20年7月考试《工程力学X》考核作业东大

20年7月考试《工程力学X》考核作业东大摘要：本文档是对20年7月《工程力学(二)X》考核作业的全面整理。涵盖了工程力学的基本概念、静力学分析、材料力学基础等方面的内容。通过对知识点的梳理、例题分析以及作业题解答，深入探讨了工程力学在实际工程中的应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握该课程的核心要点，为解决相关工程力学问题提供清晰的思路和方法。

一、引言工程力学作为一门重要的专业基础课程，在工程领域中具有广泛的应用。它主要研究物体的受力分析、运动状态以及材料的力学性能等方面的问题。本次考核作业围绕工程力学的多个知识点展开，通过一系列的题目考查学生对课程内容的掌握程度和应用能力。

二、静力学分析（一）基本概念1.力的概念力是物体间的相互机械作用，其作用效果使物体的运动状态发生改变或使物体产生变形。力具有大小、方向和作用点三个要素。2.静力学公理二力平衡公理：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。加减平衡力系公理：在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。力的平行四边形法则：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。作用与反作用定律：作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，且沿同一直线分别作用在两个相互作用的物体上。

（二）受力分析1.受力图的绘制正确绘制受力图是解决静力学问题的关键步骤。以一个简单的平面桁架为例，首先明确研究对象，然后分析作用在研究对象上的所有外力，包括主动力和约束力。按照力的作用点和方向，将这些力准确地绘制在受力图上。例如，对于一个一端固定一端自由的梁，作用有竖向荷载P。在绘制受力图时，固定端处有竖向约束力、水平约束力和约束力偶，自由端处只有竖向荷载P。

2.约束与约束力约束是阻碍物体运动的限制条件，约束力是约束对被约束物体的作用力。常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束等。柔索约束：如绳索、链条等，约束力沿柔索中心线背离物体。光滑接触面约束：约束力垂直于接触面，指向被约束物体。光滑铰链约束：分为中间铰链和固定铰链支座。中间铰链的约束力通过铰链中心，方向通常假设；固定铰链支座有两个相互垂直的约束力。固定端约束：有竖向约束力、水平约束力和约束力偶。

（三）力系的简化与平衡1.力系的简化力系的简化是将复杂的力系转化为较简单的等效力系的过程。对于平面力系，可通过力的平移定理将力平移到指定点并附加一个力偶。例如，一个作用在刚体上某点A的力F，可平移到刚体上另一点O，同时附加一个力偶，力偶矩M=Fd（d为A、O两点间的垂直距离）。

2.力系的平衡条件平面力系的平衡条件是力系的主矢和主矩都等于零。即：平面汇交力系：\(\sumF_x=0\)，\(\sumF_y=0\)平面一般力系：\(\sumF_x=0\)，\(\sumF_y=0\)，\(\sumM_O=0\)通过建立合适的坐标系，求解平衡方程，可得到未知力的大小和方向。

例如，求解一个悬臂梁在均布荷载作用下的约束力。首先取梁为研究对象，绘制受力图，然后根据平面一般力系的平衡条件\(\sumF_x=0\)，\(\sumF_y=0\)，\(\sumM_A=0\)列出方程求解。设梁长为L，均布荷载集度为q。\(\sumF_x=0\)，可得水平约束力\(F_{Ax}=0\)\(\sumF_y=0\)，可得竖向约束力\(F_{Ay}=qL\)\(\sumM_A=0\)，可得约束力偶\(M_A=\frac{1}{2}qL^2\)

三、材料力学基础（一）基本变形1.轴向拉伸与压缩内力分析：通过截面法求轴力，轴力的大小等于截面一侧所有外力的代数和。应力分析：正应力\(\sigma=\frac{F_N}{A}\)，其中\(F_N\)为轴力，A为横截面面积。变形计算：轴向变形\(\Deltal=\frac{F_Nl}{EA}\)，其中E为弹性模量，l为杆长。例如，一根等截面直杆，受轴向拉力F作用，杆长为l，横截面面积为A，弹性模量为E。则轴力\(F_N=F\)，正应力\(\sigma=\frac{F}{A}\)，轴向变形\(\Deltal=\frac{Fl}{EA}\)。

