2023年北京市初三二模数学试题汇编：新定义（第28题）

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编新定义（第28题）一、解答题1.（2023·北京东城·统考二模）已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．（1）如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射；（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围．2.（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2，（1）若点M的坐标为，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆O的特征值为___________；（2）直线分别与x，y轴交于点A，B，若线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得，直接写出点T的横坐标t的取值范围．3．（2023·北京西海淀·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边OA，OB上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线MN对称，则称点P为△OAB的“翻折点”．（1）已知A（3，0），B（0，）．①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；②P是线段AB上一动点，当P是△OAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围；（2）直线（b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，若存在以直线AB为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△OAB的“翻折点”，直接写出b的取值范围．4.（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义；将M上的一点变换为点，M上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N，称N为M的变换图形．（1）①点的变换点的坐标为______；②直线的变换图形上任意一点的横坐标为______；（2）求直线的变换图形与y轴公共点的坐标；（3）已知⊙O的半径为1，若的变换图形与直线有公共点，直接写出k的取值范围．5.（2023·北京房山·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，有图形W和点P，我们规定：若图形W上存在点M、N（点M和N可以重合），满足，其中点是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”。（1）如图28-1所示，已知，点A（0，2），点B（3，2）。①在点P1（0，1），P2（1，-1），P3（4，1）中，是线段AB的“对称平衡点”的是___________；②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由；图28-1图28-2（2）如图28-2，以点A（0，2）为圆心，1为半径作⊙A．坐标系内的点C满足AC=2，再以点C为圆心，1为半径作⊙C，若⊙C上存在⊙A的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标的取值范围。6.（2023·北京丰台·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点T（m，0），点M（m，-1），以点T为圆心，TM的长为半径作⊙T，点N为⊙T上的任意一点（不与点M重合）．（1）当m=0时，若直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，求t的取值范围；（2）若点A在MN关于⊙T的“关联正方形”上，点B（-m+2，3）与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值.7.（2023·北京门头沟·统考二模）在平衡直角坐标系中，线段，点，在线段上，且，为的中点，如果任取一点，将点绕点顺时针旋转得到点，则称点为点关于线段的“旋平点”．（1）如图1，已知，，，知果为点关于线段的“旋平点”，画出示意图，写出的取值范围；（2）如图，的半径为，点，在上，点，如果在直线上存在点关于线段的“旋平点”，求的取值范围．8．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P，直线l与图形G，连接点P与图形G上任意一点Q，取PQ的中点M，点M关于直线l的对称点为N，所有的对称点组成的图形W称为图形G关于点P及直线l的“对应图形”．已知点A（4，0）．（1）对于直线l:x=a，若直线y=-2x-4关于点A及直线l的“对应图形”与直线y=-2x-4的交点在x轴的上方，求a的取值范围；（2）已知点B（0，4），C（-4，0），D（6，4），直线l:x=-1，⊙T的圆心T（t，0），半径为2．若存在⊙T关于点D及直线l的“对应图形”与△ABC的边有交点，直接写出t的取值范围．9．（2023·北京燕山·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C'(B′，C′分别是B，C的对应点)，则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．((图1)(图2)(1)如图2，点B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．①在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线：y＝x＋4为轴的⊙O的“关联线段”是；②在线段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直线：y＝－x＋b为轴的⊙O的“关联线段”，求b的值；(2)已知直线：(m＞0)交x轴于点A．在△ABC中，AB＝6，BC＝2，若线段BC是以直线为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的AC的长．

参考答案1.（1）根据中心映射的定义，若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心．由于是等边三角形，因此直线绕A点逆时针旋转，可使弦落在弦上．但直线绕B点、C点逆时针旋转后，弦无法与再相交成弦．故只有点A符合映射中心的条件，如下图．（2）如下图，的角平分线交轴于点，过D作，垂足为G．则与线段EF相交所得的弦关于点E中心映射，此时的半径r的取值范围是．在中，平分，过D作x轴的平行线，与EF交于H，则，又，所以，则．由得，，所以即，。在直角三角形OEF中，．∴，解得．∵，∴在直角与直角相似．∴，即．因此，．所以，的半径r的取值范围是．即．（3）考虑到对称性与不失一般性，为了研究问题的方便，设弦绕点H逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，且与交于x轴，见下图．作与交于点F，再过F作的平行线，是的切线．则满足条件的弦最大为直径，最小应大于0，所以，．当O与H重合时，，此时弦为直径；当H与E重合时，，此时弦长度为0．故d的取值范围是：．由已知条件知．又因，故．在直角中，，则．故d的取值范围是：．2.【答案】（1），3（2）b的取值范围是或；（3）【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可．