二次函数y=ax2bxc的图象和性质课件沪科版九年级数学上册

21.2.5二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第21章二次函数与反比例函数沪科版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********2.二次函数的图象和性质（20分钟）图象绘制：以二次函数\(y=x^{2}\)为例，讲解用描点法绘制函数图象的步骤。列表：选取一些\(x\)的值，如\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，计算出对应的\(y\)值。描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的坐标值，描出相应的点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到二次函数\(y=x^{2}\)的图象。让学生观察图象的形状，发现它是一条抛物线，且开口向上，对称轴是\(y\)轴（即\(x=0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。性质探究：再选取几个不同的二次函数，如\(y=-x^{2}\)，\(y=2x^{2}\)，\(y=-2x^{2}\)等，让学生分组绘制它们的图象，并观察图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性等性质。通过小组讨论和交流，总结出二次函数\(y=ax^{2}\)（\(a\neq0\)）的性质：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标是\((0,0)\)。在对称轴左侧（\(x\lt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧（\(x\gt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标是\((0,0)\)。在对称轴左侧（\(x\lt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧（\(x\gt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小。一般形式的二次函数性质：对于一般形式的二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），通过配方法将其化为顶点式\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)。由此得出其对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)。然后通过实例，让学生计算一些二次函数的对称轴和顶点坐标，并结合图象分析其性质。3.二次函数的应用（15分钟）例题讲解：例1：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。设后来该商品每件降价\(x\)元，商店一天可获利润\(y\)元。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求出当\(x\)取何值时，商店可获得最大利润，最大利润是多少？分析：利润\(y=(\)售价\(-\)进价\()\times\)销售量。售价为\((100-x)\)元，进价为80元，销售量为\((100+10x)\)件。所以\(y=(100-x-80)(100+10x)\)，化简得\(y=-10x^{2}+100x+2000\)。这是一个二次函数，对于二次函数\(y=-10x^{2}+100x+2000\)，\(a=-10\lt0\)，抛物线开口向下，有最大值。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\times(-10)}=5\)。当\(x=5\)时，\(y_{max}=-10\times5^{2}+100\times5+2000=2250\)（元）。解答过程详细板书，让学生理解如何将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数的性质求解。练习巩固：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。设果园增种\(x\)棵橙子树，果园橙子的总产量为\(y\)个。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求出当\(x\)取何值时，果园橙子的总产量最大，最大产量是多少？让学生独立完成，然后请一位同学上台板演，教师进行点评和纠正。（二）反比例函数部分1.反比例函数的概念（10分钟）情境引入：展示一些生活中反比例关系的实例，如当路程一定时，速度与时间的关系；当矩形面积一定时，长与宽的关系等。提出问题：这些实例中两个变量之间的关系有什么共同特点？如何用数学式子来表示这种关系？概念讲解：给出反比例函数的定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数，自变量\(x\)的取值范围是不等于\(0\)的一切实数。强调\(k\neq0\)以及\(x\neq0\)这两个条件。举例判断：给出一些函数表达式，如\(y=\frac{3}{x}\)，\(y=-\frac{2}{x}\)，\(y=\frac{1}{2x}\)（可化为\(y=\frac{\frac{1}{2}}{x}\)，是反比例函数），\(y=\frac{x}{3}\)（不是反比例函数，是正比例函数）等，让学生判断哪些是反比例函数，加深对概念的理解。2.反比例函数的图象和性质（20分钟）图象绘制：以反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)为例，讲解用描点法绘制图象的过程。列表：由于\(x\neq0\)，选取一些\(x\)的值，如\(-4\)，\(-2\)，\(-1\)，\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，计算出对应的\(y\)值。描点：在平面直角坐标系中描出这些点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)的图象。让学生观察图象，发现它由两条曲线组成，分别位于第一、三象限，且关于原点对称。性质探究：再选取几个不同的反比例函数，如\(y=-\frac{3}{x}\)，\(y=\frac{5}{x}\)等，让学生分组绘制图象，并观察图象的位置、增减性等性质。通过小组讨论和交流，总结出反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的性质：当\(k\gt0\)时，图象分别位于第一、三象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。当\(k\lt0\)时，图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。渐近线性质：引导学生观察反比例函数图象与坐标轴的关系，发现当\(x\)的值越来越大（或越来越小）时，图象越来越接近\(x\)轴（\(y=0\)）；当\(y\)的值越来越大（或越来越小）时，图象越来越接近\(y\)轴（\(x=0\)），但永远不会与坐标轴相交。\(x=0\)和\(y=0\)分别是反比例函数图象的渐近线。3.反比例函数的应用（15分钟）例题讲解：例2：一个矩形的面积为24\(cm^{2}\)，设它的长为\(xcm\)，宽为\(ycm\)。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当\(x=6cm\)时，\(y\)的值。分析：根据矩形面积公式\(S=xy\)，已知\(S=24\)，所以\(y=\frac{24}{x}\)，这是一个反比例函数。当\(x=6\)时，\(y=\frac{24}{6}=4(cm)\)。解答过程详细板书，让学生理解如何根据实际问题建立反比例函数模型并求解。练习巩固：某工厂现有原材料600吨，平均每天用去\(x\)吨，这批原材料能用\(y\)天。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当\(x=30\)时，\(y\)的值。让学生独立完成，然后同桌之间互相检查和交流5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.掌握二次函数

