相似三角形性质教案

相似三角形性质教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解并掌握相似三角形的性质定理，包括对应角相等，对应边成比例，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。能够运用相似三角形的性质定理解决简单的计算和证明问题。2.过程与方法目标通过对相似三角形性质的探究过程，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。经历性质的推导和应用过程，提高学生逻辑推理和解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过小组合作探究，培养学生的团队合作精神和交流能力。让学生在探究活动中体验数学的严谨性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

二、教学重难点1.教学重点相似三角形性质定理的理解和掌握。相似三角形性质定理的应用，特别是利用性质进行计算和证明。2.教学难点相似三角形性质定理的综合应用，尤其是面积比与相似比关系的理解和运用。如何引导学生通过自主探究、合作交流得出相似三角形的性质，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。

三、教学方法1.讲授法：讲解相似三角形性质的概念、定理及证明思路，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过创设问题情境，引导学生自主探究相似三角形的性质，培养学生的探究能力和创新思维。3.讨论法：组织学生进行小组讨论，交流探究结果，促进学生之间的思想碰撞和合作学习。4.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾相似三角形的定义和判定方法提问：什么是相似三角形？相似三角形有哪些判定方法？学生回答后，教师总结：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；判定方法有平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似。2.引出课题教师：我们已经知道了相似三角形的定义和判定方法，那么相似三角形除了这些，还有哪些性质呢？今天我们就来探究相似三角形的性质。（板书课题：相似三角形性质）

（二）探究新知（25分钟）1.探究相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质展示两个相似三角形，引导学生观察对应角和对应边的关系。学生通过观察、测量等方法，发现相似三角形对应角相等，对应边成比例。教师总结：相似三角形对应角相等，对应边成比例，这是相似三角形的基本性质，也是判定两个三角形相似的逆性质。2.探究相似三角形对应线段的比等于相似比提出问题：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比有什么关系？让学生分组进行探究，测量两个相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的长度，并计算它们的比值。小组代表汇报探究结果，教师引导学生总结得出：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。教师通过几何画板进行动态演示，进一步验证上述结论，加深学生的理解。3.探究相似三角形周长的比等于相似比设两个相似三角形的相似比为$k$，它们的对应边分别为$a,b,c$和$ka,kb,kc$。计算两个三角形的周长：第一个三角形周长$C_1=a+b+c$，第二个三角形周长$C_2=ka+kb+kc=k(a+b+c)$。引导学生得出：$\frac{C_2}{C_1}=k$，即相似三角形周长的比等于相似比。4.探究相似三角形面积的比等于相似比的平方提出问题：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？让学生思考并尝试推导，教师给予适当的提示。设两个相似三角形的相似比为$k$，对应高分别为$h_1$和$h_2$。根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{h_2}{h_1}=k$。两个三角形面积分别为$S_1=\frac{1}{2}ah_1$，$S_2=\frac{1}{2}(ka)(kh_1)=k^2\times\frac{1}{2}ah_1$。引导学生得出：$\frac{S_2}{S_1}=k^2$，即相似三角形面积的比等于相似比的平方。教师通过实例进一步说明相似三角形面积比与相似比平方的关系，如两个相似三角形相似比为$2$，则它们面积比为$4$。

（三）知识讲解（15分钟）1.相似三角形性质定理的总结相似三角形对应角相等，对应边成比例。相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。2.定理的符号语言表示已知$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，相似比为$k$。则$\angleA=\angleA'$，$\angleB=\angleB'$，$\angleC=\angleC'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$。对应高：$\frac{h_{AB}}{h_{A'B'}}=k$；对应中线：$\frac{m_{AB}}{m_{A'B'}}=k$；对应角平分线：$\frac{l_{AB}}{l_{A'B'}}=k$。周长：$\frac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleA'B'C'}}=k$；面积：$\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=k^2$。3.强调相似三角形性质定理的应用条件和注意事项应用条件：必须是相似三角形。注意事项：在运用性质进行计算和证明时，要准确找到对应边和对应角，注意相似比的正确使用。

