工程问题专题训练

工程问题专题训练一、工程问题基本概念与公式（一）基本概念工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。工作量指的是完成的工作总量，工作效率是单位时间内完成的工作量，工作时间则是完成工作总量所需的时间。

（二）基本公式1.工作量=工作效率×工作时间2.工作效率=工作量÷工作时间3.工作时间=工作量÷工作效率

二、简单工程问题（一）例题讲解1.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，需要几天完成？解析：设工作总量为1。甲的工作效率为\(1÷10=\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(1÷15=\frac{1}{15}\)。两人合作的工作效率为\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)\(=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}\)\(=\frac{5}{30}\)\(=\frac{1}{6}\)根据工作时间=工作量÷工作效率，可得两人合作需要的时间为\(1÷\frac{1}{6}=6\)（天）。

2.一件工作，甲3小时完成了\(\frac{1}{4}\)，照这样计算，完成这件工作一共需要多少小时？解析：甲的工作效率为\(\frac{1}{4}÷3=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\)。根据工作时间=工作量÷工作效率，完成这件工作需要的时间为\(1÷\frac{1}{12}=12\)（小时）。

（二）巩固练习1.一项工程，甲单独做8小时完成，乙单独做12小时完成。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作，完成任务时共用多少小时？2.修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？

三、复杂工程问题（一）多人合作工程问题1.例题讲解有一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？解析：设甲的工作效率为\(x\)，乙的工作效率为\(y\)，丙的工作效率为\(z\)。根据"丙休息2天，乙就要多做4天"可得\(2z=4y\)，即\(z=2y\)。根据"丙休息2天，甲、乙两人合作1天"可得\(2z=x+y\)。把\(z=2y\)代入\(2z=x+y\)，可得\(4y=x+y\)，则\(x=3y\)。因为三人合作的工作效率为\(x+y+z=1÷13=\frac{1}{13}\)，把\(z=2y\)，\(x=3y\)代入可得：\(3y+y+2y=\frac{1}{13}\)\(6y=\frac{1}{13}\)\(y=\frac{1}{78}\)那么\(x=3y=3×\frac{1}{78}=\frac{1}{26}\)。所以甲单独做需要的时间为\(1÷\frac{1}{26}=26\)（天）。

2.巩固练习一项工程，甲、乙合作6天能完成\(\frac{5}{6}\)。单独做，甲完成\(\frac{1}{3}\)与乙完成\(\frac{1}{2}\)所需的时间相等。甲、乙单独做各需多少天？

（二）工作效率变化问题1.例题讲解一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的\(\frac{13}{15}\)，如果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？解析：设甲的工作效率为\(x\)，乙的工作效率为\(y\)。根据"甲、乙两队合作需6天完成"可得\(6(x+y)=1\)，即\(x+y=\frac{1}{6}\)。"乙队先做7天，然后甲队做4天"可表示为\(7y+4x=\frac{13}{15}\)。将\(x=\frac{1}{6}y\)代入\(7y+4x=\frac{13}{15}\)可得：\(7y+4(\frac{1}{6}y)=\frac{13}{15}\)\(7y+\frac{2}{3}4y=\frac{13}{15}\)\(3y=\frac{13}{15}\frac{2}{3}\)\(3y=\frac{13}{15}\frac{10}{15}\)\(3y=\frac{1}{5}\)\(y=\frac{1}{15}\)那么甲的工作效率\(x=\frac{1}{6}\frac{1}{15}=\frac{5}{30}\frac{2}{30}=\frac{1}{10}\)。工程剩余\(1\frac{13}{15}=\frac{2}{15}\)，乙队单独完成需要的时间为\(\frac{2}{15}÷\frac{1}{15}=2\)（天）。

2.巩固练习一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了16天。甲先做了几天？

（三）交替工作与周期问题1.例题讲解一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作，完成任务时，共用了多少小时？解析：甲的工作效率为\(1÷12=\frac{1}{12}\)，乙的工作效率为\(1÷18=\frac{1}{18}\)。甲乙各做1小时看作一个周期，一个周期完成的工作量为\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)\(=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}\)\(=\frac{5}{36}\)。\(1÷\frac{5}{36}=7\cdots\cdots\frac{1}{36}\)，即经过7个完整周期后还剩下\(\frac{1}{36}\)的工作量。此时轮到甲做，甲完成\(\frac{1}{36}\)需要的时间为\(\frac{1}{36}÷\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)（小时）。所以共用的时间为\(7×2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）。

2.巩固练习一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时......两人如此交替工作。那么打完这部书稿时，甲、乙两人共用多少小时？

