工程数学期末考试题库

工程数学期末考试题库一、单选题1.行列式的值为（）。A.0B.1C.1D.2

答案：A

解析：根据行列式的计算规则，该行列式的某两行元素相同，所以行列式的值为0。

2.矩阵的秩为（）。A.1B.2C.3D.4

答案：B

解析：通过对矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。

3.向量组的极大线性无关组是（）。A.B.C.D.

答案：D

解析：逐一分析选项，看哪个向量组能线性表示其他向量且自身线性无关。

4.线性方程组有非零解，则（）。A.B.C.D.

答案：C

解析：线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为0。

5.设是阶方阵，且，则（）。A.B.C.D.

答案：B

解析：根据矩阵的性质进行分析。

二、填空题1.行列式的值为______。答案：6

解析：按照行列式的展开法则计算。

2.设矩阵，则______。答案：

解析：根据矩阵的乘法规则计算。

3.已知向量，则______。答案：5

解析：根据向量的模的计算公式计算。

4.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为______。答案：2

解析：先求系数矩阵的秩，再用未知数个数减去秩得到基础解系所含解向量的个数。

5.设矩阵的特征值为，则______。答案：3

解析：矩阵的迹等于特征值之和。

三、计算题1.计算行列式的值。

解：

按第一列展开得：

2.已知矩阵，求。

解：

先求的伴随矩阵，再求的逆矩阵：

，

所以

3.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。

解：

将向量组构成矩阵并进行初等行变换：

化为阶梯形矩阵：

秩为3，极大线性无关组为，

且

4.求解线性方程组

解：

增广矩阵为：

化为行最简形矩阵：

得到方程组的解为：

，其中为自由未知量。

5.设矩阵，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

解：

先求的特征值：

，特征值为

对于，求解方程组，得到特征向量

对于，求解方程组，得到特征向量

对于，求解方程组，得到特征向量

令，则

四、证明题1.设是阶方阵，且，证明可逆，并求其逆矩阵。

证明：

因为，所以，即，所以可逆。

其逆矩阵为

2.证明向量组线性无关的充要条件是它们所构成的矩阵的秩等于向量的个数。

证明：

设向量组构成矩阵

充分性：若秩，则矩阵的行向量组线性无关，即向量组线性无关。

必要性：若向量组线性无关，则矩阵的行向量组线性无关，所以秩。

综上，向量组线性无关的充要条件是它们所构成的矩阵的秩等于向量的个数。

五、综合题1.已知二次型，求正交变换，将二次型化为标准形。

解：

二次型的矩阵为：

求的特征值：

，特征值为

对于，求解方程组，得到特征向量

对于，求解方程组，得到特征向量

对于，求解方程组，得到特征向量

将单位化得：

令，则正交变换为，二次型的标准形为

2.某工厂生产甲、乙、丙三种产品，每件产品的利润分别为3元、2元、1元。生产每件产品需要消耗的原材料A、B的数量如下表所示：

|产品|原材料A（kg）|原材料B（kg）||||||甲|2|1||乙|1|2||丙|1|1|

已知该厂每月可提供原材料A1000kg，原材料B800kg。问该厂每月应生产甲、乙、丙三种产品各多少件，才能使总利润最大？

解：

设该厂每月生产甲、乙、丙三种产品分别为件，则总利润

约束条件为：

，

引入松弛变量，化为标准形：

目标函数为：

，约束条件为：

用单纯形法求解：

初始单纯形表：

|基变量|||||||||||||||1|0|0|2|1|1000|||0|1|0|1|2|800|||0|0|1|3|2|1|0|

进行迭代，得到最优单纯形表：

|基变量|||||||||||||||0|0|1|1|0|200|||0|1|0|0|1|300|||1|0|0|3