辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三下学期开学考试（暨第六次模拟）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三下学期开学考试（六模）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p:∃x∈R, cosx>1；命题q:∀x>3, π3x−9A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题

C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题2.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.为了解学生身高情况，采用分层抽样获取样本，计算得男生样本均值为173，方差为17，女生样本均值为163，方差为30.则估计总体的均值和方差分别为(

)A.170，47.2 B.169，46.2 C.170，46.2 D.169，47.23.对于数集A，B，它们的Descartes积A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}，则下列选项错误的是(

)A.A×B=B×A B.若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B)

C.A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) D.集合{0}×R表示y轴所在直线4.定义双曲余弦函数表达式为cosℎx=ex+e−x2，定义双曲正弦函数的表达式为sinℎx=ex−eA.(−4,3) B.(−3,4)

C.(−∞,−4)∪(3,+∞) D.(−∞,−3)∪(4,+∞)5.已知直线l:mx+y−m−1=0与圆C:x−22+y2=4相交于M、N两点，则CM+A.23 B.22 C.6.若a>0，b>0，3a+5b=1，则11a+13b2a2+6ab+4A.16 B.18 C.20 D.227.已知在平面直角坐标系xoy中，A−2,1,B−2,2，动点P满足PAPB=22，点Q为抛物线C:y2=4x上一动点，且点A.10 B.25 C.28.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由1+a1+b的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是(

)A.1+a+a2+a3+a4+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=a+bi(a,b∈R)，z2=2−3iA.若z1⋅z2为实数，则点P(a,b)在直线3x−2y=0上

B.若z1与1z2互为共轭复数，则b=213

C.若z1，z2对应的点关于直线10.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，下列说法正确的是(

)

A.在翻折过程中，存在某个位置使得AB⊥CD

B.若AC⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为217

C.当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，二面角D−AC−B的平面角大小为π3

D.当AE⊥EF时，三棱锥11.平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大;圆越大，曲率越小.定义函数y=f(x)的曲率函数k(x)=|y′′|[1+(y′)2]32(其中y′是f(x)的导数，y是y′的导数)，函数y=f(x)A.函数y=sinx在无数个点处的曲率为1

B.函数f(x)=x3+2，则曲线在点(−a,−a3+2)与点(a,a3+2)处的弯曲程度相同

C.函数y=ex的曲率半径随着三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=x2−12lnx在其定义域的一个子区间(k−1,k+1)13.已知数列an满足a1=1,a2=2,an+2=14.在ΔABC中，a=5,b=4,cos(A−B)=3132，则cosC=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．sin2A+cos2B+sin2C=1(1)求B;(2)若点D满足AB=BD，△ABC的外接圆半径为2316.(本小题15分)如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AB=AC=2，(1)求证：A(2)若BF=2FC，求直线A1C1与平面17.(本小题15分)已知函数fx=(1)讨论gx的单调性(2)若fx−gx≥x+118.(本小题17分)已知甲盒子中装有1个白球和2个黑球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次(n∈N∗)这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为Xn，甲盒中恰有2个白球的概率为an(1)求a1，b1和a2(2)证明：{a(3)求Xn的数学期望(用n表示)．19.(本小题17分)已知椭圆C的方程y2a2+x2b2=1(a>b>0)，椭圆C的离心率e=1417，点P1(−1,9)在椭圆C上，过点Pn−1(n≥2,n∈N∗)作斜率为1(1)椭圆C的方程；(2)求x2，y2，x3(3)求S10．

参考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.B

6.A

7.C

8.B

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.1≤k<32

13.152814.18．15.(1)∵cos2B=1−2sin2B，

∴sin2A+1−2sin2B+sin2C=1，即sin2A+sin2C=2sin2B.

∵在△ABC中由正弦定理得sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，R为△ABC外接圆半径．

∴a2+c2=2b2 ①

又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac ②．

由 ① ②得a=b=c，则A=B=C，∵A+B+C=π，∴B=π3．

(2)由(1)得∠BAC=∠ABC=∠ACB=16.解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，有平面平面BB又平面AA1EF∩平面BB1而平面ABC//平面A1B1C1，平面AA1所以A1所以四边形AA1(2)在平面AA1C1C因为AB⊥平面AA1C1C，AC,AZ⊂平面A以点A为坐标原点，AB，AC，AZ所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，因为AA所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),AAB=(2,0,0),因为BF=2FC，所以AF=设平面AFC1的法向量为则n令y1=1，得x1所以n=(−2,1,−3而A1C1=(0,2,0)，设直线A1于是得sin θ=|所以直线A1C1与平面AF

17.解：(1)因为gx=alnx−x，所以当a≤0时，g′x<0，gx当a>0时，x∈0,a，g′x>0，gx在0,a上单调递增，x∈a,+∞，g′(2)因为fx−gx≥x+1恒成立，即记ℎx=ex−1−aln当a≤0时，ℎ′x>0，ℎx在0,+∞上单调递增，由ℎ1=0当a>0时，令Mx=xM′x=x+1ex−1，则M′M0=−a<0，∃x0∈所以ℎx在0,x0上单调递减;ℎx在由①得ln所以ℎx即a−alna−1≥0，当且仅当x0=1时，记φx=x−xlnx−1，即φx在0,1上单调递增，在1,+∞单调递减，φx

18.解：(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率a1若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率b1研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a1此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a1若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b1此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b1综上，a2(2)依题意，经过n次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为an恰有1个白球的概率为bn，则甲盒中恰有3个白球的概率为1−研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为an此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为an若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为an若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为an若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为an②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为bn此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为bn若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为bn③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1−a此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为1−a综上，a则an+1整理得an+1+2b所以数列{an+2(3)由(2)知an+2b随机变量XnX123Pba1−所以E(