初三数学应用题训练题

初三数学应用题训练题一、工程问题基础概念工程问题是初中数学应用题中的重要类型，它涉及到工作总量、工作效率和工作时间三个基本量。它们之间的关系可以用公式表示为：工作总量=工作效率×工作时间。

在解决工程问题时，通常把工作总量看作单位"1"。例如，一项工程甲单独做需要\(x\)天完成，那么甲每天的工作效率就是\(\frac{1}{x}\)；乙单独做需要\(y\)天完成，乙每天的工作效率就是\(\frac{1}{y}\)。

如果甲、乙合作完成这项工程，那么他们合作的工作效率就是甲的工作效率加上乙的工作效率，即\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)。合作完成这项工程所需的时间就可以用工作总量"1"除以合作的工作效率来计算。

二、经典例题解析（一）单人工作问题例1：一项工程，甲单独做需要10天完成。问甲每天完成这项工程的几分之几？

解：把这项工程的工作总量看作单位"1"，因为甲单独做需要10天完成，根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得甲每天完成这项工程的\(1\div10=\frac{1}{10}\)。

例2：一项工程，乙单独做每天完成这项工程的\(\frac{1}{15}\)。问乙单独完成这项工程需要多少天？

解：已知乙的工作效率为每天完成这项工程的\(\frac{1}{15}\)，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得乙单独完成这项工程需要\(1\div\frac{1}{15}=15\)天。

（二）两人合作问题例3：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？

解：首先求出甲、乙两人的工作效率。甲每天完成这项工程的\(1\div12=\frac{1}{12}\)，乙每天完成这项工程的\(1\div18=\frac{1}{18}\)。

然后计算甲、乙合作的工作效率，即\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)\(=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}\)\(=\frac{5}{36}\)。

最后根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得两人合作完成这项工程需要\(1\div\frac{5}{36}=1\times\frac{36}{5}=7.2\)天。

例4：一项工程，甲、乙合作需要8天完成。已知甲每天完成这项工程的\(\frac{1}{12}\)，求乙每天完成这项工程的几分之几？

解：设乙每天完成这项工程的\(x\)。

因为甲、乙合作的工作效率为\(\frac{1}{8}\)，甲每天完成这项工程的\(\frac{1}{12}\)，则可列方程：

\(\frac{1}{12}+x=\frac{1}{8}\)

移项可得：\(x=\frac{1}{8}\frac{1}{12}\)\(=\frac{3}{24}\frac{2}{24}\)\(=\frac{1}{24}\)

所以乙每天完成这项工程的\(\frac{1}{24}\)。

（三）多人合作问题例5：一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要40天完成。甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成这项工程？

解：先分别求出甲、乙、丙三人的工作效率。

甲每天完成这项工程的\(1\div20=\frac{1}{20}\)；

乙每天完成这项工程的\(1\div30=\frac{1}{30}\)；

丙每天完成这项工程的\(1\div40=\frac{1}{40}\)。

然后计算三人合作的工作效率，即\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}\)\(=\frac{6}{120}+\frac{4}{120}+\frac{3}{120}\)\(=\frac{13}{120}\)。

最后根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得三人合作完成这项工程需要\(1\div\frac{13}{120}=1\times\frac{120}{13}=\frac{120}{13}\approx9.23\)天。

例6：一项工程，甲、乙合作6天可以完成工程的\(\frac{1}{2}\)，乙、丙合作2天可以完成工程的\(\frac{1}{6}\)，甲、丙合作5天可以完成工程的\(\frac{1}{3}\)。问甲、乙、丙三人合作，完成这项工程需要多少天？

解：设甲、乙、丙三人的工作效率分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)。

根据已知条件可得方程组：

\(\begin{cases}6(x+y)=\frac{1}{2}\\2(y+z)=\frac{1}{6}\\5(x+z)=\frac{1}{3}\end{cases}\)

化简方程组得：

\(\begin{cases}x+y=\frac{1}{12}①\\y+z=\frac{1}{12}②\\x+z=\frac{1}{15}③\end{cases}\)

①+②+③得：\(2(x+y+z)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\)\(2(x+y+z)=\frac{5}{60}+\frac{5}{60}+\frac{4}{60}\)\(2(x+y+z)=\frac{14}{60}\)\(x+y+z=\frac{7}{60}\)

所以甲、乙、丙三人合作完成这项工程需要\(1\div\frac{7}{60}=\frac{60}{7}\approx8.57\)天。

（四）工作效率变化问题例7：一项工程，甲单独做需要15天完成。甲先做了5天后，因事离开，剩下的工程由乙单独做12天完成。问乙单独完成这项工程需要多少天？

解：甲单独做需要15天完成，则甲每天完成这项工程的\(\frac{1}{15}\)。

甲先做5天，完成的工作量为\(\frac{1}{15}×5=\frac{1}{3}\)。

那么剩下的工作量为\(1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)。

这\(\frac{2}{3}\)的工作量由乙单独做12天完成，则乙每天完成的工作量为\(\frac{2}{3}÷12=\frac{2}{3}×\frac{1}{12}=\frac{1}{18}\)。

