝－9(舍去)，∴n＝8，即72是这个数列的第8项，故选A.5．(1)16；(2)－1；(3)0；(4)8【解析】通过观察相邻间数的关系可得．重难点突破【例1】【变式训练】B【解析】显然，将B选项代入符合题意．【例2】【变式训练】【解】显然a3＝a2＋a1＝9，a4＝a3＋a2＝15，即a4＝15.【例3】【变式训练】【解】(1)观察数列可知数列的奇数项为－1，偶数项为1，所以数列的通项公式为an＝(－1)n.(2)观察数列可知分子依次为2，3，4，5，…，后一项比前一项多1，第一项为2，所以分子通项公式为n＋1，分母依次为1，2，3，4，…，后一项比前一项多1，第一项为1，所以分母通项公式为n，故数列通项公式为an＝eq\f(n＋1,n).【例4】【变式训练】【解】当n＝1时，a1＝S1＝5；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋2－2(n－1)2－(n－1)－2＝4n－1，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(5，n＝1,4n－1，n≥2))).课堂训练1．B【解析】该数列可以看成eq\r(2)，eq\r(5)，eq\r(8)，eq\r(11)，…，eq\r(20)，观察各项间被开方数间关系可得，被开方数满足an＝3n－1，将20代入得n＝7，∴eq\r(20)为数列的第7项，故答案选B.2．D【解析】直接代入即可．3．C【解析】a3＝33＋1＝28.4．B【解析】S5＝eq\f(5,10＋1)＝eq\f(5,11)，S4＝eq\f(4,8＋1)＝eq\f(4,9)，a5＝S5－S4＝eq\f(5,11)－eq\f(4,9)＝eq\f(1,99).5．B【解析】S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＝70.6.eq\f(1,5)，－eq\f(1,8)【解析】令n＝5，则a5＝eq\f(（－1）5＋1,5)＝eq\f(1,5)，令n＝8，则a8＝eq\f(（－1）8＋1,8)＝－eq\f(1,8).7．11【解析】由n2＝121解得n＝11.8.eq\f(6,7)【解析】∵an