在数学教学中培养学生发散思维能力

在数学教学中培养学生发散思维能力摘要：本文阐述了在数学教学中培养学生发散思维能力的重要性，并探讨了通过多种途径来实现这一目标。包括鼓励学生一题多解、引导学生进行逆向思维、开展数学实验与探究活动、组织小组合作学习以及利用开放性问题激发学生思维等方面，旨在全面提升学生的数学素养和创新能力。

一、引言数学作为一门重要的基础学科，对于培养学生的思维能力具有独特的作用。发散思维能力是创造性思维的重要组成部分，它能够帮助学生从不同角度、不同层面思考问题，突破常规思维的束缚，提出新颖的见解和解决方案。在数学教学中培养学生的发散思维能力，不仅有助于提高学生的数学成绩，更能为学生未来的学习、生活和工作奠定坚实的思维基础。

二、培养学生发散思维能力的重要性

（一）提升数学学习效果具备发散思维能力的学生能够灵活运用所学知识，从多种角度思考数学问题，找到更简洁、更有效的解题方法。这有助于他们深入理解数学概念和原理，提高解题能力，从而在数学学习中取得更好的成绩。

（二）培养创新精神发散思维鼓励学生大胆想象、勇于探索，敢于突破传统思维模式。这种思维方式是创新的源泉，能够激发学生的创新意识和创新能力，为学生今后在各个领域的发展提供有力支持。

（三）适应未来社会发展需求在当今快速发展的社会中，创新和解决复杂问题的能力至关重要。具有较强发散思维能力的学生能够更好地适应社会的变化，在面对各种挑战时，能够迅速调整思维，提出创新性的解决方案。

三、培养学生发散思维能力的途径

（一）一题多解，拓宽思维视野1.引导学生从不同知识角度解题在数学教学中，对于同一道题目，教师要引导学生尝试运用不同的数学知识和方法来求解。例如，在讲解三角形面积计算时，对于已知三角形三边长度求面积的问题，可以引导学生先运用海伦公式求解，然后再通过作高，利用直角三角形的勾股定理求出高，进而计算面积。通过这样的一题多解，让学生体会到不同数学知识之间的联系，拓宽思维视野。以一道代数题为例：已知\(x^2+3x1=0\)，求\(x^2+\frac{1}{x^2}\)的值。解法一：由\(x^2+3x1=0\)，因为\(x\neq0\)（若\(x=0\)，方程不成立），方程两边同时除以\(x\)，得到\(x+3\frac{1}{x}=0\)，即\(x\frac{1}{x}=3\)。然后对\(x\frac{1}{x}=3\)两边平方，可得\((x\frac{1}{x})^2=(3)^2\)，展开得\(x^22+\frac{1}{x^2}=9\)，所以\(x^2+\frac{1}{x^2}=11\)。解法二：由\(x^2+3x1=0\)，根据求根公式可得\(x=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\)。将\(x\)的值代入\(x^2+\frac{1}{x^2}\)进行计算。先计算\(x^2=(\frac{3\pm\sqrt{13}}{2})^2=\frac{9\pm6\sqrt{13}+13}{4}=\frac{22\pm6\sqrt{13}}{4}\)，\(\frac{1}{x^2}=\frac{4}{22\pm6\sqrt{13}}\)，然后再计算\(x^2+\frac{1}{x^2}\)的值，经过化简也可得到\(11\)。2.鼓励学生尝试多种解题思路对于一些几何证明题，教师要鼓励学生打破常规的证明顺序，尝试不同的思路。比如证明平行四边形的对角线互相平分这一性质时，学生可以先通过全等三角形证明，也可以利用平行四边形的中心对称性来证明。例如：已知平行四边形\(ABCD\)，对角线\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，求证\(AO=CO\)，\(BO=DO\)。证明思路一：利用全等三角形。因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)。所以\(\angleBAC=\angleDCA\)，\(\angleABD=\angleCDB\)。又因为\(AB=CD\)，所以\(\triangleABO\cong\triangleCDO\)（ASA），从而\(AO=CO\)，\(BO=DO\)。证明思路二：利用平行四边形的中心对称性。由于平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点\(O\)。所以点\(A\)与点\(C\)关于点\(O\)对称，点\(B\)与点\(D\)关于点\(O\)对称，所以\(AO=CO\)，\(BO=DO\)。

（二）逆向思维训练，突破思维定式1.引导学生进行逆向思考问题在数学概念教学中，培养学生的逆向思维。例如，在讲解绝对值的概念时，不仅要让学生理解\(\verta\vert\)（\(a\geq0\)时，\(\verta\vert=a\)；\(a\lt0\)时，\(\verta\vert=a\)），还要引导学生思考逆向问题，如已知\(\vertx\vert=5\)，求\(x\)的值。通过这样的逆向思考，加深学生对绝对值概念的理解。在公式教学中，同样注重逆向思维训练。比如对于完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，要引导学生思考其逆用，即\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)以及\(a^22ab+b^2=(ab)^2\)。在实际解题中，当遇到形如\(x^2+6x+9\)的式子时，学生能够迅速想到它可以转化为\((x+3)^2\)，从而简化计算。2.设计逆向思维的数学问题教师可以设计专门的逆向思维问题来训练学生。例如：已知一个三角形的面积是\(12\)，底边长为\(6\)，求这条底边上的高。学生通过面积公式\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(S\)表示面积，\(a\)表示底边长，\(h\)表示这条底边上的高），逆向求解\(h=\frac{2S}{a}\)，代入数值可得\(h=4\)。再如：已知\(x+y=5\)，\(xy=3\)，求\(x^2+y^2\)的值。学生可以利用完全平方公式的变形\(x^2+y^2=(x+y)^22xy\)，将已知条件代入进行逆向计算，得到\(x^2+y^2=5^22\times3=19\)。

