人教版初二年级上册压轴题强化数学质量检测试卷含解析(一)

人教版初二上学期压轴题强化数学质量检测试卷含解析(一)

1.如图，Rr,ABC中,N84C=90。，AB=AC.

图1图2

(1)如图1,AD±AE,BE上AE,求证：△ZMC二△EBA：

(2)如图2,ZAFD=ZCEB,AF=CE,请直接用几何语言写出3、OA的位置关系

(3)证明(2)中的结论.

2.阅读下列材料，完成相应任务.

数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1,已知AABC中，是边上的中线.

ffll

求证：AR+AC>2AD.

智慧小组的证法如下：

证明：如图2,延长A。至E,使。E=AP,

*/A。是BC边上的中线BD=CD

BD=CD

在ABDE和ACDA中<N8DE=4CDA

DE=DA

:.gDEWkCDA（依据一）:,BE=CA

在中，AB+BE>AE（依据二）

AB+AC>2AD.

任务一：上述证明过程中的“依据1〃和“依据2〃分别是指：

依据1：:

依据2：.

归纳总结：上述方法是通过延长中线A。，使=构造了一对全等三角形，将

AB,AC,A。转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法“倍长

中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

任务二：如图3,/3=3,AC=4,则A。的取值范围是；

图3

任务三：如图4,在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在口AABE

中，ZBAE=90°,AB=AE：中，ZC4F=90°,AC=AF.连接E尸.试探究

4.已知8c是等边三角形，的顶点。在边BC上

(1)如图1,若AD=DE,ZAED=60°,求N4CE的度数；

(2)如图2,若点。为8c的中点，AE=AC,N=C=90。，连CE,求证：C£=2BF；

(3)如图3,若点。为8c的一动点，ZAED=90°,NADE=30。，已知AABC的面积为

4石，当点。在8c上运动时，△48£的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变

化请说明理由.

4.如图1,在平面直角坐标系不。、，中，直线48与x轴交于点八、与丁轴交于点8,且/

480=45。，4(-6,0),直线8c与直线48关于》轴对称.

⑴求ZkABC的面积；

⑵如图2,。为。口延长线上一动点，以B。为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△/£,

求证：ABLAE-,

⑶如图3,点E是N轴正半轴上一点，且4ME=30。，/F平分NOAE,点M是射线〃上

一动点，点N是线段40上一动点，判断是否存在这样的点M,N,使OM+NM的值最

5.如图，已知/WC中，AB=AC=\2cm,BC=/Ocm,点D是AB的中点,如果点P在

线段3c上以2c〃?/s的速度由点力向点C移动，同时点。在线段AC上由点A向点C以

4c/〃/s的速度移动，若尸、。同时出发，当有一个点移动到点C时，尸、。都停止运动，

设P、Q移动时间为心.

（1）求，的取值范围.

（2）当/=2时，问△B/Y）与VCQP是否全等，并说明理由.

（3）/>0时，若「CPQ为等腰三角形，求，的值.

D,E分别为A8,8c边上的点，DE=EF,ZDEF=60°.

图1

⑴如图1,若点尸在AC边上，求证：AD=CF；

（2）如图2,连CF.若NR7B=30。，求证：AD=2BE；

⑶如图3,。是4c的中点，点，在,ABC内，NBHC=120°,点、M,N分别在C〃，BH

上，MOJ.NO,若/C4M=a,直接写出NZMN的度数（用含有a的式子表示）.

7.如图，在等边AABC中，AB=AC=BC=6cm,现有两点M、N分别从点48同时出

发,沿三角形的边运动，已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次

回到点8时，点M、N同时停止运动，设运动时间为6

（1）当t为何值时，M、N两点重合；

（2）当点M、N分别在AC、8八边上运动，△AMN的形状会不断发生变化.

①当t为何值时，△4MN是等边三角形；

②当t为何值时，△4M/V是直角三角形；

（3）若点M、N都在8c边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的俏.

已知二次多项式八2一公-21,我们把工=-3代入多项式，发现人2_4人-21=0，由此可以推

断多项式中有因式（x+3）.设另一个因式为（x+k）,多项式可以表示成

x2-4X-21=（X+3）（X+L）,则有丁_4工-21=犬+（4+3）工+3我,因为对应项的系数是对应

相等的，即2+3=-4,解得k=-7,因此多项式分解因式得：

X2-4X-21=（X4-3）（X-7|.我们把以上分解因式的方法叫“试根法〃.