所以乙单独完成这项工程需要\(1\div\frac{1}{18}=18\)天。

例8：一项工程，甲、乙合作8天可以完成。甲的工作效率提高\(20\%\)，乙的工作效率降低\(20\%\)后，两人合作7天完成了这项工程。求原来甲、乙的工作效率。

解：设原来甲的工作效率为\(x\)，原来乙的工作效率为\(y\)。

根据甲、乙合作8天可以完成工程，可得\(8(x+y)=1\)，即\(x+y=\frac{1}{8}\)①。

甲的工作效率提高\(20\%\)后为\((1+20\%)x=1.2x\)，乙的工作效率降低\(20\%\)后为\((120\%)y=0.8y\)。

两人合作7天完成了这项工程，可得\(7(1.2x+0.8y)=1\)，即\(8.4x+5.6y=1\)②。

由①得\(y=\frac{1}{8}x\)，代入②得：

\(8.4x+5.6(\frac{1}{8}x)=1\)\(8.4x+0.75.6x=1\)\(2.8x=10.7\)\(2.8x=0.3\)\(x=\frac{0.3}{2.8}=\frac{3}{28}\)

把\(x=\frac{3}{28}\)代入①得：\(\frac{3}{28}+y=\frac{1}{8}\)\(y=\frac{1}{8}\frac{3}{28}\)\(y=\frac{7}{56}\frac{6}{56}\)\(y=\frac{1}{56}\)

所以原来甲的工作效率是\(\frac{3}{28}\)，原来乙的工作效率是\(\frac{1}{56}\)。

三、练习题（一）基础练习题1.一项工程，甲单独做需要18天完成，那么甲每天完成这项工程的几分之几？2.一项工程，乙单独做每天完成这项工程的\(\frac{1}{20}\)，乙单独完成这项工程需要多少天？3.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲、乙两人合作，多少天可以完成这项工程？4.一项工程，甲、乙合作需要12天完成。已知乙每天完成这项工程的\(\frac{1}{18}\)，求甲每天完成这项工程的几分之几？5.一项工程，甲单独做需要25天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要45天完成。甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成这项工程？

（二）提高练习题1.一项工程，甲、乙合作4天可以完成工程的\(\frac{1}{3}\)，乙、丙合作5天可以完成工程的\(\frac{1}{4}\)，甲、丙合作6天可以完成工程的\(\frac{1}{5}\)。问甲、乙、丙三人合作，完成这项工程需要多少天？2.一项工程，甲单独做需要20天完成。甲先做了8天后，因事离开，剩下的工程由乙单独做15天完成。问乙单独完成这项工程需要多少天？3.一项工程，甲、乙合作10天可以完成。甲的工作效率降低\(10\%\)，乙的工作效率提高\(20\%\)后，两人合作9天完成了这项工程。求原来甲、乙的工作效率。4.一项工程，甲单独做需要16天完成，乙单独做需要24天完成。现在甲先做若干天后，由乙接着做，共用20天完成。问甲做了多少天？5.一项工程，甲、乙、丙三人合作6天可以完成。如果甲先做6天，乙、丙再合作2天，可以完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)；如果甲、乙先合作3天，丙再做6天，也可以完成这项工程的\(\frac{2}{3}\)。问甲、乙、丙三人单独完成这项工程各需要多少天？

（三）拓展练习题1.有一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合作8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。这个工程若由丙队单独做需要多少天完成？2.一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要12小时完成。现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？3.一项工程，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作60天完成。甲、乙、丙独做各需多少天完成？4.某水池有甲、乙、丙三根进水管，单独开甲管6小时能注满水池，单独开乙管8小时能注满水池，单独开丙管12小时能注满水池。如果甲、乙、丙三管同时打开，多少小时能注满水池？5.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？若剩下的部分由甲、乙合作完成，还需要几天？

四、练习题答案（一）基础练习题答案1.甲每天完成这项工程的\(1\div18=\frac{1}{18}\)。2.乙单独完成这项工程需要\(1\div\frac{1}{20}=20\)天。3.甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)，两人合作的工作效率为\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{6}\)，所以合作完成需要\(1\div\frac{1}{6}=6\)天。4.设甲每天完成这项工程的\(x\)，则\(12(x+\frac{1}{18})=1\)，\(x+\frac{1}{18}=\frac{1}{12}\)，\(x=\frac{1}{12}\frac{1}{18}=\frac{3}{36}\frac{2}{36}=\frac{1}{36}\)。5.甲的工作效率为\(\frac{1}{25}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{30}\)，丙的工作效率为\(\frac{1}{45}\)，三人合作的工作效率为\(\frac{1}{25}+\frac{1}{30}+\frac{1}{45}=\frac{18}{450}+\frac{15}{450}+\frac{10}{450}=\frac{43}{450}\)，所以合作完成需要\(1\div\frac{43}{450}=\frac{450}{43}\approx10.47\)天。

（二）提高练习题答案1.设甲、乙、丙三人的工作效率分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)。根据条件可得方程组：\(\begin{cases}4(x+y)=\frac{1}{3}\\5(y+z)=\frac{1}{4}\\6(x+z)=\frac{1}{5}\end{cases}\)化简得：\(\begin{ca