8.6.1直线与直线垂直 课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直

第八章

8．6空间直线、平面的垂直学习目标1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直．2.理解并掌握异面直线所成的角，掌握两异面直线所成的角的求法，培养直观想象及逻辑推理核心素养．问题导思问题1.我们知道两条相交直线所成角的大小可以度量，那么两条异面直线所成角的大小该如何定义呢？提示：可以利用等角定理，平移为两相交直线所成的角．新知构建异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2．空间两条直线所成角α的取值范围：_____________．a′与b′0°≤α≤90°微提醒(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．(2)两条异面直线所成的角α∈.(3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．例1

如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；解：如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)FO与BD所成的角．解：连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得O为AH的中点，且FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，所以∠HFO＝30°，故FO与BD所成的角为30°.变式探究(变条件、变设问)在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP与CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，则OP∥AF.又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.规律方法求两异面直线所成角的一般步骤1．构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．2．计算角：求角度，常利用三角形．3．确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．规律方法[提醒]找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边．

对点练1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为√返回问题导思问题2.在平面上我们是如何来定义两条直线垂直的？提示：这两条直线所成的角为90°.新知构建两条异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作______．直角a⊥b微思考两条直线垂直时，一定相交吗？提示：不一定．例2

如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.证明：如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，因为E为AC的中点，F为CC′的中点，所以EF∥AC′，在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，所以BE⊥EF，即BE⊥AC′.规律方法证明空间中两条直线垂直的方法1．定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．2．平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．

对点练2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF.证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝

BC，因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，所以DF∥BC，DF＝

BC，所以EG∥DF，EG＝DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又因为A1A＝AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠DGD1＝90°，所以异面直线CD1与EF所成的角为90°，所以CD1⊥EF.返回课堂小结知识(1)平面内两直线的夹角．(2)异面直线所成的角．(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直．方法转化与化归易错误区容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.随堂演练1．垂直于同一条直线的两条直线一定A．平行 B．相交C．异面 D．以上都有可能√(1)当这条直线和两条垂线共面时，根据平面几何性质，这两条垂线必然平行；(2)当这三条直线不共面但都交于一点时，这两条垂线相交；(3)当这三条直线既不共面也不交于一点时，这两条垂线异面．综上，两条垂线可能平行，可能相交，也可能异面．故选D.2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有A．1条 B．2条

C．3条 D．4条√和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.故选B.3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中．①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③A1B1与BC1垂直．以上三个结论中，正确的是A．①② B．②③C．③ D．①②③√①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由图可知DA1与BC1异面，故①不正确；②因为DD1∥CC1，BC1与CC1不垂直，所以DD1与BC1不垂直，故②不正确；③正确．故选C.4．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB