公务员考试-逻辑推理模拟题-数学逻辑-群的定义与性质

PAGE1.以下哪个选项是群的定义？

-A.一个集合，其中每个元素都有逆元

-B.一个集合，其中有一个二元运算，满足封闭性、结合律、有单位元、每个元素有逆元

-C.一个集合，其中有一个二元运算，满足交换律

-D.一个集合，其中有一个二元运算，满足结合律

**参考答案**:B

**解析**:群的定义要求集合中有一个二元运算，满足封闭性、结合律、有单位元，并且每个元素都有逆元。

2.在群\(G\)中，若\(a\)和\(b\)是群中的元素，且\(a\cdotb=e\)，其中\(e\)是单位元，那么\(b\)是\(a\)的什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.共轭元

-D.生成元

**参考答案**:B

**解析**:在群中，若\(a\cdotb=e\)，则\(b\)是\(a\)的逆元。

3.以下哪个性质是群所特有的？

-A.交换律

-B.结合律

-C.每个元素都有逆元

-D.有单位元

**参考答案**:C

**解析**:每个元素都有逆元是群所特有的性质，而交换律、结合律和有单位元在其他代数结构中也可能存在。

4.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdota=e\)，其中\(e\)是单位元，那么\(a\)的逆元是什么？

-A.\(a\)

-B.\(e\)

-C.\(a^{-1}\)

-D.\(a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:若\(a\cdota=e\)，则\(a\)的逆元是\(a\)本身。

5.以下哪个集合在加法运算下构成一个群？

-A.所有整数

-B.所有正整数

-C.所有非负整数

-D.所有偶数

**参考答案**:A

**解析**:所有整数在加法运算下构成一个群，因为满足封闭性、结合律、有单位元（0），并且每个元素都有逆元（相反数）。

6.在群\(G\)中，若\(a\)和\(b\)是群中的元素，且\(a\cdotb=b\cdota\)，那么\(a\)和\(b\)的关系是什么？

-A.共轭元

-B.逆元

-C.交换元

-D.生成元

**参考答案**:C

**解析**:若\(a\cdotb=b\cdota\)，则\(a\)和\(b\)是交换元。

7.以下哪个选项不是群的必要条件？

-A.封闭性

-B.结合律

-C.交换律

-D.有单位元

**参考答案**:C

**解析**:交换律不是群的必要条件，群的定义中只要求满足封闭性、结合律、有单位元和每个元素有逆元。

8.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdote=a\)，其中\(e\)是单位元，那么\(e\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:A

**解析**:若\(a\cdote=a\)，则\(e\)是单位元。

9.以下哪个集合在乘法运算下构成一个群？

-A.所有非零实数

-B.所有实数

-C.所有整数

-D.所有偶数

**参考答案**:A

**解析**:所有非零实数在乘法运算下构成一个群，因为满足封闭性、结合律、有单位元（1），并且每个元素都有逆元（倒数）。

10.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是单位元，那么\(a^{-1}\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:B

**解析**:若\(a\cdota^{-1}=e\)，则\(a^{-1}\)是\(a\)的逆元。

11.以下哪个选项是群的单位元的性质？

-A.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdote=a\)

-B.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdote=e\)

-C.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdote=a^{-1}\)

-D.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdote=e\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的单位元\(e\)满足对于所有元素\(a\)，有\(a\cdote=a\)。

12.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdotb=e\)，其中\(e\)是单位元，那么\(b\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:B

**解析**:若\(a\cdotb=e\)，则\(b\)是\(a\)的逆元。

13.以下哪个集合在加法运算下不构成一个群？

-A.所有整数

-B.所有有理数

-C.所有实数

-D.所有自然数

**参考答案**:D

**解析**:所有自然数在加法运算下不构成一个群，因为自然数中没有逆元（负数）。

14.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdota=a\)，那么\(a\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:A

**解析**:若\(a\cdota=a\)，则\(a\)是单位元。

15.以下哪个选项是群的逆元的性质？

-A.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdota^{-1}=e\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的逆元\(a^{-1}\)满足对于所有元素\(a\)，有\(a\cdota^{-1}=e\)。

16.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdotb=b\cdota=e\)，其中\(e\)是单位元，那么\(b\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:B

**解析**:若\(a\cdotb=b\cdota=e\)，则\(b\)是\(a\)的逆元。

17.以下哪个集合在乘法运算下不构成一个群？

-A.所有非零有理数

-B.所有非零实数

-C.所有非零复数

-D.所有整数

**参考答案**:D

**解析**:所有整数在乘法运算下不构成一个群，因为整数中没有逆元（分数）。

18.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdote=e\cdota=a\)，其中\(e\)是单位元，那么\(e\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:A

**解析**:若\(a\cdote=e\cdota=a\)，则\(e\)是单位元。

19.以下哪个选项是群的封闭性的性质？

-A.对于所有元素\(a\)和\(b\)，有\(a\cdotb\)也在群中

-B.对于所有元素\(a\)和\(b\)，有\(a\cdotb=b\cdota\)

-C.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdote=a\)

-D.对于所有元素\(a\)，有\(a\cdota^{-1}=e\)

