2024-2025学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3 诱导公式（2）教学实录 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.3诱导公式（2）教学实录新人教A版必修第一册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课以“2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.3诱导公式（2）”为主题，结合新人教A版必修第一册教材，通过引入实际问题，引导学生探究三角函数诱导公式（2）的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。课程设计注重理论与实践相结合，以学生为主体，教师为主导，通过小组合作、探究活动等方式，让学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高数学素养。二、核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过三角函数诱导公式（2）的学习，使学生能够理解数学符号与实际情境的关联，提高运用数学语言表达和解决问题的能力。同时，发展逻辑推理素养，引导学生通过观察、比较、分析等活动，探究和验证三角函数诱导公式，培养严谨的数学思维。此外，强化数学建模意识，使学生在解决实际问题时，能够运用三角函数知识建立数学模型，提高解决实际问题的能力。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在此阶段已经学习了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切等函数及其图像和性质，以及三角函数的基本变换和运算。此外，学生对三角函数在几何中的应用也有所了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对三角函数的学习兴趣较高，尤其是与日常生活和物理现象相关的应用。学生具备一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，能够通过观察和比较来发现规律。学习风格上，部分学生偏好通过图形直观理解概念，而另一部分学生则更倾向于通过公式推导和证明来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习三角函数诱导公式（2）时，可能遇到的困难包括理解公式推导过程中的逻辑关系，掌握不同角的三角函数关系，以及在实际问题中灵活运用诱导公式。此外，学生可能对公式的记忆和运用存在混淆，需要教师通过适当的引导和练习帮助学生克服这些挑战。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生具备新人教A版必修第一册高中数学教材，以及相关学习资料。

2.辅助材料：准备与三角函数诱导公式（2）相关的图片、图表、动画等多媒体资源，以帮助学生直观理解公式。

3.教学工具：准备计算器、三角板等工具，用于学生进行实际计算和绘图操作。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生合作学习；确保实验操作台安全，方便进行相关实验活动。五、教学流程一、导入新课（用时5分钟）

详细内容：

1.利用多媒体展示生活中常见的三角函数应用实例，如建筑测量、音乐节拍等，激发学生的学习兴趣。

2.回顾已学知识，引导学生回顾三角函数的基本概念和性质，为引入新内容做好铺垫。

3.提出问题：“如何解决在不同象限中三角函数值的关系问题？”引发学生思考，自然过渡到新课内容。

二、新课讲授（用时15分钟）

1.讲解诱导公式（2）的推导过程，引导学生理解公式背后的逻辑关系。

-通过几何图形的变换，展示不同象限中三角函数值的关系。

-引导学生观察和分析，总结出诱导公式（2）的推导步骤。

2.举例说明诱导公式（2）的应用，帮助学生掌握公式的运用方法。

-给出具体例子，如求某角度的正弦、余弦、正切值。

-引导学生运用诱导公式（2）进行计算，巩固所学知识。

3.分析诱导公式（2）的特点，强调其在三角函数运算中的重要性。

-比较诱导公式（2）与原三角函数的关系，突出公式的优势。

-强调诱导公式（2）在解决实际问题中的应用价值。

三、实践活动（用时15分钟）

1.学生独立完成课后习题，巩固所学知识。

-出具与诱导公式（2）相关的练习题，如计算、证明、应用等。

-学生独立完成练习，教师巡视指导，解答学生疑问。

2.分组讨论，引导学生运用诱导公式（2）解决实际问题。

-将学生分成小组，每组给出一个实际问题，如计算角度、求解三角形的边长等。

-小组成员合作，运用诱导公式（2）解决问题，并分享解题思路。

3.角色扮演，让学生体验三角函数在实际生活中的应用。

-学生扮演不同角色，如建筑师、音乐家等，展示三角函数在各自领域的应用。

-通过角色扮演，加深学生对三角函数的理解和认识。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.学生讨论如何利用诱导公式（2）求解特定角度的正弦、余弦、正切值。

