控制工程基础笔记

控制工程基础笔记一、引言控制工程基础是研究自动控制系统的基本规律、分析方法和设计技术的一门学科。它在工业生产、航空航天、机器人技术、交通运输等众多领域有着广泛的应用。通过学习控制工程基础，我们能够理解和设计各种控制系统，实现对被控对象的精确控制，以满足不同的生产和生活需求。

二、控制系统的基本概念

（一）系统与控制系统1.系统：是指由相互关联、相互作用的若干部分组成的具有特定功能的有机整体。例如，一个工厂的生产流程、一台汽车的动力系统等都可以看作是一个系统。2.控制系统：是指为了实现某种目的，对系统的行为进行控制的系统。它能够根据输入信号，通过控制装置对被控对象施加控制作用，使被控对象的输出满足预期的要求。例如，温度控制系统通过传感器检测温度，控制器根据设定值和检测值调整加热或制冷设备，以保持温度稳定。

（二）控制系统的组成1.被控对象：是控制系统中需要进行控制的对象，它的输出量是系统的被控量。例如，在温度控制系统中，被控对象可以是一个加热炉；在电机调速系统中，被控对象是电动机。2.控制器：是控制系统的核心部分，它根据输入信号（给定值与反馈值的偏差），按照一定的控制规律产生控制信号，作用于被控对象。控制器可以由模拟电路、数字电路或计算机软件实现。3.传感器：用于检测被控对象的输出量，并将其转换为电信号或其他便于处理的信号，反馈给控制器。例如，温度传感器可以将温度信号转换为电压信号。4.执行器：根据控制器发出的控制信号，对被控对象施加控制作用。常见的执行器有电机、阀门、液压泵等。

（三）控制系统的分类1.按控制方式分类开环控制系统：系统的输出量对系统的控制作用没有影响，即不存在反馈回路。开环控制系统结构简单，成本低，但控制精度不高，对扰动的抑制能力较弱。例如，普通的洗衣机程序控制系统就是开环控制系统，它按照预设的程序进行洗涤，不会根据衣物的实际洗涤情况进行调整。闭环控制系统：系统的输出量通过传感器反馈到输入端，与给定值进行比较，形成偏差信号，控制器根据偏差信号产生控制作用，使输出量趋近于给定值。闭环控制系统具有较高的控制精度和较强的抗干扰能力，但结构相对复杂，成本较高。例如，自动跟踪雷达系统通过不断检测目标的位置，并将位置信息反馈给控制器，以调整雷达的指向，实现对目标的跟踪。2.按信号类型分类连续控制系统：系统中各部分的信号都是时间的连续函数。在连续控制系统中，控制器通常采用模拟电路实现。离散控制系统：系统中存在一处或多处信号是时间的离散函数，如采样信号或数字信号。离散控制系统一般采用数字控制器，通过计算机软件实现控制算法。例如，计算机控制的温度控制系统，温度传感器每隔一定时间采集一次温度数据，计算机根据这些离散数据进行处理并发出控制指令。

三、控制系统的数学模型

（一）微分方程1.建立微分方程的步骤确定系统的输入量、输出量和中间变量。根据系统的物理规律，建立各变量之间的微分方程。消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。2.示例：以一个简单的RC电路为例，输入电压为\(u_i(t)\)，输出电压为\(u_o(t)\)。根据基尔霍夫定律，可得：\(i(t)=C\frac{du_c(t)}{dt}\)\(u_i(t)u_c(t)=Ri(t)\)将\(i(t)\)代入第二个方程，消去\(i(t)\)，得到RC电路的微分方程：\(RC\frac{du_o(t)}{dt}+u_o(t)=u_i(t)\)

（二）传递函数1.定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比称为传递函数。对于一个线性定常系统，其微分方程为：\(a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n1}\frac{d^{n1}y(t)}{dt^{n1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mu(t)}{dt^m}+b_{m1}\frac{d^{m1}u(t)}{dt^{m1}}+\cdots+b_1\frac{du(t)}{dt}+b_0u(t)\)其传递函数\(G(s)\)为：\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m1}s^{m1}+\cdots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n1}s^{n1}+\cdots+a_1s+a_0}\)2.性质传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入信号的形式无关。传递函数的分母多项式的根决定了系统的固有特性，称为系统的极点；分子多项式的根称为系统的零点。传递函数是复变量\(s\)的有理分式，其系数均为实数。

（三）方框图1.组成：方框图由信号线、引出点、比较点和方框组成。信号线：表示信号的传输方向，线上标注信号的名称。引出点：用于引出信号，从同一信号线上引出的信号大小和性质相同。比较点：用于对两个或多个信号进行比较，输出为各输入信号的代数和。方框：表示系统的一个环节，框内标注该环节的传递函数。2.化简规则串联环节的等效传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数之和。反馈连接的等效传递函数为：\(G(s)=\frac{G_1(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}\)，其中\(G_1(s)\)为前向通道传递函数，\(G_2(s)\)为反馈通道传递函数。

