第十章3第2课时“HL”定理

1．[2024春·金台区期中]如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO,CD⊥CO,AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是(A)第1题图A．AB＝DC B．∠A＝∠DC．∠AOB＝∠DOC D．OB＝OD2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(B)第2题图A．28° B．59° C．60° D．62°3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(C)第3题图A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′4．[2024春·厦门期中]如图所示，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝CD，BE＝4，DE＝3，CE＝1，则△ABD的面积是(A)第4题图A．4.5 B．6 C．9 D．125．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE＋DE等于(C)第5题图A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(A)A.eq\f(36,5) B.eq\f(12,25) C.eq\f(9,4) D.eq\f(3\r(3),4)7．[2022·天津]如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是(D)第7题图A．(5，4) B．(3，4)C．(5，3) D．(4，3)8．[2024秋·新吴区月考]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD.添加的条件是：AC＝AD(答案不唯一)．(写一个即可)第8题图9．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AE＝AC，DE⊥AB交AB于点E，若∠B＝40°，则∠ADE＝65°．第9题图10．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．第10题图11．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE＝12cm，则DE的长为12cm.第11题图12．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为6．第12题图13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．第13题图证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在Rt△ADE和Rt△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．第14题图解：猜想：BF⊥AE.理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．∴∠CBD＝∠CAE.又∵∠CAE＋∠E＝90°.∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.15．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；(2)△CDE是直角三角形吗？请说明理由．第15题图解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴ED＝CE，∵∠A＝∠B＝90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ED＝CE，,AE＝BC，))∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；(2)△CDE是直角三角形，理由：由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED＝∠BCE，∵∠B＝90°，∴∠BCE＋∠CEB＝90°，∴∠AED＋∠CEB＝90°，∴∠DEC＝180°－90°＝90°，∴△DEC为直角三角形．16．如图，已知四边形ABCD中，∠ACB＝54°，∠BAC＝64°，对角线BD平分∠ABC，∠BCD＋∠DCA＝180°，那么∠ADC为59度．第16题图解析：延长BA，BC，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，如图，第16题图∴∠AED＝∠DFC＝90°，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDF(AAS)，∴DE＝DF，∵∠BCD＋∠DCA＝180°，∠BCD＋∠DCF＝180°，∴∠DCF＝∠DCA，∴CD平分∠GCF，过点D作DG⊥AC，∴DG＝DF，∵DC＝DC，∴Rt△DGC≌Rt△DFC(HL)，∴∠DCG＝∠DCF，∵∠ACB＝54°，∠ACB＋∠ACF＝180°，∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠ACF＝63°，∵DE＝DF，DG＝DF