陕西省2024年中考数学面对面类型三二次函数与图形面积练习

类型三二次函数与图形面积1.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于C点，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及C点坐标；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，求PA＋PC的最小值；(3)过点D作DE⊥x轴于点E，连接CD、CE，则在抛物线上是否存在点F，使得S△ABF＝S△CDE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)(x－3)，即抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3；令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；(2)抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－4,2)＝2，抛物线与y轴交于C(0，3)，∵点A和点B关于对称轴对称，∴要使得PA＋PC取得最小值，只需PB＋PC最小即可，当点P、B、C三点共线时，PB＋PC最小，最小值为BC长，∵B(3，0)，C(0，3)，∴BC＝3eq\r(2)，∴PA＋PC的最小值为3eq\r(2)；(3)存在．∵点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于E点，∴D(2，－1)，E(2，0)，∴DE＝1，OE＝2，∴S△CDE＝eq\f(1,2)DE·OE＝1，∵AB＝2，S△ABF＝S△CDE＝1，∴AB边上的高h＝1，∴点F的纵坐标为1或－1，当y＝1时，x2－4x＋3＝1，解得x＝2±eq\r(2)，∴F1(2＋eq\r(2)，1)，F2(2－eq\r(2)，1)；当y＝－1时，x2－4x＋3＝－1，解得x＝2，∴F3(2，－1)，∴抛物线上存在点F1(2＋eq\r(2)，1)，F2(2－eq\r(2)，1)和F3(2，－1)，使得S△ABF＝S△CDE.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2－2x＋3经过A(－3，0)、B两点，与y轴交于点C.(1)求B、C两点的坐标；(2)抛物线L2与抛物线L1关于坐标原点对称，求抛物线L2的表达式；(3)在抛物线L2上是否存在一点P，使△ABP与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)点A的坐标为(－3，0)，将其代入抛物线L1：y＝ax2－2x＋3，可解得a＝－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝－1，∵点B关于直线x＝－1对称的点为A(－3，0)，∴点B的坐标为(1，0)，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)；(2)∵抛物线L2与抛物线L1关于原点对称，抛物线L1的表达式为y＝－x2－2x＋3，∴抛物线L2的表达式为y＝x2－2x－3；(3)存在．∵A(－3，0)、B(1，0)、C(0，3)，∴S△ABC＝6，∵S△ABP＝S△ABC＝6，∴eq\f(1,2)|AB|·|yP|＝6，∴eq\f(1,2)×4×|yP|＝6，∴|yP|＝3.当点P的纵坐标为3时，x2－2x－3＝3，解得x＝1±eq\r(7)；当点P的纵坐标为－3时，x2－2x－3＝－3，解得x＝0或x＝2.∴满意条件的点P坐标为(1＋eq\r(7)，3)、(1－eq\r(7)，3)、(0，－3)、(2，－3)．3.已知m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且m<n，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)．(1)求该抛物线的表达式；(2)如图，设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，恳求出P点的坐标．第3题图解：(1)解方程x2－6x＋5＝0，即(x－1)(x－5)＝0，解得x1＝5，x2＝1，由m＜n，有m＝1，n＝5，∴点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(0，5)．将A(1，0)、B(0，5)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0,c＝5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4,c＝5))，∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5；(2)由(1)得y＝－x2－4x＋5，令y＝0，得－x2－4x＋5＝0，解得x1＝－5，x2＝1，∴C点的坐标为(－5，0)．∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，∴顶点D的坐标为(－2，9)，第3题解图①如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点M，连接BM.∴M(－2，0)，则S△DMC＝eq\f(1,2)×9×(5－2)＝eq\f(27,2)，S△BDM＝eq\f(1,2)×2×9＝9，S△BCM＝eq\f(1,2)×(5－2)×5＝eq\f(15,2)，∴S△BCD＝S△DMC＋S△BDM－S△BCM＝eq\f(27,2)＋9－eq\f(15,2)＝15；(3)如解图②，设P点的坐标为(a，0)，第3题解图②∵B(0，5)，C(－5，0)，∴BC所在的直线为y＝x＋5.∴PH与直线BC的交点为E(a，a＋5)，PH与抛物线y＝－x2－4x＋5的交点为H(a，－a2－4a＋5)．①当EH＝eq\f(3,2)EP时，即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝eq\f(3,2)(a＋5)，解得a＝－eq\f(3,2)或a＝－5(舍去)；②当E