问题解决：

⑴对于二次多项式f一4,我们把x=一代入该式，会发现丁-4=0成立：

⑵对于三次多项式/一工2一31+3,我们把x=l代入多项式，发现丁一/一3工+3=0,由此

可以推断多项式中有因式（x-l）,设另一个因式为（/+⑪十〃），多项式可以表示成

22

^-x-3x+3=（x-l）（x+ax+b）t试求出题目中a,b的值；

⑶对于多项式X3+4/-3.1-18,用"试根法”分解因式.

【参考答案】

2.（1）见解析；（2）J.；（3）见解析

【分析】（1）根据垂直的定义可得NADC=NE=90。，根据余角的性质可得NACD=NBAE,

然后根据AAS即可证得结论；

（2）由于要得出、的位置关系，结

解析：（1）见解析；（2）BEA.DAx（3）见解析

【分析】（1）根据垂直的定义可得NADC=NE=90。，根据余角的性质可得NACD=NBAE,

然后根据AAS即可证得结论；

（2）由于要得出8£、DA的位置关系，结合图形可猜想：BE工DA；

（3）如图，作CP_LAC于点C,延长FD交CP于点P,先证明△BAEgZXFCP,可得N3=N

P,AB=CP,然后证明△ASg/XPCD,可得N4=NP,进一步即可推出N4+N2=90。，问题得

证.

【详解】解：(1)证明：:A£>JLA£,BEJLAE,

AZADC=ZE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

•・•ZBAC=90°,

.*.ZDAC+ZBAE=90o,

AZACD=ZBAE,

在ADAC和AEBA中，

VZADC=ZE,ZACD=ZBAE,AC=AB,

/.△DAC=AE&4(AAS)：

(2)结合图形可得：BEIDA；

故答案为：BEA.DA

(3)证明：如图，作CPJ_AC于点C,延长FD交CP于点P,

VAF=CE,

AAE=CF,

ZAFD=4CEB,

AZ1=Z2,

ZBAE=ZFCP=90°,

/.△BAE^AFCP,

.\Z3=ZP,AB=CP,

VZBAC=90°,A8=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°,

VZPCP=90°,AB=CP,

/.ZFCD=45°,AC=PC,

.\ZACB=ZPCD,

VCD=CD,

AAACD^APCD,

/.Z4=ZP,

VZ3=ZP,

AZ3=Z4,

VZ3+Z2=90°,

，N4+N2=90°,

.*.ZAGE=90o,EPBELDA.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助

线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

3.任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或〃边角

边〃或"SAS"）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：

EF=2AD,见解析

【分析】任务一：依据L根据全等的判

解析：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边"或

“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：1<AZX^;任务三：EF=2AD,

22

见解析

【分析】任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；

依据2：根据三角形三边关系判断：

任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；

任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可.

【详解】解：任务一：

依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边"或"SAS〃）；

依据2：三角形两边的和大于第三边.

17

任务二：-<AD<^~

22

任务三：EF=2AD.理由如下：

如图延长AD至G,使DG=AD,

VAD是BC边上的中线

，BD=CD

BD=CD

在AABD和ZkCGD中'NBDA=Z.CDG

AD=DG

/.△ABD^ACGD

AAB=CG,ZABD=ZGCD

又・.・AB=AE

AAE=CG

在ZkABC中，ZABC+ZBAC+ZACB=180°,

:.ZGCD+ZBAC+ZACB=180°

又,?ZBAE=90°,ZCAF=90°

/.ZEAF+ZBAC=360°-(ZBAE+ZCAF)=180。

.\ZEAF=ZGCD

在AEAF和ZiGCA中

AE=CG

-AEAF=ZGCA

AF=AC

.,.△EAF^AGCA

.\EF=AG

AEF=2AD.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造

全等二角形是解本题的关漫.