（三）开展数学实验与探究活动，激发思维活力1.组织数学实验活动例如，在学习三角形的稳定性时，教师可以让学生用三根长度固定的小棒首尾相连组成三角形，然后尝试改变三角形的形状，发现很难做到。再用四根长度固定的小棒组成四边形，很容易改变其形状。通过这样的实验，让学生直观地感受三角形的稳定性这一特性。在探究圆柱体积公式时，教师可以让学生将圆柱形状的橡皮泥通过切割、拼接等方式转化为近似的长方体。学生在操作过程中观察、思考圆柱与转化后的长方体之间的关系，从而推导出圆柱体积公式\(V=Sh\)（\(S\)是圆柱底面积，\(h\)是圆柱的高）。2.引导学生进行数学探究对于一些数学定理和规律，教师可以引导学生进行探究性学习。比如在探究多边形内角和公式时，教师可以先让学生从三角形内角和是\(180^{\circ}\)入手，然后引导学生通过将四边形分割成两个三角形、五边形分割成三个三角形等方式，探究多边形内角和与边数的关系，最终得出\(n\)边形内角和公式为\((n2)\times180^{\circ}\)。在探究数字规律时，教师可以给出一组数字序列，如\(1\)，\(3\)，\(6\)，\(10\)，\(15\)，\(\cdots\)，让学生观察、分析，找出其中的规律。学生通过探究可能会发现相邻两个数的差值依次为\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(\cdots\)，从而归纳出该序列的规律是第\(n\)个数为\(1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)。

（四）小组合作学习，促进思维碰撞1.合理分组，明确任务根据学生的学习能力、性格特点等因素进行合理分组，一般每组以\(46\)人为宜。在小组合作学习中，教师要给每个小组明确具体的数学问题或学习任务。例如，在学习函数的应用时，给出一个实际生活中的函数问题，如某商场销售某种商品，每件进价为\(40\)元，售价为\(60\)元时，平均每天可售出\(300\)件。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价\(1\)元，商场平均每天可多售出\(20\)件。问每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到\(6120\)元？要求小组讨论并求解。2.鼓励小组内成员交流与讨论小组内成员分工合作，有的负责分析题目条件，有的负责寻找解题思路，有的负责计算求解。在交流讨论过程中，学生们可以分享自己的想法和见解，相互启发。比如在上述问题中，有的学生可能会设每件商品降价\(x\)元，然后根据盈利公式列出方程\((6040x)(300+20x)=6120\)，其他学生可能会提出不同的设未知数方法或解题步骤，通过这样的交流讨论，拓宽解题思路，培养发散思维。小组讨论结束后，每个小组派代表进行汇报展示，分享小组的解题过程和结果。其他小组可以进行提问、质疑，进一步促进思维的碰撞和交流。

（五）利用开放性问题，激发学生思维1.设计开放性数学问题例如：在平面直角坐标系中，已知点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，请你在坐标轴上找一点\(P\)，使\(\trianglePAB\)的周长最小，并求出点\(P\)的坐标。这个问题没有固定的答案，学生需要通过思考、分析，运用轴对称等知识来找到使周长最小的点\(P\)的位置，不同的学生可能会有不同的解法和思路。再如：请你用多种方法证明三角形内角和是\(180^{\circ}\)。学生可以通过测量、剪拼、利用平行线性质等多种方法来证明，充分发挥自己的思维能力，提出不同的证明方案。2.引导学生对开放性问题进行拓展与延伸对于上述三角形内角和的开放性问题，在学生给出多种证明方法后，教师可以进一步引导学生思考：如果是四边形、五边形等多边形，它们的内角和又该如何证明？能否从三角形内角和的证明方法中得到启发？通过这样的拓展延伸，激发学生进一步探索数学知识的欲望，培养学生的发散思维和创新能力。对于平面直角坐标系中求\(\trianglePAB\)周长最小的问题，教师可以引导学生思考：如果点\(A\)、\(B\)在其他位置，或者在其他几何图形中，如何求类似的周长最小问题？这样可以拓宽学生的思维视野，提高学生解决复杂数学问题的能力。

四、培养学生发散思维能力应注意的问题

（一）关注学生个体差异学生在思维能力、学习基础等方面存在差异，教师要充分关注这些差异。对于思维能力较弱的学生，要给予更多的引导和鼓励，从简单的问题入手，逐步培养他们的发散思维能力。对于思维敏捷的学生，可以提供更具挑战性的问题，进一步拓展他们的思维。

（二）营造宽松的课堂氛围教师要营造一个宽松、民主、和谐的课堂氛围，让学生敢于发表自己的见解，不怕犯错。只有在这样的氛围中，学生才能积极主动地思考问题，充分发挥自己的发散思维能力。

（三）及时给予反馈与评价教师要对学生在培养发散思维能力过程中的表现及时给予反馈与评价。肯定学生的优点和进步，指出存在的问题和不足，并给予针对性的建议和指导。通过及时的反馈