-举例：求解角度为30°的正弦值。

-学生讨论并给出解答，教师点评并总结。

2.学生讨论如何运用诱导公式（2）证明三角恒等式。

-举例：证明sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

-学生讨论并给出证明过程，教师点评并总结。

3.学生讨论如何将诱导公式（2）应用于实际问题中。

-举例：计算建筑物的高度。

-学生讨论并给出解决方案，教师点评并总结。

五、总结回顾（用时5分钟）

内容：

1.回顾本节课所学内容，强调诱导公式（2）的重要性。

2.总结诱导公式（2）的推导过程和运用方法。

3.鼓励学生在实际生活中运用三角函数知识，提高数学素养。

用时总计：45分钟六、拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.《三角函数在物理学中的应用》

-介绍三角函数在波动、振动、光学等物理学领域的应用，如简谐运动、光的干涉等。

-引导学生思考三角函数在自然科学中的重要性。

2.《三角函数在工程学中的运用》

-讲解三角函数在工程学中的具体应用，如建筑设计、机械设计、信号处理等。

-通过实际案例，让学生了解三角函数在工程技术中的实用性。

3.《三角函数在计算机科学中的角色》

-探讨三角函数在计算机图形学、信号处理、加密技术等领域的应用。

-介绍三角函数在计算机科学中的基础地位。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.学生可以尝试解决以下问题：

-利用三角函数求解实际问题，如建筑设计中的角度计算、音乐中的音调分析等。

-探究三角函数在数学证明中的运用，如证明三角恒等式、解决几何问题等。

-分析三角函数在不同学科中的差异和联系，如数学、物理、工程学等。

2.学生可以尝试以下活动：

-制作三角函数图像，观察函数的变化规律。

-利用计算机软件进行三角函数的计算和分析。

-与同学合作，共同完成与三角函数相关的项目。

3.学生可以阅读以下书籍或资料：

-《数学之美》：介绍数学在各个领域的应用，包括三角函数。

-《数学与生活》：探讨数学与日常生活的联系，涉及三角函数的实际应用。

-《三角函数导论》：系统讲解三角函数的基本概念、性质和应用。七、作业布置与反馈作业布置：

1.完成课后习题：选择与诱导公式（2）相关的练习题，如计算特定角度的正弦、余弦、正切值，证明三角恒等式，以及应用诱导公式解决实际问题。

2.撰写小论文：探讨三角函数诱导公式在实际生活中的应用，例如在建筑设计、物理学实验、音乐制作等方面的应用。

3.设计数学游戏：结合诱导公式（2），设计一个数学游戏，让学生在游戏中学习和巩固三角函数知识。

作业反馈：

1.作业批改：在学生提交作业后，教师应及时进行批改，确保作业的及时反馈。

2.问题指出：在批改作业时，教师应详细指出学生在解题过程中存在的问题，如计算错误、逻辑错误、应用不当等。

3.改进建议：针对学生作业中的问题，教师应给出具体的改进建议，帮助学生纠正错误，提高解题能力。

4.个性化反馈：对于不同学生的学习情况，教师应提供个性化的反馈，针对学生的弱点进行有针对性的指导。

5.作业展示：在课堂上，教师可以选择部分学生的作业进行展示，让学生互相学习，共同进步。

6.定期回顾：教师应定期回顾学生的作业情况，了解学生的学习进度和存在的问题，及时调整教学策略。

7.作业讨论：在课堂上，教师可以组织学生就作业中的问题进行讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解题能力。