4.(1)60°；(2)见解析；(3)不变，

【分析】(1)由题意，先证4ADE是等边三角形，再证4BA隆△CAE,得

ZACE=ZB=60°：

(2)由题意，先求出/BEC=30。，然后求出NCF

解析：(1)60°；(2)见解析；(3)不变，2右

【分析】(1)由题意，先证A/WE是等边三角形，再证A84。g△CAE,得N4CE=N

8-60°；

(2)由题意，先求出N8EC=30。，然后求出NCFE=90。，利用直角三角形中30度角所对直

角边等于斜边的一半，即可得证；

(3)延长至F,使连。F、CF,先证明是等边三角形，然后证明ZkEGIg

△EHA,结合HG是定值，即可得到答案.

【详解】解:(1)根据题意,

•:AD=DE,ZAED=60°,

•••△ADE是等边三角形，

,-.AD=AE,/"£=60°,

*：AB=AC,N84C=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即/RA力=NC4E,

.•.△84。父△CAE,

:.NACE=N8=60°：

(2)连CF,如图：

A

图2

•：AB=AC=AE,

/.ZAEB=ZABE,

VZBAC=6Q°,ZEAC=90°,

AZ84£=150°,

:.ZAEB=ZABE=1S°-

••.△ACE是等腰直角三角形，

:.Z4EC=45%

/.Z6EC=30%NE8c=45°,

〈A。垂直平分8C,点F在八。上，

：,CF=BF,

:.NFCB=NEBC=45°,

:.ZCFf=90°,

在直角ACEF中，ZCff=90°,ZCEf=30°,

,CE=2CF=2BF；

(3)延长AE至F,使EF=4E,连DF、CF,如图:

图3

VZAED=90\EF=AE,

・・・D£是中线,也是高，

•••△ADF是等腰三角形,

'：ZADE=30°,

：.ZDAE=60°,

•••△AOF是等边三角形；

由（1）同理可求/4CF=/4BC=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q\

：.CF//AB,

过E作EG_LCF于G,延长GE交弘的延长线于点H,

易证△EGFg^EHA,

:・EH=EG=gHG,

•••”G是两平行线之间的距离，是定值，

:.S^ABE=4SJ8C='x46=2石；

22

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的

性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握

所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

57.已知，4。，。），B（b,0）,点为x轴正半轴上一个动点，AC=CD,ZACD=90o.

（1）已知。，b满足等式Ia+bI+炉+48=-4.

①求A点和8点的坐标；

②如图1,连8。交y轴于点H,求点H的坐标；

（2）如图2,已知a+b=0,OC>OB,作点8关于y轴的对称点E,连。E,点F为DE的中

点，连OF和CF,请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论.

(1)①八(0,2),B(-2,0)；②H(0,-2)；(2)CF1OF,CF=OF,证明见解析.

【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出。、b的值，即可得到答

案；

②过C作y轴垂线交8A的延长线于E,然后证明△CE4丝△CBD,得到08=。从即可得到

答案；

(2)由题意，先证明△DFGg^EFO,然后证明ADCGgZVIC。，得到ZkOCG是等腰直角三角

形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立.

【详解】解：(1)・・・|。+4+6+4〃=-4,

・・・,+4+〃+劭+4=0,

.•.|"+可+(。+2)2=0,

/.a+b=0,b+2=(),

：.b=-2t

a=2,

：.A(0,2),B(-2,0)；

②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,

•••0/4=08=2,Z>408=90%

•••△AOB是等腰直角三角形,

:./48。=45°,

VEC1SC,

•••△BCE是等腰直角三角形，

：.8C=EC,ZBCE=90°=ZACD,

:.NACE=/DCB,

V^C=DC,

/.△CfA^ACBD,

AZCBD=Z£=45°,

：.OH=OB=2,

：.H(0,-2)；

(2)补全图形，如图：

•・•点8、£关于y轴对称,

；・OB=OE,

\*a+b=0,即。=一6

：,OA=OB=OE

延长。F至G使FG=OF,连DG,CG,

VOF=FG,NOFE=NDFG,EF=DF

:•△DFGdEFO

：.DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

•・.NCDG=NOCO：

Y4cO+NC4O=NACO+NDCO=90°,

••・NOCO=NC4O；

・・・NCDG=NO8=/C4。；

'：CD=ACfOA=DG

:.△DCGWXACO

：.OC=GC,ZDCG=ZACO

ZOCG=90°,

，NCOF=45°,

•••△OCG是等腰直角三角形，

由三线合一定理得CF±OF

VZOCF=ZCOF=45°,

:・CF=OF；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三免形的判定和性质，轴对称的性

质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题.