2.剪切与挤压剪切：剪切面上的切应力\(\tau=\frac{F_S}{A_S}\)，其中\(F_S\)为剪力，\(A_S\)为剪切面面积。挤压：挤压面上的挤压应力\(\sigma_{bs}=\frac{F_{bs}}{A_{bs}}\)，其中\(F_{bs}\)为挤压力，\(A_{bs}\)为挤压面面积。例如，两块钢板用螺栓连接，承受拉力F。螺栓受剪切力\(F_S=\frac{F}{n}\)（n为螺栓个数），剪切面面积为\(A_S\)，则切应力\(\tau=\frac{F_S}{A_S}\)。螺栓与钢板之间存在挤压力\(F_{bs}=\frac{F}{n}\)，挤压面面积为\(A_{bs}\)，挤压应力\(\sigma_{bs}=\frac{F_{bs}}{A_{bs}}\)。

3.扭转扭矩计算：通过截面法求扭矩，扭矩的大小等于截面一侧所有外力矩的代数和。切应力计算：圆轴扭转时，横截面上某点的切应力\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)，其中T为扭矩，\(\rho\)为该点到圆心的距离，\(I_p\)为极惯性矩。扭转角计算：\(\varphi=\frac{Tl}{GI_p}\)，其中G为切变模量，l为杆长。例如，一根圆轴，受外力矩T作用，长度为l。通过截面法求得扭矩\(T\)，根据横截面上切应力公式计算切应力分布。根据扭转角公式计算圆轴两端的相对扭转角\(\varphi\)。

4.弯曲内力分析：梁的内力有剪力\(F_S\)和弯矩\(M\)，通过截面法求解。应力分析：正应力\(\sigma=\frac{My}{I_z}\)，其中M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，\(I_z\)为截面惯性矩。切应力\(\tau=\frac{F_SS_z^*}{I_zb}\)，其中\(S_z^*\)为所求切应力点以外部分截面面积对中性轴的静矩，b为截面宽度。变形计算：梁的变形有挠度和转角，可通过积分法或叠加法计算。例如，一个简支梁受集中荷载P作用。通过截面法求出梁各截面的剪力和弯矩方程，进而根据正应力和切应力公式计算应力分布。利用积分法或叠加法计算梁的挠度和转角。

（二）材料的力学性能1.拉伸试验低碳钢拉伸试验的四个阶段为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。弹性模量E：在弹性阶段，应力与应变的比值，反映材料抵抗弹性变形的能力。屈服极限\(\sigma_s\)：材料开始产生明显塑性变形时的应力。强度极限\(\sigma_b\)：材料所能承受的最大应力。伸长率\(\delta\)：材料在拉伸断裂后标距段的总变形与原标距长度之比，反映材料的塑性变形能力。

2.压缩试验脆性材料（如铸铁）在压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限，塑性材料（如低碳钢）在压缩时一般不会发生断裂，只会产生较大的塑性变形。

（三）强度、刚度和稳定性计算1.强度计算根据材料的许用应力\([\sigma]\)，建立强度条件\(\sigma_{max}\leq[\sigma]\)，其中\(\sigma_{max}\)为危险截面的最大工作应力。对于轴向拉伸压缩构件，强度条件为\(\frac{F_N}{A}\leq[\sigma]\)；对于梁，强度条件为\(\frac{M_{max}}{W_z}\leq[\sigma]\)（\(W_z\)为抗弯截面模量）。例如，设计一个承受轴向拉力F的拉杆，已知材料的许用应力\([\sigma]\)，根据强度条件\(\frac{F}{A}\leq[\sigma]\)，可确定拉杆的横截面面积A。