**参考答案**:A

**解析**:群的封闭性要求对于所有元素\(a\)和\(b\)，有\(a\cdotb\)也在群中。

20.在群\(G\)中，若\(a\)是群中的元素，且\(a\cdotb=e\)，其中\(e\)是单位元，那么\(b\)是什么？

-A.单位元

-B.逆元

-C.生成元

-D.共轭元

**参考答案**:B

**解析**:若\(a\cdotb=e\)，则\(b\)是\(a\)的逆元。

21.设G是一个群，a,b∈G，且ab=ba。下列哪个结论必然成立？

-A.a和b的阶相同

-B.a和b互为逆元

-C.a和b的乘积的阶等于a的阶与b的阶的最小公倍数

-D.a和b的乘积的阶等于a的阶与b的阶的乘积

**参考答案**:C

**解析**:在交换群中，若两个元素的乘积的阶等于它们阶的最小公倍数，则C选项正确。

22.设G是一个群，H是G的子群，且|G:H|=2。下列哪个结论必然成立？

-A.H是G的正规子群

-B.H是G的循环子群

-C.H是G的阿贝尔子群

-D.H是G的极大子群

**参考答案**:A

**解析**:若子群的指数为2，则该子群必为正规子群。

23.设G是一个群，a∈G，且a的阶为n。下列哪个结论必然成立？

-A.a^n=e

-B.a^n=a

-C.a^n=a^{-1}

-D.a^n=a^2

**参考答案**:A

**解析**:元素的阶定义为使得a^n=e的最小正整数n，因此A选项正确。

24.设G是一个群，a,b∈G，且a的阶为m，b的阶为n，且m和n互质。下列哪个结论必然成立？

-A.ab的阶为mn

-B.ab的阶为m+n

-C.ab的阶为m-n

-D.ab的阶为m/n

**参考答案**:A

**解析**:若两个元素的阶互质，则它们的乘积的阶为它们阶的乘积。

25.设G是一个群，a∈G，且a的阶为6。下列哪个结论必然成立？

-A.a^3的阶为2

-B.a^3的阶为3

-C.a^3的阶为6

-D.a^3的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为6，则a^3的阶为2，因为(a^3)^2=a^6=e。

26.设G是一个群，a∈G，且a的阶为4。下列哪个结论必然成立？

-A.a^2的阶为2

-B.a^2的阶为4

-C.a^2的阶为1

-D.a^2的阶为8

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为4，则a^2的阶为2，因为(a^2)^2=a^4=e。

27.设G是一个群，a,b∈G，且a的阶为3，b的阶为5。下列哪个结论必然成立？

-A.ab的阶为15

-B.ab的阶为8

-C.ab的阶为3

-D.ab的阶为5

**参考答案**:A

**解析**:若两个元素的阶互质，则它们的乘积的阶为它们阶的乘积。

28.设G是一个群，a∈G，且a的阶为8。下列哪个结论必然成立？

-A.a^4的阶为2

-B.a^4的阶为4

-C.a^4的阶为8

-D.a^4的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为8，则a^4的阶为2，因为(a^4)^2=a^8=e。

29.设G是一个群，a∈G，且a的阶为9。下列哪个结论必然成立？

-A.a^3的阶为3

-B.a^3的阶为9

-C.a^3的阶为1

-D.a^3的阶为27

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为9，则a^3的阶为3，因为(a^3)^3=a^9=e。

30.设G是一个群，a∈G，且a的阶为10。下列哪个结论必然成立？

-A.a^5的阶为2

-B.a^5的阶为5

-C.a^5的阶为10

-D.a^5的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为10，则a^5的阶为2，因为(a^5)^2=a^{10}=e。

31.设G是一个群，a∈G，且a的阶为12。下列哪个结论必然成立？

-A.a^6的阶为2

-B.a^6的阶为6

-C.a^6的阶为12

-D.a^6的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为12，则a^6的阶为2，因为(a^6)^2=a^{12}=e。

32.设G是一个群，a∈G，且a的阶为15。下列哪个结论必然成立？

-A.a^5的阶为3

-B.a^5的阶为5

-C.a^5的阶为15

-D.a^5的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为15，则a^5的阶为3，因为(a^5)^3=a^{15}=e。

33.设G是一个群，a∈G，且a的阶为16。下列哪个结论必然成立？

-A.a^8的阶为2

-B.a^8的阶为8

-C.a^8的阶为16

-D.a^8的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为16，则a^8的阶为2，因为(a^8)^2=a^{16}=e。

34.设G是一个群，a∈G，且a的阶为18。下列哪个结论必然成立？

-A.a^9的阶为2

-B.a^9的阶为9

-C.a^9的阶为18

-D.a^9的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为18，则a^9的阶为2，因为(a^9)^2=a^{18}=e。

35.设G是一个群，a∈G，且a的阶为20。下列哪个结论必然成立？

-A.a^{10}的阶为2

-B.a^{10}的阶为10

-C.a^{10}的阶为20

-D.a^{10}的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为20，则a^{10}的阶为2，因为(a^{10})^2=a^{20}=e。

36.设G是一个群，a∈G，且a的阶为24。下列哪个结论必然成立？

-A.a^{12}的阶为2

-B.a^{12}的阶为12

-C.a^{12}的阶为24

-D.a^{12}的阶为1

**参考答案**:A

**解析**:若a的阶为24，则