58.已知点4在x轴正半轴上，以0A为边作等边,。八£,A[x,0),其中x是方程

3122…

------------7=7-----7的解.

23x-l6.V-2

(1)求点4的坐标；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边48,连。8并延长

交V轴于点£，求NBEO的度数；

(3)如图2,点F为x轴正半轴上一动点，点F在点4的右边，连接FB,以FB为边在第

一象限内作等边，-F8G,连G4并延长交y轴于点H,当点F运动时，A尸的值是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围.

图1

(1)4(3,0)；(2)120°；(3)GH-A产的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解为x=3,即可求解；

(2)由“S4S"可证4。。也△DA8,可得NO84=NCO4=90。，由四边形内角和定理可求

解；

(3)由“S4S”可证△ABG^^OBF可得OF=AG,ZBAG=ZBOF=6Q°,可求NO4H=60。，可

得八片=6,即可求解.

3122

【详解】解：(1)・・一是方程：-「一;二;~的解.

23x-l6x-2

解得：x=3,

检验当x=3时，6K-2W0,3X-1W0,

・・・x=3是原方程的解，

・••点A(3,0)；

(2)VA4CD,是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,/8A0=NC40=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=A8,AD=AC,

：./^CAO^/\DAB(SAS)

：.ZDBA=ZC0A=9Q\

:.ZABE=90°,

'：40E+ZABE+N0A8+ZBf0=360°,

.,.Z8fO=120°；

(3)G+4F的值是定值，

理由如下：••'△ABC,ABEG是等边三角形，

：.BO=AB=AO=3,FB=BG,N80A=/48。=NF8G=60°,

：.ZOBF=ZABG,且。8=八8,BF=BG,

：./\ABG迫4OBF(SAS),

：,OF=AG,ZBAG=ZBGF=6Q°,

:.AG=OF=OA+4F=3+AF,

*/ZOAH=1800-ZOAB-ZBAG,

,NOAH=60°,月./AOH=90°,OA=3,

：,AH=6f

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=64-3+AF-AF=9.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的

性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

59.等边A48C中，点〃、K分别在边8C、AC上，且AK=C"，连接AH、8K交于点

尸.

(1)如图1,求/AF3的度数：

图1

(2)连接CF,若/W<?=90。，求打的值；

AF

(3)如图2,若点G为4?边的中点，连接“G,RAF=2FG,则N4/；G的大小是

F,

G

图2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由A48C是等边三角形，可得出A8=AC=8C,

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C”，可证A45Kg△C4/7(必S),得出

ZCAH=ZABK,由/8切=乙4派+/84尸=/。4”+/班/可求出/3/7/，最后由外角

定义求出NAEB.

(2)在M上取点。，使%)=A/，由44项=120。可证NART=I50。，再利用

AI3=AC,"BD=NCAF,%>=AE可证明A4瓦运ACA尸(SAS),进而求出

ZADB=ZCM=150°,再用补角的性质得知/4加=120。，在VA/T>中利用外角的性质可

求出NE4O=ZAO3-NAFD=30。，进而证出丫4尸。为等腰三角形，最后可证出

BF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长M至E,使AA庄为等边三角形，延长FG交CE于7,可得出

MBF^^ACE(SAS),进而得出NA£C=NA&?=120。，利用角的和差得出

ZF£T=60°=ZA?E,则证出A/M/EC,进而证出AAFG/4C7U(A4S),再利用

AF=2FG,4尸=律证出AEF7为等边三角形，进而记出N8FG=120。.

【详解】(1)・・・AA8C是等边三角形，

/.AB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在AAHK和\CAH中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

・•・^ABK^CAH(SAS),

・•・ZCAH=ZABK,

・•・ZLBFH=ZABK+/BAF=ZCAH+ZBAF=60°,

JZ4ra=180o-Z«FH=180o-60o=120°.

(2)在防上取点。，使RD=AF.