四、工程问题中的比例关系（一）例题讲解1.甲、乙、丙三人合修一围墙，甲、乙合修6天修好围墙的\(\frac{1}{3}\)，乙、丙合修2天修好余下的\(\frac{1}{4}\)，剩下的三人又合修了5天才完成。共得工资1800元，按各人所完成的工作量的多少来合理分配，每人应得多少元？解析：甲、乙合修6天修好围墙的\(\frac{1}{3}\)，则甲、乙合作的工作效率为\(\frac{1}{3}÷6=\frac{1}{18}\)。乙、丙合修2天修好余下的\(\frac{1}{4}\)，余下的工作量为\(1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)，修好的工作量为\(\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\)，则乙、丙合作的工作效率为\(\frac{1}{6}÷2=\frac{1}{12}\)。剩下的工作量为\(1\frac{1}{3}\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)，三人合修5天完成，则三人合作的工作效率为\(\frac{1}{2}÷5=\frac{1}{10}\)。那么甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\frac{1}{12}=\frac{6}{60}\frac{5}{60}=\frac{1}{60}\)。乙的工作效率为\(\frac{1}{18}\frac{1}{60}=\frac{10}{180}\frac{3}{180}=\frac{7}{180}\)。丙的工作效率为\(\frac{1}{12}\frac{7}{180}=\frac{15}{180}\frac{7}{180}=\frac{2}{45}\)。甲完成的工作量为\(\frac{1}{60}×(6+5)=\frac{11}{60}\)。乙完成的工作量为\(\frac{7}{180}×(6+2+5)=\frac{91}{180}\)。丙完成的工作量为\(\frac{2}{45}×(2+5)=\frac{14}{45}\)。甲应得工资\(1800×\frac{11}{60}=330\)（元）。乙应得工资\(1800×\frac{91}{180}=910\)（元）。丙应得工资\(1800×\frac{14}{45}=560\)（元）。

2.工作量一定，工作效率与工作时间成反比。一项工程，如果甲、乙两队合作，30天可以完成。现在甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合作了12天，这时甲队调走，乙队继续做15天才完成这项工程。问甲队单独完成这项工程需要多少天？解析：设甲队的工作效率为\(x\)，乙队的工作效率为\(y\)。根据"甲、乙两队合作，30天可以完成"可得\(30(x+y)=1\)，即\(x+y=\frac{1}{30}\)。甲队单独做24天，两队又合作12天，乙队再做15天完成工程，可表示为\(24x+12(x+y)+15y=1\)。把\(x+y=\frac{1}{30}\)代入上式可得：\(24x+12×\frac{1}{30}+15y=1\)\(24x+\frac{2}{5}+15y=1\)\(24x+15y=1\frac{2}{5}\)\(24x+15y=\frac{3}{5}\)由\(x+y=\frac{1}{30}\)可得\(y=\frac{1}{30}x\)，代入\(24x+15y=\frac{3}{5}\)可得：\(24x+15(\frac{1}{30}x)=\frac{3}{5}\)\(24x+\frac{1}{2}15x=\frac{3}{5}\)\(9x=\frac{3}{5}\frac{1}{2}\)\(9x=\frac{6}{10}\frac{5}{10}\)\(9x=\frac{1}{10}\)\(x=\frac{1}{90}\)所以甲队单独完成这项工程需要的时间为\(1÷\frac{1}{90}=90\)（天）。

（二）巩固练习1.甲、乙、丙三人合作完成一项工程，共得报酬1800元。已知甲、乙先合做8天完成工程的\(\frac{1}{3}\)，接着乙、丙合做2天完成余下的\(\frac{1}{4}\)，最后三人合做5天完成全部工程。今按劳取酬，问甲、乙、丙三人每人可得报酬多少元？2.一项工程，甲、乙合作8天完成，乙、丙合作6天完成，丙、丁合作12天完成。那么甲、丁合作多少天可以完成？

五、工程问题综合应用（一）例题讲解1.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？解析：三人一共完成了两个仓库的任务，那么完成任务的总时间为\(2÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15})\)\(=2÷(\frac{6}{60}+\frac{5}{60}+\frac{4}{60})\)\(=2÷\frac{15}{60}\)\(=2×4=8\)（小时）。甲8小时完成的工作量为\(\frac{1}{10}×8=\frac{4}{5}\)，那么A仓库剩下的工作量为\(1\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)，这是丙帮甲做的。丙帮甲的时间为\(\frac{1}{5}÷\frac{1}{15}=3\)（小时）。丙帮乙的时间为\(83=5\)（小时）。

2.一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果按甲、乙、甲、乙......顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？解析：甲的工作效率为\(1÷6=\frac{1