2023九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学实录（新版）新人教版

2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学实录（新版）新人教版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容：解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容是在学生已经掌握一元二次方程的解法基础上，进一步学习一元二次方程的根与系数的关系。教材内容涉及一元二次方程的根与系数的关系公式，以及如何利用该公式求解一元二次方程。核心素养目标培养学生数学抽象思维，通过一元二次方程的根与系数关系，让学生理解数学符号在解决问题中的应用，提升数学建模能力。同时，通过探究和验证数学公式，培养学生的逻辑推理能力和严谨的科学态度。此外，通过合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。重点难点及解决办法重点：一元二次方程的根与系数的关系公式及其应用。

难点：如何正确理解和运用根与系数的关系公式解决实际问题。

解决办法：

1.重点：通过实例演示和小组讨论，帮助学生理解和记忆根与系数的关系公式，并通过练习题巩固应用。

2.难点：设计一系列逐步深入的问题，引导学生从简单到复杂地理解和应用公式。同时，鼓励学生通过画图、列表等方式直观地理解公式背后的逻辑关系。对于复杂问题，提供详细的解题步骤和思路，帮助学生突破难点。此外，利用信息技术手段，如动画演示，帮助学生可视化地理解根与系数的变化规律。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新版《九年级数学上册》教材，特别是第二十一章相关内容。

2.辅助材料：准备与一元二次方程的根与系数的关系相关的图片、图表和视频，以帮助学生直观理解。

3.实验器材：准备计算器和相关软件，用于演示和验证根与系数的关系。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习和讨论；确保教学环境整洁，以利于学生集中注意力。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的抛物线运动场景，如篮球投篮轨迹、汽车抛物线行驶等，引发学生思考。

2.提出问题：引导学生观察这些运动轨迹的特点，并提出问题：“如何用数学语言描述这些运动轨迹？”

3.引出课题：通过学生的回答，引入一元二次方程的根与系数的关系，明确本节课的学习目标。

二、讲授新课（20分钟）

1.回顾旧知：回顾一元二次方程的定义、解法以及根与系数的关系公式。

2.引入新知：通过实例讲解一元二次方程的根与系数的关系，引导学生理解公式含义。

3.讲解过程：

a.以一个具体的一元二次方程为例，展示如何求解方程。

b.讲解根与系数的关系公式，强调公式的应用场景和注意事项。

c.通过举例说明，让学生掌握公式的使用方法。

4.互动环节：针对公式应用中的常见问题，引导学生进行思考和讨论，如如何判断根的符号、如何确定根的大小等。

三、巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：布置一些与根与系数的关系相关的练习题，让学生独立完成。

2.学生展示：选取部分学生的作业进行展示，教师点评并纠正错误。

3.讨论交流：引导学生讨论练习题中的难点和易错点，共同总结解题技巧。

四、课堂提问（5分钟）

1.针对公式应用中的典型问题，提问学生，如：“如何判断一元二次方程的根的个数？”、“如何确定一元二次方程的判别式的符号？”

2.引导学生思考，总结规律，并讲解解题方法。

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：针对课堂内容，提出问题，如：“如何运用根与系数的关系求解一元二次方程？”、“一元二次方程的根与系数的关系有何实际应用？”

2.学生回答：鼓励学生积极参与，表达自己的观点和见解。

3.教师点评：对学生的回答进行点评，肯定优点，指出不足，并引导学生进一步思考。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.结合生活实际，引导学生思考一元二次方程的根与系数的关系在实际生活中的应用。

2.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学建模能力。

七、总结归纳（5分钟）

1.教师总结：对本节课的主要内容进行梳理，强调重点和难点。

2.学生回顾：引导学生回顾所学内容，加深对一元二次方程的根与系数的关系的理解。

教学总用时：45分钟学生学习效果六、学生学习效果

1.知识掌握：

学生通过本节课的学习，能够熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系公式，包括根与系数的符号关系、根与系数的乘积关系和根与系数的和的关系。

学生能够应用这些关系公式解决实际问题，如判断一元二次方程根的个数、确定根的范围、解方程等。

2.能力提升：

学生在解决问题的过程中，提高了逻辑推理能力，能够通过分析问题、运用公式进行推理得出结论。

学生通过小组讨论和合作学习，提升了沟通能力和团队合作精神。

3.思维发展：

学生在探索一元二次方程的根与系数的关系时，发展了数学抽象思维，能够从具体的实例中提炼出一般的数学规律。

学生通过画图、列表等方式，培养了空间想象能力和直观思维能力。

4.学习习惯：

学生通过课堂练习和课后作业，养成了良好的学习习惯，如认真审题、规范书写、及时复习等。

学生学会了如何通过自我检测和反馈来调整学习方法，提高了自我管理能力。

5.应用能力：

学生能够将一元二次方程的根与系数的关系应用到其他数学领域，如解析几何、概率统计等，提高了综合运用数学知识的能力。

学生在解决实际问题中，能够灵活运用所学知识，如计算物体的运动轨迹、分析市场供需关系等。

6.创新意识：

学生在探索一元二次方程的根与系数的关系时，敢于提出自己的观点，尝试不同的解题方法，培养了创新意识和解决问题的能力。

学生在课堂上能够提出有价值的问题，促进了师生之间的互动和知识的拓展。

7.情感态度：

学生在学习过程中，体验到了数学的严谨性和逻辑性，增强了学习数学的兴趣和自信心。

学生在遇到困难时，能够坚持不懈地尝试，培养了坚韧不拔的学习态度。典型例题讲解1.例题一：

已知一元二次方程$x^2-5x+6=0$，求该方程的根与系数的关系。

解答：

根据一元二次方程的根与系数的关系，设方程的两根为$x_1$和$x_2$，则有：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$

