函数奇偶性的教案

函数奇偶性的教案一、教学目标1.知识与技能目标理解函数奇偶性的概念，能判断一些简单函数的奇偶性。掌握奇函数和偶函数图像的特征，并能利用函数奇偶性的性质解决相关问题。2.过程与方法目标通过观察、分析、归纳、类比等方法，培养学生自主探究、合作交流的能力，提高学生的逻辑思维能力。经历从具体函数到抽象函数的奇偶性判断过程，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生感受数学的对称美，培养学生学习数学的兴趣。培养学生严谨的治学态度，让学生在探究活动中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点函数奇偶性的概念和判定方法。奇函数和偶函数图像的性质。2.教学难点对函数奇偶性概念中关于定义域对称和\(f(x)=f(x)\)或\(f(x)=f(x)\)的理解。利用函数奇偶性的性质解决相关问题，如函数值的计算、解析式的求解等。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合。通过引导学生观察、分析具体函数的特点，让学生自主探究函数奇偶性的概念；通过课堂讨论，加深学生对函数奇偶性判定方法的理解；通过典型例题的讲解，让学生掌握利用函数奇偶性解决问题的技巧。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一些具有对称美的图片，如蝴蝶、建筑物等，引导学生观察它们的对称特征，引出数学中的对称美函数图像的对称。2.给出几个具体函数，如\(f(x)=x^2\)，\(f(x)=x^3\)，\(f(x)=\frac{1}{x}\)，让学生在同一坐标系中画出它们的图像，并观察图像的对称性。

（二）探究新知（20分钟）1.函数奇偶性的概念引导学生观察\(f(x)=x^2\)的图像，发现图像关于\(y\)轴对称。对于任意的\(x\)，都有\(f(x)=(x)^2=x^2=f(x)\)。再观察\(f(x)=x^3\)的图像，发现图像关于原点对称。对于任意的\(x\)，都有\(f(x)=(x)^3=x^3=f(x)\)。给出函数奇偶性的定义：一般地，如果对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做偶函数。如果对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做奇函数。强调定义中的几个要点：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。判断函数奇偶性时，要对定义域内的任意\(x\)进行验证。2.函数奇偶性的判定方法方法一：定义法首先确定函数的定义域，看是否关于原点对称。然后计算\(f(x)\)，并与\(f(x)\)进行比较。若\(f(x)=f(x)\)，则函数为偶函数；若\(f(x)=f(x)\)，则函数为奇函数。例如，判断函数\(f(x)=x^2+1\)的奇偶性。定义域为\(R\)，关于原点对称。\(f(x)=(x)^2+1=x^2+1=f(x)\)，所以\(f(x)=x^2+1\)是偶函数。再如，判断函数\(f(x)=x^3x\)的奇偶性。定义域为\(R\)，关于原点对称。\(f(x)=(x)^3(x)=x^3+x=(x^3x)=f(x)\)，所以\(f(x)=x^3x\)是奇函数。方法二：图像法如果函数的图像关于\(y\)轴对称，那么这个函数是偶函数。如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数。例如，通过观察\(f(x)=x^2\)的图像关于\(y\)轴对称，可知\(f(x)=x^2\)是偶函数；通过观察\(f(x)=x^3\)的图像关于原点对称，可知\(f(x)=x^3\)是奇函数。

（三）课堂练习（15分钟）1.判断下列函数的奇偶性：\(f(x)=2x^4+3x^2\)\(f(x)=\frac{1}{x1}\)\(f(x)=\sqrt{x^21}+\sqrt{1x^2}\)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)2.已知函数\(f(x)\)是奇函数，且\(f(3)=5\)，求\(f(3)\)的值。3.已知函数\(f(x)\)是偶函数，且当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^22x\)，求当\(x\lt0\)时，\(f(x)\)的解析式。

（四）深入探究（10分钟）1.奇函数和偶函数图像的性质引导学生结合前面所画函数图像，总结奇函数和偶函数图像的性质：偶函数的图像关于\(y\)轴对称，所以偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。奇函数的图像关于原点对称，所以奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性。例如，已知偶函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，那么\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上单调递减。已知奇函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，那么\(f(x)\)在\((\infty,0)\)上也单调递增。2.利用函数奇偶性的性质解题例：已知\(f(x)\)是奇函数，且\(f(x+2)=f(x)\)，当\(0\leqx\leq1\)时，\(f(x)=x\)，求\(f(7.5)\)的值。解：因为\(f(x+2)=f(x)\)，所以\(f(x+4)=f(x+2)=f(x)\)，即函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。则\(f(7.5)=f(7.58)=f(0.5)\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(0.5)=f(0.5)\)。已知当\(0\leqx\leq1\)时，\(f(x)=x\)，所以\(f(0.5)=0.5\)，则\(f(7.5)=0.5\)。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：函数奇偶性的概念，包括偶函数和奇函数的定义。函数奇偶性的判定方法，定义法和图像法。奇函数和偶函数图像的性质，以及利用这些性质解题。2.强调重点：函数奇偶性的概念和判定方法，以及奇函数和偶函数图像的性质在解题中的应用。3.提醒学生注意易错点：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，判断奇偶性时要对定义域内任意\(x\)进行验证。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题，包括判断函数奇偶性、利用函数奇偶性求函数值或解析式等题目。2.拓展作业：已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^22x\)，画出函数\(f(x)\)的图像，并写出函数\(f(x)\)的解析式。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数奇偶性的概念、判定方法以及图像性质有了较为系统的认识。在教学过程中，通过引导学生观察、分析具体函数的特点，让学生自主探究函数奇偶性的概念，培养了学生的自主学习能力和逻辑思维能力。课堂练习和深入探究环节，让学生及时巩