【小问1详解】解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，∴，在中，由勾股定理得，∴当最大时，最小，即此时最小，∵点M的坐标为，∴，又∵，∴当点H与点M重合时，有最大值，∴此时有最小值，∴的最小值为∵过点M的直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O截得的弦长取值范围为，∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M关于圆O的特征值为3，故答案为：，3；【小问2详解】解：设点G是圆O的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，∵特征值要保证为4，∴经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，∴经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2，∵，∴由（1）可知，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，∵直线分别与x，y轴交于点A，B，∴，，∴，∴当时，∵线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，∴线段与以O为圆心，为半径的圆有交点，当线段与以O为圆心，为半径的圆相切时，将切点设为H，连接OH，则，∴，∴，将以O为圆心，为半径的圆与y轴正半轴的交点记为，则，当线段与以O为圆心，为半径的圆相交，且过点时，可得，∴；同理可求当时，；综上，b的取值范围是或；【小问3详解】：∵同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，∴点Q关于圆O的特征值不可能为0，∴，∵，且r、s都是整数，∴或；当时，∴经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，∴由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理当时，点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，∴当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意；如图3-1所示，当以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时；如图3-2所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆外切时，此时；综上所述，当时，存在点R，S，使得．3.【答案】（1），3（2）b的取值范围是或；（3）【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可．【小问1详解】解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，∴，在中，由勾股定理得，∴当最大时，最小，即此时最小，∵点M的坐标为，∴，又∵，∴当点H与点M重合时，有最大值，∴此时有最小值，∴的最小值为∵过点M的直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径），∴被圆O截得的弦长取值范围为，∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4，∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，∴点M关于圆O的特征值为3，故答案为：，3；【小问2详解】解：设点G是圆O的特征值为4的点，由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，∵特征值要保证为4，∴经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，∴经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2，∵，∴由（1）可知，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，∵直线分别与x，y轴交于点A，B，∴，，∴，∴当时，∵线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，∴线段与以O为圆心，为半径的圆有交点，当线段与以O为圆心，为半径的圆相切时，将切点设为H，连接OH，则，∴，∴，将以O为圆心，为半径的圆与y轴正半轴的交点记为，则，当线段与以O为圆心，为半径的圆相交，且过点时，可得，∴；同理可求当时，；综上，b的取值范围是或；【小问3详解】：∵同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，∴点Q关于圆O的特征值不可能为0，∴，∵，且r、s都是整数，∴或；当时，∴经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，∴由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理当时，点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，∴当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意；如图3-1所示，当以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时；如图3-2所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆外切时，此时；综上所述，当时，存在点R，S，使得．4.（1）解：①按定义操作：，，∴点的变换点的坐标为，故答案为：；②设直线的图像上任意一点坐标为，按定义操作：，∴直线的变换图形上任意一点的横坐标为，故答案为：；（2）直线上任意一点的坐标可以表示为，则该点的变换点坐标为，∵点在y轴上，∴∴∴∴直线的变换图形与y轴公共点的坐标为；（3）解：设⊙O上点的坐标为，∵⊙O的半径为1，∴点到原点的距离为1，∴，∵⊙O上的点的变换点坐标为，∴其变换点到原点的距离为：，∴的变换图形是以原点为圆心，半径为的圆，又∵直线，∴直线恒过点，如图，点，直线与y轴交于点C，当直线与的变换图形相切于点B时，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此时直线过点，∴，解得：，同理，当直线与的变换图形相切于x轴的下方时，可得，∴若的变换图形与直线有公共点，k的取值范围为且．5.（1）①，；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分②不存在。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分设P为线段AB上任意一点，则它与线段AB上点的距离最小值为0，最大值为PA和PB中的较大值；显然PA≤3点P关于x轴的对称点为P'，它到线段AB上任意一点的距离即若是线段AB上的任意两点，pM≤3，P'∴线段AB上不存在线段AB的“对称平衡点”。。。。。。。。。。。。。。。3分（2）0≤yC≤2.6.解：（1）如图，MN关于⊙T的“关联正方形”上的所有点在以C（-1，0）和D（1，0）为圆心，为半径，以E（-1，-1），F（1，-1）和O（0，0）为圆心，1为半径的五个圆上及圆内.由直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，可知：当直线与⊙C相切时，设切点为G，交x轴于点H，交y轴于点I，由CG=，得CH=2，∴OH=OI=3，此时t=3；当直线与⊙F相切时，设切点为J，交y轴于点K，由OJ