趣味数学高中数学 第2课时 函数中的趣题 份购房合同教学案 新人教版必修1

趣味数学高中数学第2课时函数中的趣题份购房合同教学案新人教版必修1一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解函数在购房合同相关问题中的应用，掌握建立函数模型来解决实际问题的方法。熟练运用函数的性质，如单调性、最值等，对购房合同中的费用计算、还款计划等进行分析和求解。2.过程与方法目标通过实际案例，培养学生观察、分析、归纳和抽象概括的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。经历将实际问题转化为函数问题，再通过函数知识求解并解释实际意义的过程，体会数学建模的思想方法。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的数学思维和勇于探索的精神。让学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学在实际生活中的重要作用，增强学生运用数学知识服务生活的意识。

二、教学重难点1.教学重点建立购房合同相关问题的函数模型，明确函数的定义域和值域。利用函数的性质，如单调性、最值等，解决购房合同中的费用优化、还款方案选择等实际问题。2.教学难点如何引导学生从实际问题中准确提取关键信息，合理构建函数模型。对函数模型的结果进行合理的解释和应用，使其符合实际购房合同的要求。

三、教学方法1.讲授法：讲解购房合同中的基本概念、函数模型的建立方法以及函数性质的应用等知识，使学生系统地掌握本节课的重点内容。2.案例分析法：通过具体的购房合同案例，引导学生分析问题、建立模型、求解模型并解释结果，让学生在实际操作中体会数学建模的过程和方法。3.小组讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极交流合作，共同探讨解决问题的思路和方法，培养学生的团队协作能力和创新思维。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）展示一份简单的购房合同文本，让学生观察并思考其中涉及到的数学问题，如房价、首付、贷款金额、还款方式等。引导学生讨论这些数学问题之间的关系，从而引出本节课的主题函数中的趣题之购房合同。

（二）知识讲解（15分钟）1.购房合同中的基本概念房价：房屋的购买价格，通常用一个具体的数值表示。首付：购房者在购房时需要预先支付的一部分款项，一般为房价的一定比例。贷款金额：房价减去首付后的剩余金额，购房者通过向银行贷款来支付这部分款项。贷款期限：购房者偿还贷款的时间长度，通常以年为单位。利率：银行向购房者收取的贷款利息的比率。还款方式：常见的还款方式有等额本息还款法和等额本金还款法。2.函数模型的建立以等额本息还款法为例，设贷款金额为\(P\)，贷款期限为\(n\)年，年利率为\(r\)，每月还款额为\(M\)。首先计算每月的利率\(i=\frac{r}{12}\)。还款总月数\(m=12n\)。根据等额本息还款法的计算公式：\(M=P\times\frac{i(1+i)^m}{(1+i)^m1}\)，可以得到还款额\(M\)与贷款金额\(P\)、贷款期限\(n\)、年利率\(r\)之间的函数关系。强调函数的定义域和值域：定义域为\(P\gt0\)，\(n\gt0\)，\(r\gt0\)；值域为\(M\gt0\)。

（三）案例分析（20分钟）1.案例一某购房者欲购买一套价值\(50\)万元的住房，首付\(20\%\)，其余款项向银行贷款，贷款期限为\(30\)年，年利率为\(5\%\)。采用等额本息还款法，求每月的还款额。分析：首先计算贷款金额\(P=50\times(120\%)=40\)万元。年利率\(r=5\%\)，则月利率\(i=\frac{5\%}{12}\)。贷款期限\(n=30\)年，还款总月数\(m=12\times30=360\)个月。代入等额本息还款法公式\(M=P\times\frac{i(1+i)^m}{(1+i)^m1}\)，可得：\[\begin{align*}M&=400000\times\frac{\frac{5\%}{12}(1+\frac{5\%}{12})^{360}}{(1+\frac{5\%}{12})^{360}1}\\&\approx2149.29\end{align*}\]所以每月的还款额约为\(2149.29\)元。2.案例二若上例中的购房者希望每月还款额不超过\(2000\)元，在其他条件不变的情况下，他最多能贷款多少年？分析：设贷款期限为\(n\)年，根据前面的公式可得：\[2000=400000\times\frac{\frac{5\%}{12}(1+\frac{5\%}{12})^{12n}}{(1+\frac{5\%}{12})^{12n}1}\]这是一个关于\(n\)的方程，求解较为复杂。我们可以通过逐步试算或者利用函数的单调性来求解。设\(f(n)=400000\times\frac{\frac{5\%}{12}(1+\frac{5\%}{12})^{12n}}{(1+\frac{5\%}{12})^{12n}1}\)，通过计算不同\(n\)值对应的\(f(n)\)值，发现当\(n=35\)时，\(f(35)\approx2013.43\gt2000\)；当\(n=36\)时，\(f(36)\approx1992.77\lt2000\)。所以他最多能贷款\(35\)年。

（四）小组讨论（15分钟）1.将学生分成小组，每组\(45\)人。2.给出一个新的购房合同案例：某购房者计划购买一套价值\(80\)万元的住房，首付\(30\%\)，贷款期限为\(20\)年，年利率为\(4.5\%\)。有两种还款方式可供选择：等额本息还款法和等额本金还款法。请小组讨论并比较这两种还款方式的总利息支出。3.小组内成员分工合作，分别计算两种还款方式下的还款额、总利息支出等，并进行比较分析。4.每个小组推选一名代表进行发言，汇报小组讨论的结果。

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾本节课所学的内容，包括购房合同中的基本概念、函数模型的建立方法以及通过函数模型解决实际问题的过程。2.强调数学建模的重要性，鼓励学生在今后的学习和生活中，善于运用数学知识解决实际问题。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：完成课本上相关的练习题，巩固本节课所学的知识。2.拓展作业：让学生自己收集一份购房合同，分析其中的数学问题，并尝试建立函数模型进行求解。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数在购房合同中的应用有了较为深入的理解，掌握了建立函数模型解决实际问题的方法。在教学过程中，案例分析法和小组讨论法的运用有效地激发了学生的学习兴趣，培养了学生的团队协作能力和创新思维。然而，在教学过程中也发现了一些问题，例如部分学生在建立函数模型时仍存在困难，对函数性质的应用不够熟练。在今后的教学中，需要加强对这部分学生的辅导，增加更多的练习和案例分析，帮助他们提高运用数学知识解决实际问题的能力。

以上就是一份关于趣味数学高中数学第2课时函数中的趣题之购房合同教学案，通过实际案例让学生感受函数在生活中的应用，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

六、附录1.等额本金还款法公式推导设贷款金额为\(P\)，贷款期限为\(n\)年，年利率为\(r\)。每月还款本金为\(a=\frac{P}{12n}\)。第\(k\)个月的利息为\(I_k=(Pa(k1))\times\frac{r}{12}\)。则第\(k\)个月的还款额\(M_k=a+I_k=\frac{P}{12n}+(P\frac{P}{12n}(k1))\times\frac{r}{12}\)。总利息支出\(I=\sum_{k=1}^{12n}I_k\)。2.相关练习题某购房者购买一套住房，房价为\(60\)万元，首付\(15\)万元，贷款期限为\(25\)年，年利率为\(5.5\%\)，采用等额本息还款法，求每月还款额及还款总额。若上题中的购房者采用等额本金还款法，求第\(10\)个月的还款额及前\(10\)个月的总还款额。

3.拓展作业提示收集购房合同后，仔细阅读合同条款，找出其中涉及的数学信息，如房