K

D

BHC

由(1)知乙4阳二120。，

XZBFC=90°,

ZAFC=150°.

在A4BD和△C4”中，

VAB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

.•・MBD^^CAF(SAS),

/.ZAT>8=NCE4=150。，

4=30°,

ZAFD=120°,

，ZFAD=ZADB-ZAFD=30°,

,ZFDA=ZFAD,

・•・AF=DF,

,:BD=AF,

:.BD=DF=AF,

BF=BD+DF=2AF,

：.BF.AF-2.

(3)Z^FG=120°.

提示：目测即得答案.详细理由如下：

由(1)知4阳=120。.延长8/至E,使A4FE为等边三角形.

延长依交CE于7.

•・•NBAF+NFAC=NFAC+NCAE=600,

工NBAF=NCAE,

在△84〃和VC4E中，

AF=AE

<ABAF=ZCAE,

AB=AC

・•・AABF^AACE(SAS),

，ZAEC=ZAFB=I2(r.

，ZFET=60°=ZAFE,

，AF//EC.

；•/FAG=NTCG,ZAFE=Z.TEF=^°

在..AFG和.C7G中，

ZFAG=Z.TCG

<AG=CG,

乙FGA=/TGC

：.AAFG^AC7U(A45),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

•・•ZAFE=Z7EF=60°

・••AEF7为等边三角形，

/.ZEfT=60°

・•・NBFG=180°-/EFT=120°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，熟练掌握全等三侑形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

60、在平面直角坐标系中，A(a,0),8(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C

与点A关于y轴对称，点P是x轴正半釉上C点右侧一动点.

(1)当2a2+4曲4〃+2。+1=0时,求48的坐标；

(2)当G+b=0时，

①如图1,若。与P关于y轴对称，P£_LD8并交D8延长线于E,交AB的延长线于F,求

证：P8=PF；

②如图2,把射线8P绕点8顺时针旋转450,交x轴于点Q,当CP=AQ时，求N4P8的

(1)4(-1,0),5(0,1)；(2)①见解析；②N4P8=22.5'

【分析】(1)利用非负数的性质求解即可；

(2)①想办法证明NP8F=NF,可得结论；②如图2中，过点Q作QF_LQ8交P8于F,

过点F作凸_Lx轴于从可得等腰直角2QF,证明(A4S),再证明FC=FP

即可解决问题.

【详解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+26)2+(a+1)2=c,

V(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

.・・a=-Lb=Lf

：.A(-1,0),8(0,；).

a+b=0,

.*.a=-b,

.\OA=OB,

又1Z>408=90°.

，N8AO=NA8O=45°,

•・•。与P关于y轴对称，

:・BD=BP,

：・NBDP=NBPD,

设N8DP=N8P0=a,

则ZPBF=ZBAP+ZBPA=45°+a,

•・・PE_L08,

：.^BEF=30°,

・・.NF=90。-NEBF,

又NEBF=NABD=NBAO-N8OP=45°-a,

:.ZF=450+a,

・・・NPBF=NF,

:.PB=PF.

②解：如图2中，过点。作QF_LQ8交P8于F,过点F作F”_Lx轴于可得等腰直用

△BQF,

图2

■:N80Q=/BQF=ZFHQ=90°,

，N8QO+NFQH=90。，/FQH+NQFH=90°,

：・NBQO=NQFH,

•：QB=QF,

:.△FQHWAQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

：,HO=AQ=PC,

：.PH=OC=OB=QH,

：.FQ=FP,

又N8FQ=45°,

:.ZAPB=22.5°.

【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形的判定与性质，解题为关键是综合运用相关知识解题.

61.如图，已知C。是线段的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，ZBAC=30°,。是

直线C。上一动点，E是射线AC上除4点外的一点，PB=PE,连8E.

(1)如图1，若点P与点C重合，求N48E的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+gAC=CE；

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：ABPE为等边

三角形，则NCB£=60°,故N48£=90°；

(2)如图2,过P作PH14E于9连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ACPH以及全等三角形(R3PGB郅SPHE),根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；

(3)分三种情况讨论，根据(2)的解题思路得至l」PO=；AC+CE或P0=CE-；4C,将数值代

22

入求解即可.