（四）例题讲解（15分钟）例1：已知$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，相似比为$3:4$，$AB=6cm$，求$A'B'$的长。解：因为$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，相似比为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{4}$，$AB=6cm$。设$A'B'=xcm$，则$\frac{6}{x}=\frac{3}{4}$，解得$x=8cm$。所以$A'B'$的长为$8cm$。

例2：如图，$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2cm$，$DB=4cm$，$DE=3cm$，求$BC$的长。解：因为$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$。相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}$。因为相似三角形对应边成比例，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$。已知$DE=3cm$，设$BC=xcm$，则$\frac{3}{x}=\frac{1}{3}$，解得$x=9cm$。所以$BC$的长为$9cm$。

例3：已知两个相似三角形的周长分别为$10cm$和$15cm$，它们的面积差为$25cm^2$，求这两个三角形的面积。解：设两个相似三角形的周长分别为$C_1=10cm$，$C_2=15cm$，相似比为$k$。则$k=\frac{C_1}{C_2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。设两个三角形的面积分别为$S_1$，$S_2$，则$\frac{S_1}{S_2}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。设$S_1=4xcm^2$，则$S_2=9xcm^2$。已知$S_2S_1=25cm^2$，即$9x4x=25$，$5x=25$，解得$x=5$。所以$S_1=4x=20cm^2$，$S_2=9x=45cm^2$。

通过例题讲解，让学生进一步熟悉相似三角形性质定理的应用，掌握解题思路和方法，提高学生运用知识解决问题的能力。

（五）课堂练习（10分钟）1.已知$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，相似比为$2:3$，$A'B'=9cm$，则$AB$的长为（）A.$6cm$B.$12cm$C.$18cm$D.$27cm$2.如图，$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=1$，$DB=2$，$DE=2$，则$BC$的长为（）A.$4$B.$6$C.$8$D.$10$3.两个相似三角形对应中线的比为$1:2$，则它们对应高的比为（）A.$1:2$B.$1:3$C.$1:4$D.$1:8$4.已知两个相似三角形的面积比为$9:16$，则它们的相似比为（）A.$3:4$B.$4:3$C.$9:16$D.$16:9$5.如图，在$\triangleABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，且$DE\parallelBC$，$S_{\triangleADE}:S_{四边形BCED}=1:8$，求$AD:AB$的值。

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，对有困难的学生进行个别辅导。完成后，教师公布答案，让学生同桌之间互相批改，统计学生的答题情况，针对学生存在的问题进行讲解。

（六）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容相似三角形的性质定理有哪些？如何应用相似三角形的性质定理进行计算和证明？2.请学生分享本节课的收获和体会通过本节课的学习，你在知识、方法和思维方面有哪些收获？在探究相似三角形性质的过程中，你遇到了哪些困难？是如何解决的？3.教师对学生的回答进行总结和补充，强调相似三角形性质定理的重要性和应用时的注意事项，鼓励学生在今后的学习中继续积极探究数学知识。

（七）布置作业（5分钟）1.必做题已知$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，相似比为$3:5$，$A'B'AB=12cm$，求$AB$和$A'B'$的长。如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2BD$，$BC=9cm$，求$DE$的长。2.选做题已知两个相似三角形对应角平分线的比为$4:9$，它们的周长之差为$10cm$，求这两个三角形的周长。如图，$\triangleABC$中，$D$是$AB$上一点，连接$CD$，$\angleACD=\angleB$，$AD=4$，$AC=6$，求$BD$的长。

作业布置体现了分层教学的理念，必做题主要考查学生对相似三角形性质定理的基本应用，巩固所学知识；选做题则具有一定的难度，供学有余力的学生拓展提升，培养学生的综合运用能力和创新思维。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对相似三角形的性质有了较为系统的认识和理解，能够掌握相似三角形性质定理的内容，并运用其解决简单的计算和证明问题。在教学过程中，采用了多种教学方法，如讲授法、探究法、讨论法和练习法等，充分发挥了学生的主体作用，引导学