2025年高考数学必刷题分类：第54讲、空间向量及其应用（教师版）

第54讲空间向量及其应用

知识梳理

知识点一：空间向量及其加减运算

（1）空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空

间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是

B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB．

（2）零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A与终点B重合时，AB0．

模为1的向量称为单位向量．

（3）相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量

或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a．

（4）空间向量的加法和减法运算

①OCOAOBab，BAOAOBab．如图所示．

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

abba，abcabc

知识点二：空间向量的数乘运算

（1）数乘运算

实数与空间向量a的乘积a称为向量的数乘运算．当0时，a与向量a方向相

同；当0时，向量a与向量a方向相反．a的长度是a的长度的倍．

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

abab，aa．

（3）共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量，a平行于b，记作a//b．

（4）共线向量定理

对空间中任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数，使ab．

（5）直线的方向向量

如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线．对空间任意一点O，

点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta①，其中向量a叫做直线l的方向

向量，在l上取ABa，则式①可化为OPOAtABOAtOBOA1tOAtOB②

1

①和②都称为空间直线的向量表达式，当t，即点P是线段AB的中点时，

2

1

OPOAOB，此式叫做线段AB的中点公式．

2

（6）共面向量

如图8-154所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在平

面内，则说明向量a平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

a

OA

a

（7）共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对x,y，使pxayb．

推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y，使

APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC

的向量表达式．

②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式

OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的点P与点A，B，C共面；反之也成立．

知识点三：空间向量的数量积运算

（1）两向量夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向

量a，b的夹角，记作a,b，通常规定0a,b，如果a,b，那么向量a，b互

2

相垂直，记作ab．

（2）数量积定义

已知两个非零向量a，b，则abcosa,b叫做a，b的数量积，记作ab，即

2

ababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，aaa．

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

abab，abba（交换律）；

abcabac（分配律）．

知识点四：空间向量的坐标运算及应用

（）设，，则；

1aa1,a2,a3bb1,b2,b3aba1b1,a2b2,a3b3

；

aba1b1,a2b2,a3b3

；

aa1,a2,a3

；

aba1b1a2b2a3b3

；

a//bb0a1b1,a2b2,a3b3

．

aba1b1a2b2a3b30

（）设，，则．

2Ax1,y1,z1Bx2,y2,z2ABOBOAx2x1,y2y1,z2z1

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减

起点的坐标．

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．

2

①已知，，则222；

aa1,a2,a3bb1,b2,b3aaa1a2a3

2

222；

bbb1b2b3

；

aba1b1a2b2a3b3

ababab

cosa,b112233；

222222

a1a2a3b1b2b3

②已知，，则222，

Ax1,y1,z1Bx2,y2,z2ABx1x2y1y2z1z2

或者dA,BAB．其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公

式．

ab

（4）向量a在向量b上的投影为acosa,b．

b

知识点五：法向量的求解与简单应用

（1）平面的法向量：

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作

n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．

几点注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法

向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有mn0．

第一步：写出平面内两个不平行的向，，，，，；

ax1y1z1bx2y2z2

na0xx1yy1zz10

第二步：那么平面法向量nx，y，z，满足．

nb0xx2yy2zz20

（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b．

若a∥b，即ab，则a∥b；

若a⊥b，即ab0，则a⊥b．

②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且l⊥．

若a∥n，即an，则l⊥；

若a⊥n，即an0，则a∥．

（3）平面与平面的位置关系

平面的法向量为，平面的法向量为．

n1n2

若n1∥n2，即n1n2，则∥；若n1⊥n2，即n1n20，则⊥．

知识点六：空间角公式．

（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l1，l2上的方向向量，为异面

ab

直线所成角的大小，则coscosa,b．

ab

（2）线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为

an

l与所成角的大小，则sincosa,n．

an

（3）二面角公式：

设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或

n1n2n1,n2n1,n2

n1n2

（需要根据具体情况判断相等或互补），其中cos．

n1n2

知识点七：空间中的距离

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量

的正射影性质直接计算．

如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a，b上任取A，B两

n|ABn|

点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离．则d|AB|即两

|n||n|

异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝

对值与公垂线的方向向量模的比值．

（2）点到平面的距离

A为平面外一点（如图），n为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH．

|ABn||ABn|

|AH||AB|sin|AB||cosAB,n|=|AB|

ABnn

|ABn|

d

|n|

【解题方法总结】

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直

的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求

解，且其解法一般都比较简单．

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些

点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除

要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基

底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底

向量表示，并进行向量运算．

必考题型全归纳

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

例1．（2024·全国·高三专题练习）下列命题中是假命题的是（）

A．任意向量与它的相反向量不相等

B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C．如果a0，则a0

D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

【答案】A

【解析】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；

对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；

对于C，如果a0，则a0，C正确；

对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.