【详解】(1)解：如图1,•・•点P与点C重合，CD是线段A8的垂直平分线，

图1

：.PA=PB,

.••N%8=NP84=30°,

ZBPE=ZPAB+ZPBA=6Q°,

•：PB=PE,

•••△8PE为等边三角形，

:.NC8E=60°,

:.NA8E=90°；

(2)如图2,过P作PH_L4E于从连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,

・.・CD垂直平分48,

：,CA=CB,

VZe4C=30°,

:.NACD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=ZBCD=60°,

.,.ZGPC=ZHPC=30%

:・PG=PH,CG=CH=-CP,CD=-AC,

22

在R3PGB和RtAPHE中,

PG=PH

PB=PE'

:・R3PGgRt"HE(HL).

：,BG=EH,CB+CG=CE-CHt

：.CB+-CP=CE--CP,B|JCB+CP=CE,

22

又［CB=AC,

：.CP=PD-CD=PD--AC,

2

：.PD+-AC=CE：

（3）①当P在C点上方时，由（2）得：PD=CE-^AC,

当AC=6,C£=2时,PD=2-3=-l,不符合题意;

②当P在线段C。上时，

如图3,过P作连8C,作PG_L8c交8C「G,

此时RSPGBgRtMHE(HL),

：.BG-EH,R|JCB-CG-CE+CH,

：.CB--CP=CE+-CP,SPCP=CB-CE,

22

又YCBJC,

:.PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

当47=6,CE=2时,PD=2-3=-l,不符合题意;

③当P在。点下方时，如图4,

当47=6,C£=2时，PD=3-2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直

角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨

论.

62.在平面直角坐标系中，点4的坐标是（0，〃），点B的坐标（尻0）且a,b满足

/-12〃+36+|〃-4=0.

（1）求A、8两点的坐标：

（2）如图（1）,点C为x轴负半轴一动点，OCvOB.BDLAC于D,交y轴于点£,

求证：0。平分N6A.

（3）如图（2）,点F为A8的中点，点G为x正半轴点“右侧的一动点，过点F作收的

垂线中，交y轴的负半轴于点H,那么当点G的位置不断变化时，S八"S"*的值是

否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.

（1）4。，6）,"（6,0）；（2）证明见解析；（3）不变化，S"”—S初G=9.

【分析】（1）由非负性可求。，b的值，即可求4、8两点的坐标：

（2）过点。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（3）由于点F是等腰直角三角形八。8的斜边的中点，所以连接。F,得出0F=8F.ZfiFO=

/GFH,进而得出N0FH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三

角形面积公式解答即可.

【详解】解：（1）-：a2-\2a+36+\a-b\=Q

(a-6)~+|a-4=0,

a-6=0

,八，即a=8=6.

a-b=0

・・.A(0,6),8(6,0).

(2)如图，过点。作0M_L3。于M,ONJ.4c于N,

根据题意可知Z4CO+ZC4O=90°.

8。J.AC,

ZBCD+ZCBE=90°,

，4CAO=ZCBE.

4(0,6),B(6,0),

OA=OB=6.

/CAO=NEBO

在△AOC和ABOE中，OA=OB

/AOC=^BOE=90°

：.AOC^.BOE(ASA).

.・.OE=OC，AC=BE，SeS…

：.-AC-ON=~BE-OM,

22

：・OM=ON,

工点。一定在NCD8的角平分线上，

即0。平分NCD8.

(3)如图，连接0F,

•・•AQB是等腰直角三角形旦点F为人B的中点,

C.OFVAB,OF=FB,OF平分NA08.

4OFB=4OFH+ZHFB=9Q°.

又「FG1.FH,

，/HFG=/BFG+/HFB=90°,

，NOFH=NBFG.

•・•/FOB=L^AOB=45。,

2

...^FOH=Z.FOB+=d5°+90°=135°.

又\*/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

・•・4FOH=4FBG.

/OFH=NBFG

在△FOH和△F3G中，OF=BF,

NFOH=ZFBG

：,FOH^FBGCASA).

•**SFOH-SFBG»

S.AFH-Sfbg=SAFH-SF0H=SF0A=—SA0B=—x—=—x6x6=9.

故不发生变化，且S.""-S'w=9.