2.刚度计算刚度是指构件抵抗变形的能力。对于轴向拉伸压缩构件，刚度条件为\(\Deltal\leq[\Deltal]\)；对于梁，刚度条件为\(y_{max}\leq[y]\)（\(y_{max}\)为梁的最大挠度，\([y]\)为许用挠度）。例如，一根梁受荷载作用，已知梁的许用挠度\([y]\)，通过计算梁的最大挠度\(y_{max}\)，判断梁是否满足刚度要求。

3.稳定性计算受压细长杆件存在稳定性问题。对于轴心受压杆，其临界力\(F_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(μl)^2}\)，其中E为弹性模量，I为截面惯性矩，\(μ\)为长度系数，l为杆长。建立稳定性条件\(F\leq\frac{F_{cr}}{n}\)（n为稳定安全系数）。例如，一根受压细长杆，已知其材料、截面尺寸和长度，计算其临界力\(F_{cr}\)，判断在给定压力F作用下杆是否稳定。

四、作业题解答（一）静力学作业题1.题目：如图所示，已知\(F=100N\)，\(α=30°\)，求力F在x、y轴上的投影。解：根据力的投影公式\(F_x=F\cosα\)，\(F_y=F\sinα\)。\(F_x=100\cos30°=100\times\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}N\)\(F_y=100\sin30°=100\times\frac{1}{2}=50N\)

2.题目：如图所示，水平梁AB受荷载作用，已知\(F_1=20kN\)，\(F_2=30kN\)，\(M=40kN·m\)，求A、B端的约束力。解：取梁AB为研究对象，绘制受力图。设A端竖向约束力为\(F_{Ay}\)，水平约束力为\(F_{Ax}\)，B端竖向约束力为\(F_{By}\)。根据平面一般力系的平衡条件：\(\sumF_x=0\)，可得\(F_{Ax}=0\)\(\sumF_y=0\)，即\(F_{Ay}+F_{By}F_1F_2=0\)\(\sumM_A=0\)，\(F_{By}\times6F_1\times2F_2\times4M=0\)将\(F_1=20kN\)，\(F_2=30kN\)，\(M=40kN·m\)代入上述方程：由\(\sumM_A=0\)可得：\(6F_{By}20\times230\times440=0\)\(6F_{By}4012040=0\)\(6F_{By}=200\)\(F_{By}=\frac{100}{3}kN\)将\(F_{By}=\frac{100}{3}kN\)代入\(\sumF_y=0\)可得：\(F_{Ay}+\frac{100}{3}2030=0\)\(F_{Ay}=20+30\frac{100}{3}=\frac{50}{3}kN\)

（二）材料力学作业题1.题目：一根直径为d=20mm的圆截面直杆，受轴向拉力F=100kN作用，材料的弹性模量E=200GPa，求杆的轴向变形。解：首先计算杆的横截面面积\(A=\frac{\pid^2}{4}=\frac{\pi\times(20\times10^{3})^2}{4}=\pi\times10^{4}m^2\)根据轴向变形公式\(\Deltal=\frac{F_Nl}{EA}\)，这里\(F_N=F=100\times10^3N\)，\(l\)未给出，假设杆长为\(l=1m\)。\(\Deltal=\frac{100\times10^3\times1}{200\times10^9\times\pi\times10^{4}}=\frac{1}{\2\pi\times10^{2}}\approx1.59\times10^{2}m=15.9mm\)

2.题目：一简支梁受均布荷载q作用，梁长为L，截面为矩形，宽度为b，高度为h，求梁跨中截面的最大正应力。解：首先计算梁的最大弯矩\(M_{max}=\frac{1}{8}qL^2\)梁的抗弯截面模量\(W_z=\frac{bh^2}{6}\)根据正应力公式\(\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_z}=\frac{\frac{1}{8}qL^2}{\frac{bh^2}