故选：A.

例2．（2024·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1

与B1D1的交点，若AB=a，ADb，AA1c，则BM（）

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

【答案】D

11

【解析】因为M为AC与BD的交点，所以BMBABC，

11i11211211

111111

故BMBBBMAABABCcABADabc.

1112112112222

故选：D

例3．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为ABC

的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若aAF，bCE，cBD，则△OP=

（）

111111212222

A．abcB．abcC．abcD．abc

333333333333

【答案】D

【解析】取BC中点为M，

1

aAFPFPAPCPA,

2

1

bCEPEPCPBPC,

2

1

cBDPDPBPAPB

2

1

三个式子相加可得ab+c-PAPBPCPAPBPC2ab+c,

2

2211

又OPAPAO-PA-AM-PA-ABAC-PA-PBPAPCPA

3323

111112

-PA-PBPAPCPA=PAPBPC-PAPBPCab+c,

333333

故选：D

变式1．（2024·高三课时练习）如图.空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M

在OA上，且满足OM2MA，点N为BC的中点，则MN（）

121221

A．abcB．abc

232332

111211

C．abcD．abc

222322

【答案】D

12211

【解析】MNONOMOBOCOAabc.

23322

故选：D.

变式2．（2024·湖南长沙·高三校联考期中）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，

1

点N在线段OM上，且MNOM，设，OBb，，则下列向量与AN相等

3OAaOCc

的向量是（）

1111

A．abcB．abc

3333

1111

C．abcD．abc

6666

【答案】A

11

【解析】因为M在四面体OABC的棱BC的中点，所以OMOBOCbc，

22

1

又点N在线段OM上，且MNOM，

3

2

故点N为OM的三等分点，所以ONOM，

3

2211

所以ANAOONaOMaOBOCabc.

3323

11

故选与AN相等的向量的向量是abc；

33

故选：A.

变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四面体OABC中，G1是ABC的重心，G

是OG1上的一点，且OG2GG1，若OGxOAyOBzOC，则(x,y,z)为（）

111222

A．(,,)B．(,,)

222333

111222

C．(,,)D．(,,)

333999

【答案】D

1

【解析】因为E是BC中点，所以OE(OBOC)，

2

2

G1是ABC的重心，则AG1AE，

3

22

所以AGAE(OEOA)，

133

因为OG2GG1

所以

2224

OGOG(OAAG)OA(OEOA)

313139

2422222

OAOEOA(OBOC)OAOBOC，

9999999

2

若OGxOAyOBzOC，则xyz．

9

故选：D．

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知在空间单位正交基底下，a,b,c是空间的一组

单位正交基底，ab,ab,c是空间的另一组基底.若向量p在基底a,b,c下的坐标为

4,2,3，则向量p在基底ab,ab,c下的坐标为（）

A．4,0,3B．1,2,3C．3,1,3D．2,1,3

【答案】C

urrrrrr

【解析】设向量p在基底ab,ab,c下的坐标为x,y,z，则px(ab)y(ab)zc，

urrrr

又向量p在基底a,b,c下的坐标为4,2,3，则p4a2b3c，

rrrrrrrrrrrrrr

所以4a2b3cx(ab)y(ab)zc，即4a2b3c(xy)a(xy)bzc，

xy4,x3,

所以xy2,解得y1,

z3,z3,

所以向量p在基底ab,ab,c下的坐标为3,1,3.

故选：C.

【解题方法总结】

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可

以类比平面向量的运算法则．

题型二：空间共线向量定理的应用

例4．（2024·全国·高三专题练习）若空间中任意四点O，A，B，P满足OPmOAnOB，

其中m＋n＝1，则（）

A．P∈ABB．PAB

C．点P可能在直线AB上D．以∉上都不对

【答案】A

【解析】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，

所以OP(1n)OAnOB，即OPOAn(OBOA)，

即APnAB，所以AP与AB共线．

又AP，AB有公共起点A，

所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.