的性质，且与转化；2.利用平移变换和描点的方法得到二次函数

的图象；3.经历探索二次函数

与

之间联系的过程，培养学生的逻辑推理能力，体会化归思想的作用；4.经历观察函数图象得到性质的过程，进一步体会数形结合的思想，培养学好数学的自信心.难点重点你目前学会了哪种函数的图象的画法呢？你能准确画出这条抛物线吗？跳绳运动员在起跳时，绳子呈圆弧状，如图所示，经研究，该圆弧状曲线可以用方程表示，情境导入回顾思考关于函数y=a(x+h)2+k的性质，你能回忆一下吗？提取二次项系数a对含x的项进行配方我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点，你认为怎样画函数y=–2x2–8x–7的图象较简便？先将这个函数的表达式进行配方y=–2x2–8x–7=–2(x2+4x)–7=–2(x2+4x+4)–7+8=–2(x2+2)2+1可见，函数y=–2x2–8x–7的图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是(–2，1)，对称轴是直线x=–2.提取二次项系数a对含x的项进行配方思考我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点，你认为怎样画函数y=–2x2–8x–7的图象较简便？先将这个函数的表达式进行配方y=–2x2–8x–7=–2(x2+4x)–7=–2(x2+4x+4)–7+8=–2(x+2)2+1的图象即为所求如何得到函数y=–2(x2+2)2+1的图象呢？你会几种方法呢？思考通过平移y=–2x2的图象得到y=–2(x+2)2+1的图象.抛物线二次项系数相等则图象形状相同，改变顶点位置即可左移2个单位长度上移1个单位长度左移2个单位长度上移1个单位长度xy–1–2–3–4–5–2–331O–122154–4–5–6–7–8归纳(1)二次函数的二次项系数相同时，图象可通过平移相互得到；抛物线相同抛物线上移，

左移下移，右移(2)平移前后，图象的大小和形状都不改变，只有位置改变.思考除了平移法，你还有别的画图方法吗？…………–2–7–1–1–7一般式配方

顶点式顶点坐标、对称轴得到列表、描点、连线利用轴对称性①思路②操作–4–3–101怎样画函数y=–2x2–8x–7的图象较简便？xy–1–2–3–4–5–2–331O–122154–4–5–6–7–8对称选点函数y=–2x2–8x–7的图象特点是怎样的？函数有哪些性质？图象特征函数性质顶点开口方向当x=

时，最值对称轴曲线趋势当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小．增减性向下在对称轴的左侧，图象从左到右

；在对称轴的右侧，图象从左到右

．–2下降上升y=–2x2–8x–7一般式：y=–2x2–8x–7顶点式：归纳思考函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质又是怎样的呢？先配方，再分类讨论的对称轴是，顶点归纳

①开口向上，抛物线有最低点

①开口向下，抛物线有最高点

典型例题例1写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并说说如何得到图象？(1)

，所以抛物线开口向上；顶点坐标：.对称轴：

；(1)(2)解：注意事项：①函数中各项系数包含前面的符号，切不可漏掉；②没有常数项，即c=0.典型例题，所以抛物线开口向下；对称轴：

；顶点坐标：.(2)解：因为，所以开口向下；∴对称轴：x=–1；

顶点坐标(–1，1).技巧总结：求函数的对称轴和顶点坐标，当容易配方时，可使用配方法求解.例1写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并说说如何得到图象？(1)(2)典型例题例2函数的图象如下图，下列错误的是()A.B.C.D.解析：因为抛物线与y轴的交点在负半轴上，所以c＜0因为抛物线的对称轴是x=1,所以；即

因为当x=3时，函数值为0，所以

D因为a＞0，且，所以b＜0(1)y=2x2+8x+5解：=2(x2+4x)+5=2(x2+4x+4)+5–8=2(x+2)2–3抛物线开口向上；对称轴：直线x=–2；顶点坐标：(–2，–3).1.用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象.(1)y=2x2+8x+5；(2)y=(2–x)(2x+1).…………–25–1–15–4–3–10–3xy3214–1–2–331O–126554–4–5–2–3–41.用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象.(1)y=2x2+8x+5；(2)y=(2–x)(2x+1).(2)y=(2–x)(2x+1)解：

抛物线开口向上；

xy–1–2–3–4–5–2–331O–122154–4–5–643…………

–300–3–1–0.522.5

y=(2–x)(2x+1)

向下32直线x=3=3大大2右3上2返回D1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x＋h)2＋k的形式，结果为(

)A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．