因此，该方程的两根之和为5，两根之积为6。

2.例题二：

已知一元二次方程$2x^2-3x+1=0$的两根之和为4，求该方程的两根之积。

解答：

设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系有：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

已知$x_1+x_2=4$，所以有$\frac{3}{2}=4$，这是不可能的，因此原方程无实数根。

3.例题三：

已知一元二次方程$x^2-2x-3=0$的两根之积为-3，求该方程的两根之和。

解答：

设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系有：

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$

已知$x_1\cdotx_2=-3$，所以有：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$

因此，该方程的两根之和为2。

4.例题四：

已知一元二次方程$3x^2-6x+4=0$的两根之和为4，求该方程的判别式。

解答：

设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系有：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{3}=2$

已知$x_1+x_2=4$，所以有：

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$

判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot3\cdot4=36-48=-12$

因此，该方程的判别式为-12。

5.例题五：

已知一元二次方程$x^2-4x+3=0$的两根之和与两根之积相等，求该方程的两根。

解答：

设方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系有：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$

因为$x_1+x_2=x_1\cdotx_2$，所以有：

$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=x_1x_2$

即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=0$

代入已知的$x_1+x_2=4$和$x_1\cdotx_2=3$，得到：

$4^2-3\cdot3=0$

$16-9=0$

这显然是错误的，因为$16-9=7\neq0$。因此，这里需要重新审视问题。

正确解法：

由于$x_1+x_2=x_1\cdotx_2$，我们可以设$x_1=x_2$，即方程有一个重根。

代入方程$x^2-4x+3=0$，得到：

$x^2-4x+3=0$

解得$x=1$或$x=3$。

因此，该方程的两根为1和3。教学反思与改进亲爱的同学们，今天我们的数学课已经结束了，我想和大家分享一下我对这节课的反思和改进的思路。

首先，我想说的是，我在导入环节的设计上可能还不够吸引人。虽然我尽力通过生活中的实例来激发大家的兴趣，但我觉得可能还需要更加贴近大家的实际生活，比如结合一些大家感兴趣的体育活动或者科技产品，这样可能更能引起大家的共鸣。所以，我打算在未来的教学中，尝试寻找更多与同学们生活紧密相关的话题，以此来激发他们的学习兴趣。

在讲授新课的过程中，我发现有些同学对于根与系数的关系的理解并不是很到位。这让我意识到，我在讲解时可能过于依赖公式，而没有足够的时间去解释公式的来源和背后的逻辑。因此，我计划在接下来的教学中，花更多的时间去解释公式背后的数学原理，并通过更多的例子来帮助学生理解。

在巩固练习环节，我发现有些同学在做题时存在一些细节上的错误，比如符号的运用和计算的准确性。这提醒我，在练习环节，我需要更加细致地指导同学们，确保他们在做练习时能够注意到这些细节。我打算在今后的教学中，增加练习的多样性，比如设计一些填空题、选择题和解答题，让学生在多种题型中巩固知识。

另外，我在课堂提问环节也发现了一些问题。有时候，我提出的问题可能过于简单，或者不够有挑战性，导致一些同学参与讨论的积极性不高。为了改善这一点，我计划在今后的教学中，设计更多层次的问题，既有基础的提问，也有拓展性的思考题，让不同层次的同学都能参与到课堂讨论中来。

在教学反思的过程中，我还注意到，有些同学对于数学问题的解决缺乏耐心和毅力。他们在面对难题时容易放弃，或者找不到合适的解题方法。这让我意识到，培养同学们的数学思维能力和解决问题的能力是我教学中的一个重要任务。我打算通过设置一些难度适中的问题，引导学生逐步思考，鼓励他们在遇到困难时坚持下来，学会从不同的角度去解决问题。

最后，我想说的是，教学是一个不断反思和改进的过程。我会认真听取同学们的意见和建议，不断调整我的教学方法和策略。我希望通过我的努力，能够帮助每一位同学在数学学习的道路上越走越远。

谢谢大家！让我们一起期待下一次更加精彩的数学课！课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一部分，它有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，同时也能帮助学生认识到自己的学习状态和进步空间。以下是我在课堂上的评价方式：

1.课堂提问：

在课堂上，我会通过提问的方式来检验学生对知识的掌握程度。我会设计不同难度的问题，包括基础题、应用题和拓展题，以此来评估学生对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用能力。通过观察学生的回答，我可以了解他们对知识的掌握程度，以及是否存在理解上的偏差。

2.观察学生参与度：

在课堂活动中，我会注意观察学生的参与情况，包括他们是否积极举手回答问题、是否能够与同学进行有效的讨论等。这些观察可以帮助我了解学生的课堂表现和学习态度。

3.小组合作评价：

在小组讨论环节，我会评价学生的合作效果。我会观察他们在小组中的角色定位，是否能够提出自己的观点，是否能够倾听他人的意见，以及是否能够共同解决问题。这些评价有助于培养学生的团队协作能力和沟通技巧。

4.实时反馈：

在课堂教学中，我会及时给予学生反馈。对于学生的正确回答，我会给予肯定和鼓励；对于学生的错误，我会耐心解释并引导他们找到正确的答案。这样的即时反馈有助于学生及时纠正错误，加深对知识的理解。

5.课堂测试：

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