故选：A.

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知a2,3,1，则下列向量中与a平行的是（）

A．1,1,1B．4,6,2C．2,3,1D．2,3,1

【答案】B

【解析】因为4,6,222,3,12a，所以4,6,2与a平行.

故选：B.

例6．（2024·全国·高三专题练习）向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a1,3,5，

bx,y,2，若l1∥l2，则（）

13

A．x，yB．x3，y15

55

26315

C．x，yD．x，y

5522

【答案】C

1tx

∥2

【解析】因为l1l2，所以a∥b，所以atb，1,3,5tx,y,2，所以3ty，解得x，

5

52t

6

y.

5

故选：C.

变式5．（2024·全国·高三专题练习）若点A(2,5,1)，B(1,4,2)，C(m3,3,n)在同

一条直线上，则mn（）

A．21B．4C．4D．10

【答案】C

【解析】AB3,1,1，BCm4,1,n2

∵点A，B，C在同一条直线上

m41n2

∴AB∥BC则

311

解得m7,n3

∴mn4

故选：C．

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知a(2x,1,3)，b(1,3,9)，如果a与b为共

线向量，则x（）

111

A．1B．C．D．

236

【答案】D

【解析】因为a与b为共线向量，

2x131

所以x，

1396

故选：D

变式7．（2024·浙江·高三专题练习）若A(m1，n1，3)、B(2m，n，m2n)、C(m3，n3，9)

三点共线，则mn（）．

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】∵AB(m1，1，m2n3)，AC(2，2，6)，

m11m2n3

由题意得AB//AC，则，

226

∴m0、n0，∴mn0，

故选:A．

【解题方法总结】

空间共线向量定理：a//bb0ab．

利用此定理可解决立体几何中的平行问题．

题型三：空间向量的数量积运算

例7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知向量a1,1,1，b1,0,2，则下列

正确的是（）

π

A．ab0,1,3B．a3C．a×b=2D．a,b

4

【答案】AB

【解析】向量a1,1,1，b1,0,2，则ab0,1,3，A正确；

显然|a|1212123，B正确；

由数量积的定义得a×b=1´(-1)+1´0+1´2=1，C错误；

22ab12π

显然|b|(1)25，则cosa,b，即有a,b，D错误.

|a||b|3524

故选：AB

例8．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六面

体ABCDA1B1C1D1中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60，下列

说法中不正确的是（）

A．AC166

B．AC1BD

C．向量B1C与AA1夹角是60

6

D．向量BD1与AC所成角的余弦值为

3

【答案】CD

【解析】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且

彼此夹角都是60，

AA1ABAA1ADADAB66cos6018.

222

对于，

AAA1ABADAA1ABAD2AA1AB2ABAD2AA1AD

3636363218216，AC1AA1ABAD21666，A正确；

对于B，AC1DBAA1ABAD(ABAD)

2

，

AA1ABAA1ADABABADABADAD0

AC1BD，即AC1BD，B正确；

对于C，连接A1D，由题意可知△AA1D是等边三角形，则AA1D60，

B1CA1D，且向量A1D与AA1的夹角是120，

向量B1C与AA1夹角是120，C错误；

对于D，BD1ADAA1AB,ACABAD，

BD1ACADAA1ABABAD

22

，

ADABADAA1ABAA1ADABABAD36

22

，

BD1ADAA1AB62,ACABAD63

BD1AC366

cosBD1,AC，D错误.

BD1AC62636

故选：CD

例9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，ABBD，CDBD，AB3，

π

BD2，CD4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（）

3

A．17B．23C．35D．41

【答案】AD

【解析】在四面体ABCD中，ABBD，CDBD，则BA,DC是二面角ABDC的平

面角，如图，

ACABBDDCBABDDC，而AB3，BD2，CD4，

2222

ACBABDDC2BADC9416234cosBA,DC2924cosBA,DC，

ππ

因为平面ABD与平面BCD的夹角为，则当BA,DC时，|AC|17，

33

2π

当BA,DC时，|AC|41，

3

所以AC的值可能为17，41.