【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的

性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

63.如图1,在平面直角坐标系中，AO=AB,N8AO=90。，8O=8cm,动点。从原点。出

发沿x轴正方向以acm/s的速度运动，动点E也同时从原点0出发在y轴上以bcm/s的速

度运动，且。，b满足关系式a2+b2-4a-2b+5=0,连接0D,0£,设运动的时间为t杪.

(1)求a,b的值：

(2)当t为何值时，ABAD出40AE；

(3)如图2,在第一象限存在点P,使N4OP=30°,NAP0=15。，求乙48P.

8

(1)a=2,b=l：(2)t=§或t=8：(3)/ABP=105°.

【分析】(1)将。2+b2-4a-2b+5=0用配方法得出(a-2)2+(d-1)2=0,利用非负数

的性质，即可得出结论；

(2)先由运动得出80=8-2t|,再由全等三角形的性质的出货80=0E,建立方程求解

即可得出结论.

(3)先判断出AOAP丝△B4Q(S/45),得出。P=8Q,ZABQ=ZA0P=3Q°,ZAQB=Z

AP0=15°f再求出NOWP=135。，进而判断出AOAQ名△84Q(SAS),得出N0QA=N8Q4

=15。，0Q=8Q,再判断出AOP。是等边三角形，得出/OQP=60。，进而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=乃。，即可得出结论.

【详解】解：(1):标+炉-4a-2b+5=0,

・•・(a-2)2+(b-1)2=0,

.\a-2=0,b-1=0,

，a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,5=1,

由运动知，0D=2t,OE=t,

VOB=8,

：.DB=\8-2tl

ABAD出＞OAE,

•/DB=OE,

/.|8-2t|=t,

Q

解得，t=~(如图1)或t=8(如图2)；

J

(3)如图3,

过点A作AQ_LAP，使AQ=4P,连接OQ,BQ,PQ,

则/APQ=45°,N%Q=90°,

•・•/OA8=90°,

:・/PAQ=/OAB,

:.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP,

即：ZOAP=ZBAQ,

\'OA=ABtAD=AD,

：,/\OAP^/\BAQ.(545).

：,OP=BQ,ZABQ=ZA0P=30o,ZAQB=ZAPO=15°.

在△AOP中，N40P=30°,N4PO=15°,

:.ZO/4P=1800-NAOP-ZAPO=13S°,

NOAQ=3600-ZOAP-N%Q=135。-90。=135。=N04P,

•：OA=AB,AD=ADt

.,.△O/AQ^ABAQ(SAS),

/.ZOQ4=Z8Q4=15°,OQ=BQ,

,：OP=BQ,

，OQ=OP,

•・・NAPQ=45。，ZAPO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

.•.△OPQ是等边三角形，

/.ZOQP=60°,

；・NBQP=NOQP-ZOQA-ZBQA=60°-15°-15°=30°,

•；BQ=PQ,

••・NPBQ=g(1800-Z8QP)=75°,

:.ZABP=ZABQ+ZPBQ=300+75°=105°.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、

等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键.

64.如图1,在平面直角坐标系中，点A（0“L2）,B（0,0）,C（36,询，旦〃满足

a2-2ab+2b2-\6l）+64=0,连接48,AC,AC交工轴于£）点.

（1）求。点的坐标：

（2）求证：ZOAC+ZABO=450；

（3）如图2,点E在线段AB上，作EGJL），轴于G点，交AC于F点、,若EG=AO,求

证：EF^OD+AG.

图1图2

（1）C（2,-8）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）由非负性可求a,b的值，即可求解：

（2）由"SAS"可■证△ABPg^BCQ,可得AB=BC,ZBAP=ZCBQ,可证Z\ABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得结论；

（3）由"AAS"可证△ATOgaEAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS”可证△TADgZ\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行线的性质可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得结论.

