浙江大学远程考试工程数学练习题库

浙江大学远程考试工程数学练习题库一、题库概述浙江大学远程考试工程数学练习题库(2024版)涵盖了工程数学领域的多个重要知识点，旨在帮助学生系统地复习和巩固所学内容，提升应对工程数学相关考试的能力。本练习题库包含了各种题型，如选择题、填空题、计算题、证明题等，全面覆盖了线性代数、概率论与数理统计等工程数学的核心课程内容。通过大量的练习，学生可以熟悉考试题型和命题规律，提高解题技巧和速度，增强对知识的理解和运用能力。

二、线性代数部分

（一）行列式1.选择题已知四阶行列式\(D\)中第三列元素依次为\(1,2,0,1\)，它们的余子式依次分别为\(5,3,7,4\)，则\(D=(\quad)\)A.\(15\)B.\(15\)C.\(0\)D.\(1\)答案：B解析：根据行列式按列展开定理\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+a_{4j}A_{4j}\)（这里\(j=3\)），\(D=(1)\times(1)^{1+3}\times5+2\times(1)^{2+3}\times3+0\times(1)^{3+3}\times(7)+1\times(1)^{4+3}\times4=564=15\)。2.填空题四阶行列式\(\begin{vmatrix}a&b&0&0\\c&d&0&0\\0&0&e&f\\0&0&g&h\end{vmatrix}=\)______。答案：\((adbc)(ehfg)\)解析：根据分块行列式的计算方法，该行列式可拆分为两个二阶行列式的乘积，即\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\times\begin{vmatrix}e&f\\g&h\end{vmatrix}=(adbc)(ehfg)\)。3.计算题计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。解：方法一：\(r_24r_1\)，\(r_37r_1\)得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&6&12\end{vmatrix}\)。再\(r_32r_2\)得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。方法二：利用行列式展开定理，按第一行展开。原式\(=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\)\(=1\times(4548)2\times(3642)+3\times(3235)\)\(=3+129=0\)。

（二）矩阵1.选择题设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，满足\(AB=0\)，则必有（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(A+B=0\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C解析：因为\(AB=0\)，则\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert=0\)，所以\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)。2.填空题已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A^{1}=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)解析：根据二阶矩阵求逆公式，对于\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，\(A^{1}=\frac{1}{adbc}\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}\)，这里\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(d=4\)，则\(A^{1}=\frac{1}{1\times42\times3}\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.计算题设\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\\1&4\end{pmatrix}\)，求\(AB\)。解：\(AB=\begin{pmatrix}1\times2+2\times5+3\times1&1\times1+2\times3+3\times4\\2\times2+2\times5+1\times1&2\times1+2\times3+1\times4\\3\times2+4\times5+3\times1&3\times1+4\times3+3\times4\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}2+10+3&1+6+12\\4+10+1&2+6+4\\6+20+3&3+12+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15&19\\15&12\\29&27\end{pmatrix}\)

（三）向量组的线性相关性1.选择题设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3\alpha_1\)B.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)D.\(\alpha_1\alpha_2,\alpha_2\alpha_3,\alpha_3\alpha_1\)答案：C解析：逐一分析选项。对于选项C，设\(k_1(\alpha_1+2\alpha_2)+k_2(2\alpha_2+3\alpha_3)+k_3(3\alpha_3+\alpha_1)=0\)，整理得\((k_1+k_3)\alpha_1+(2k_1+2k_2)\alpha_2+(3k_2+3k_3)\alpha_3=0\)。因为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，所以\(\begin{cases}k_1+k_3=0\\2k_1+2k_2=0\\3k_2+3k_3=0\end{cases}\)，解得\(k_1=k_2=k_3=0\)，所以该向量组线性无关。2.填空题已知向量组\(\alpha_1=(1,2,1)^T\)，\(\alpha_2=(2,3,3)^T\)，\(\alpha_3=(3,7,1)^T\)，则向量组的秩为______。答案：2解析：对矩阵\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&7\\1&3&1\end{pmatrix}\)进行初等行变换，\(r_22r_1\)，\(r_3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)，再\(r_3+r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，非零行有2行，所以向量组的秩为2。3.计算题设向量组\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)。（1）当\(t\)为何值时，向量组线性相关？（2）当向量组线性相关时，将\(\alpha_3\)表示为\(\alpha_1\)和\(\alpha_2\)的线性组合。解：（1）对矩阵\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)进行初等行变换，\(r_2r_1\)，\(r_3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t1\end{pmatrix}\)，再\(r_32r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t5\end{pmatrix}\)。当\(t=5\)时，秩小于3，向量组线性相关。（2）当\(t=5\)时，\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&5\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}\)。设\(\alpha_3=x\alpha_1+y\alpha_2\)，即\(\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，可得\(\begin{cases}x+y=1\\x+2y=3\\x+3y=5\end{cases}\)，解得\(x=1\)，\(y=2\)，所以\(\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2\)。

（四）线性方程组1.选择题非齐次线性方程组\(Ax=b\)中未知量个数为\(n\)，方程个数为\(m\)，系数矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则（）A.\(r=m\)时，方程组\(Ax=b\)有解B.\(r=n\)时，方程组\(Ax=b\)有唯一解C.\(m=n\)时，方程组\(Ax=b\)有唯一解D.\(r\ltn\)时，方程组\(Ax=b\)有无穷多解答案：A解析：根据非齐次线性方程组解的判定定理，当\(r(A)=r(A|b)\)时方程组有解，\(r(A)=r(A|b)=m\)时方程组有解，所以选项A正确。2.填空题已知线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=1\\x_1+4x_2+a^2x_3=0\end{cases}\)无解，则\(a=\)______。答案：\(a=2\)解析：对增广矩阵\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&1\\1&4&a^2&0\end{pmatrix}\)进行初等行变换，\(r_2r_1\)，\(r_3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a1&0\\0&3&a^21&1\end{pmatrix}\)，再\(r_33r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a1&0\\0&0&a^23a+2&1\end{pmatrix}\)。当\(a^23a+2=0\)且\(1\neq0\)时方程组无解，解\(a^23a+2=0\)得\(a=1\)或\(a=2\)，经检验\(a=2\)时满足条件。3.计算题求解线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=3\\2x_1+5x_2+x_3=4\\3x_1+7x_2+2x_3=7\end{cases}\)。解：增广矩阵\(\begin{pmatrix}1&2&1&3\\2&5&1&4\\3&7&2&7\end{pmatrix}\)，\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&1&2\\0&1&1&2\end{pmatrix}\)，再\(r_3r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&2&1&3\\0&1&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。由\(x_2x_3=2\)得\(x_2=x_32\)，代入\(x_1+2x_2+x_3=3\)得\(x_1+2(x_32)+x_3=3\)，解得\(x_1=73x_3\)。令\(x_3=c\)，则方程组的通解为\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}73c\\c2\\c\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7\\2\\0\end{pmatrix}\)，\(c\inR\)。

三、概率论与数理统计部分

（一）随机事件与概率1.选择题设\(A\)，\(B\)为两个随机事件，且\(B\subseteqA\)，则下列式子正确的是（）A.