故选：AD

变式8．（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知

ABADAA11，A1ABA1ADBAD60，则（）

A．直线A1C与BD所成的角为90

B．线段A1C的长度为3

C．直线A1C与BB1所成的角为90

6

D．直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为

3

【答案】AC

1

【解析】设，则，且abbcca，

ABa,ADb,AA1c|a||b||c|12

对于A，A1Cabc,BDba，

22

A1CBDabcbabaacbc0，

所以直线A1C与BD所成的角为90，故A正确；

2

对于，因为2222，

BA1C(abc)abc2bc2

所以A1C2，故B错误；

2

对于C，因为A1CBB1abccacbcc0，

所以BB1A1C，故C正确；

对于D，连接AC，交BD于点O，则O为BD,AC的中点，

因为ABADAA11，A1ABA1ADBAD60，

所以ACBD，

又因A1CBD,ACA1CC,A1C,AC平面AA1C，所以BD平面AA1C，

又BD平面AA1C，所以平面AA1C平面ABCD，

作A1MAC，垂足为M，

I

因为平面AA1C平面ABCD，平面AA1C平面ABCDAC，A1M平面AA1C，

所以A1M平面ABCD，

则A1C与平面ABCD所成的角为A1CA，

△3

在RtAA1C中，AA11,AC3，所以sinACA，

13

3

即直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为，故D错误.

3

故选：AC.

变式9．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）空间直角坐标系中，已知O0,0,0，

OA1,2,1，OB1,2,1，OC2,3,1，则（）

A．AB2

B．ABC是等腰直角三角形

666666

C．与OA平行的单位向量的坐标为,,或,,

636636

242

D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为,,

333

【答案】AC

【解析】根据空间向量的线性运算，

uuuruuuruur

ABOBOA

(1,2,1)(1,2,1)

(0,0,2)

uuur

|AB|0202(2)22，选项A正确；

uuuruuuruur

ACOCOA

(2,3,1)(1,2,1)

(3,1,2)

uuur

|AC|3212(2)214

uuuruuuruuur

BCOCOB

(2,3,1)(1,2,1)

(3,1,0)

uuur

|BC|32120210

计算可得，ABC三条边不相等，选项B不正确；

与OA平行的单位向量为：

uur

rOA

euur

|OA|

(1,2,1)

(1)22212

(1,2,1)

6

666

(,,)

636

选项C正确；

2422

OA在OB方向上的投影向量与OB向量共线，,,(1,2,1)，选项D不正确，

3333

故选：AC.

变式10．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量a2,1,3，b4,2,x，

下列说法正确的是（）

10

A．若ab，则x

3

B．若3ab2,1,10，则x1

1

C．若a在b上的投影向量为b，则x4

3

10

D．若a与b夹角为锐角，则x,

3

【答案】ABD

【解析】对于A：ab，ab0，

即：ab2,1,34,2,x823x0，

10

解得：x.

3

故A选项正确；

对于B：3ab2,1,10，

3ab32,1,34,2,x2,1,9x2,1,10

9x10，解得：x1.

故B选项正确；

abb

对于C：a在b上的投影向量为：，

bb

abb1

即b，代入坐标化简可得：x29x500，x无解，

bb3

故C选项错误；

对于D：a与b夹角为锐角，

10

ab103x0，解得：x，

3

4x2x

且a与b不共线，即,，解得：x6，

2313

10

所以a与b夹角为锐角时，解得：x.

3

故D选项正确；

故选：ABD.

变式11．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1

中，ADBDAA11，ADBD，A1AB45，A1AD60，则线段BD1的长为.

【答案】1

【解析】由题可得,ADBD1，ADBD,

所以AB112,且DAB45,

因为BD1BAAA1A1D1ABAA1AD,

所以

22222

BD111D212AD2A1ADABAAADABAAAABAAABA

222

ABAA1AD2ABAA1cos452ABADcos452AA1ADcos60

2112211，

所以BD11，

故答案为:1.

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知空间向量a1,1,0，b1,0,2，则a在b方

向上的投影向量为.

12

【答案】,0,

55

b525

【解析】b1045，与b同向的单位向量e,0,，

b55

ab512

a在b方向上