具体作业反馈示例：

1.对于计算题，教师应检查学生的计算过程是否正确，如计算步骤是否清晰、是否有遗漏等。

2.对于证明题，教师应关注学生的证明思路是否合理，证明过程是否严谨。

3.对于应用题，教师应评估学生是否能够正确运用诱导公式（2）解决实际问题，以及解题思路是否清晰。

4.对于设计数学游戏，教师应评价学生的创意和游戏的趣味性，同时提出改进意见。八、典型例题讲解1.例题：求角α的正弦值，其中α为第二象限角，且sinα=3/5。

解答：

由于α在第二象限，正弦值为正，余弦值为负。根据诱导公式（2）：

sin(α)=sin(π-α)=sin(π-α+2πk)，k为整数。

取k=0，得到sin(α)=sin(π-α)。

由sin^2(α)+cos^2(α)=1，得cos^2(α)=1-sin^2(α)=1-(3/5)^2=16/25。

因此，cos(α)=-4/5（取负值因为在第二象限）。

所以，sin(α)=3/5。

2.例题：已知cos(θ)=-1/2，求sin(2θ)的值。

解答：

利用二倍角公式sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)。

由于cos(θ)=-1/2，我们需要找到sin(θ)的值。

由于sin^2(θ)+cos^2(θ)=1，得sin^2(θ)=1-cos^2(θ)=1-(-1/2)^2=3/4。

因此，sin(θ)=√3/2或sin(θ)=-√3/2（由于θ的象限不确定，所以有两种可能）。

当sin(θ)=√3/2时，sin(2θ)=2(√3/2)(-1/2)=-√3/2。

当sin(θ)=-√3/2时，sin(2θ)=2(-√3/2)(-1/2)=√3/2。

所以，sin(2θ)的值为±√3/2。

3.例题：如果tan(α)=1/3，且α在第三象限，求cos(α)的值。

解答：

在第三象限，正切值为正，余弦值为负。利用tan(α)=sin(α)/cos(α)，得sin(α)=1/3cos(α)。

由于sin^2(α)+cos^2(α)=1，得(1/3cos(α))^2+cos^2(α)=1。

解得cos^2(α)=9/10，因此cos(α)=-3√10/10（取负值因为在第三象限）。

4.例题：求sin(π/4+π/6)的值。

解答：

利用和角公式sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)。

sin(π/4+π/6)=sin(π/4)cos(π/6)+cos(π/4)sin(π/6)。

sin(π/4)=√2/2，cos(π/6)=√3/2，cos(π/4)=√2/2，sin(π/6)=1/2。

sin(π/4+π/6)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。

5.例题：已知sin(β)=1/4，求cos(2β)的值。

解答：

利用二倍角公式cos(2β)=1-2sin^2(β)。

sin(β)=1/4，所以sin^2(β)=(1/4)^2=1/16。

cos(2β)=1-2(1/16)=1-1/8=7/8。教学反思与总结今天这节课，我们学习了三角函数诱导公式（2），这个内容对于学生来说既重要又有点难度。让我来和大家分享一下我的教学反思和总结。

首先，我觉得在教学过程中，我尽量让课堂氛围保持轻松愉快。我通过引入生活中的实例，比如建筑测量、音乐节拍等，来激发学生的学习兴趣。我发现这样的方法挺有效的，学生们在听到这些例子时，眼神中闪烁着好奇和兴奋。

在讲授新课的时候，我特别注意了公式的推导过程，因为这是学生容易混淆的地方。我用了图形和动画来展示不同象限中三角函数值的关系，帮助学生建立起直观的理解。不过，我也注意到有些学生对于公式的记忆还是不够牢固，这可能需要我在今后的教学中加强复习和练习。

实践活动环节，我安排了小组讨论和角色扮演，目的是让学生在合作中学习，通过实际操作来加深对知识的理解。我看到学生们在讨论时非常积极，有的小组甚至能提出一些有创意的解决方案，这让我感到非常欣慰。

在学生小组讨论时，我注意到他们在回答问题时，对于公式的运用和理解还不够熟练。比如，在求解特定角度的正弦值时，有些学生能够正确应用诱导公式，但有些学生则容易混淆。这让我意识到，对于这种需要记忆和灵活运用的知识点，我需要在课堂上多加练习和巩固。

当然，也存在一些不足。比如，我在讲解公