【详解】解：（1）Va2-2ab+2b2-16b+64=O,

:.（a-b）2+（b-8）2=0,

••s=b=8，

Ab-6=2,

工点C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

・••点A(0,6),点B(8,0),点C(2,-8),

，AO=6,OB=8,

如图1,过点B作PQJ_x轴，过点A作AP_LPQ,交PQ于点P,过点C作CQ_LPQ,交PQ

于点Q,

图1

・•・四边形AOBP是矩形，

.\AO=BP=6,AP=OB=8,

二点B(8,0),点C(2-8),

.\CQ=6,BQ=8,

.•・AP=BQ,CQ=BP,

RZAPB=ZBCQ

AAABP^ABCQ(SAS),

AAB=BC,ZBAP=ZCBQ,

VZBAP+ZABP=90°,

，NABP+NCBQ=90°,

AZABC=90°,

/.△ABC是等腰直角三角形，

:.ZBAC=45°,

VZOAD+ZADO=ZOAD+ZBAC+ZABO=90°,

/.ZOAC+ZABO=45°；

(3)如图2.过点A作AT_LAB,交x轴于T.连接ED,

图2

:.ZTAE=90°=ZAGE,

:.ZATO+ZTAO=90°=ZTAO+ZGAE=ZGAE+ZAEG,

/.ZATO=ZGAE,ZTAO=ZAEG,

又・.・EG=AO,

.,.△ATO^AEAG(AAS),

AAT=AE,OT=AG,

VZBAC=45°,

/.ZTAD-ZEAD-/I5%

XVAD=AD,

/.△TAD^AEAD（SAS）,

.\TD=ED,ZTDA=ZEDA,

VEG1AG,

••・EG〃OB,

AZEFD=ZTDA,

/.ZEFD=ZEDF,

/.EF=ED,

EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD,

AEF=AG+OD.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全

等三角形是本题的关键.

65.（1）模型：如图1,在,.A8C中，平分N8AC,DELAB,DF1AC,求证：

S3DB-SMDC=48:AC.

（2）模型应用：如图2,AD平分NH4C交8C的延长线于点。，求证：

AB.AC=BD\CD.

（3）类比应用：如图3,/W平分ND4E,AE=AD,ZD+Z£=180°,求证：

BE:CD=AB:AC.

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【分析】（1）由题意得DE=DF,SMDB=；；DE,=^-AC-DF,即可得出耳^：

^SADC=AB：AC；

（2）在AB上取点匚，使得AiC,根据题意可证小阵"3从而可求出矍

翳=器'即可求解;

（3）延长BE至M,使EM=DC,连接AM,根据题意可证△ADCgZ\AEM,故而得出AE为

ARAMAC

NBAM的角平分线，即笠=黑=生，即可得出答案;

BEEMDC

【详解】解：（1）.・力口平分NBAC,DE1AB,DE1AC,

.\DE=DF,

S

XWB=,SMDC=^AC»DF,

**•^SADB：5AA0c=AB：AC；

(2)如图，在AB上取点E,使得AE=AC,连接DE

又丁AD平分NCAE,

:.ZCAD=ZDAE,

在ZkACD和MED中，

AC=AE

，ZC4D=ZDAE,

AD=AD

/.△ACD^AAED(SAS),

ACD=DEl.ZADC=ZADE;

.BDDE

••=,

ABAE

.BDCD

,•瓦一而'

.\AB：AC=BD：CD；

(3)如图延长BE至M,使EM=DC,连接AM,

VZD+ZAEB=180°,

XVZAEB+ZAEM=180°,

.\ZD=ZAEM,

在AADC与ZiAEM中，

AD=AE

N£)=N4EM,

DC=EM

.,.△ADC^AAEM(SAS),

.\ZDAC=ZEAM=ZBAE,AC=AM,

AAE为NBAM的角平分线，

认ABAMAC

故—=---=——,

BEEMDC

ABE：CD=AB：AC；

A

D

CV/\

BEM

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应

用，正确掌握知识点是解题的关键；

66.如图，RtABC中，/BAC=90。，AB=AC.

图1图2

(1)如图1,AD±AE,BE工AE,求证：△ZMC二ZXEBA：

(2)如图2,ZAFD=ZCEB,AF=CE,请直接用几何语言写出侬、0A的位置关系

(3)证明(2)中的结论.

(1)见解析；(2)BEIDA；(3)见解析

【分析】(1)根据垂直的定义可得NADC=NE=90°,根据余角的性质可得/ACD=NBAE,

然后根据AAS即可证得结论；

(2)由于要得出庭;、DA的位置关系，结合图形可猜想：