（四）信号流图1.组成：信号流图由节点和支路组成。节点：表示信号的变量，用小圆圈表示。支路：连接两个节点，表示信号的传输关系，支路上标注传输系数（即传递函数）。2.梅森公式：用于计算信号流图中从输入节点到输出节点的传输增益。设信号流图中有\(n\)条前向通路，第\(k\)条前向通路的传输增益为\(P_k\)；有\(m\)个互不接触的回路，第\(j\)个回路的传输增益为\(L_j\)；与第\(k\)条前向通路不接触的回路传输增益乘积之和为\(\Delta_k\)，则系统的传递函数\(G(s)\)为：\(G(s)=\frac{\sum_{k=1}^{n}P_k\Delta_k}{\Delta}\)其中，\(\Delta=1\sum_{j}L_j+\sum_{i<j}L_iL_j\sum_{i<j<k}L_iL_jL_k+\cdots\)

四、控制系统的时域分析

（一）典型输入信号1.单位阶跃信号：\(u(t)=\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq0\end{cases}\)，其拉普拉斯变换为\(U(s)=\frac{1}{s}\)。单位阶跃信号常用于测试系统的稳态性能和响应速度。2.单位斜坡信号：\(r(t)=t\cdotu(t)\)，其拉普拉斯变换为\(R(s)=\frac{1}{s^2}\)。单位斜坡信号可用于评估系统的跟踪性能。3.单位脉冲信号：\(\delta(t)=\begin{cases}\infty,&t=0\\0,&t\neq0\end{cases}\)，且\(\int_{\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\)，其拉普拉斯变换为\(U(s)=1\)。单位脉冲信号常用于测试系统的动态特性。

（二）一阶系统的时域分析1.一阶系统的传递函数：\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，其中\(T\)为时间常数。2.单位阶跃响应：\(y(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)。随着时间\(t\)的增加，系统输出逐渐趋近于1，时间常数\(T\)越小，响应速度越快。3.性能指标上升时间\(t_r\)：响应从初始值上升到稳态值的10%到90%所需的时间。对于一阶系统，\(t_r=2.2T\)。调节时间\(t_s\)：响应进入并保持在稳态值的\(\pm5\%\)（或\(\pm2\%\)）范围内所需的时间。对于一阶系统，\(t_s=3T\)（\(\pm5\%\)）或\(t_s=4T\)（\(\pm2\%\)）。稳态误差\(e_{ss}\)：系统在稳态时输出与输入的差值。对于一阶系统，在单位阶跃输入下，\(e_{ss}=0\)。

（三）二阶系统的时域分析1.二阶系统的传递函数：\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(\omega_n\)为无阻尼自然频率，\(\zeta\)为阻尼比。2.单位阶跃响应当\(\zeta<1\)时，系统响应呈现衰减振荡，称为欠阻尼情况。此时，\(y(t)=1\frac{e^{\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1\zeta^2}}\sin(\omega_dt+\varphi)\)，其中\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1\zeta^2}\)为阻尼振荡频率。当\(\zeta=1\)时，系统响应为非周期过程，称为临界阻尼情况。\(y(t)=1(1+\omega_nt)e^{\omega_nt}\)。当\(\zeta>1\)时，系统响应为过阻尼情况，\(y(t)=1\frac{\zeta+\sqrt{\zeta^21}}{2\sqrt{\zeta^21}}e^{(\zeta\sqrt{\zeta^21})\omega_nt}+\frac{\zeta\sqrt{\zeta^21}}{2\sqrt{\zeta^21}}e^{(\zeta+\sqrt{\zeta^21})\omega_nt}\)。3.性能指标上升时间\(t_r\)：欠阻尼时，\(t_r=\frac{\pi\beta}{\omega_d}\)，其中\(\beta=\arctan\frac{\sqrt{1\zeta^2}}{\zeta}\)。峰值时间\(t_p\)：欠阻尼时，\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\)。调节时间\(t_s\)：欠阻尼时，\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}\)（\(\pm5\%\)）或\(t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}\)（\(\pm2\%\)）。超调量\(M_p\)：欠阻尼时，\(M_p=e^{\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1\zeta^2}}}\times100\%\)。超调量反映了系统的相对稳定性，\(\zeta\)越小，超调量越大。稳态误差\(e_{ss}\)：在单位阶跃输入下，\(e_{ss}=0\)；在单位斜坡输入下，\(e_{ss}=\frac{2\zeta}{\omega_n}\)。

（四）稳态误差分析1.系统类型0型系统：其开环传递函数中积分环节个数为0，在单位阶跃输入下，稳态误差为常数。I型系统：其开环传递函数中有1个积分环节，在单位阶跃输入下，稳态误差为0；在单位斜坡输入下，稳态误差为常数。II型系统：其开环传递函数中有2个积分环节，在单位阶跃输入和单位斜坡输入下，稳态误差均为0；在单位抛物线输入下，稳态误差为常数。2.稳态误差计算：根据系统类型和输入信号的形式，利用终值定理\(e_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}sE(s)\)计算稳态误差，其中\(E(s)\)为误差信号的拉普拉斯变换。

五、控制系统的频域分析

（一）频率特性1.定义：系统对不同频率正弦输入信号的响应特性称为频率特性。频率特性可以用传递函数\(G(s)\)中的\(s\)用\(j\omega\)代替得到，即\(G(j\omega)\)。2.表示方法幅频特性：\(A(\omega)=\vertG(j\omega)\vert\)，表示输出信号与输入信号的幅值比随频率的变化关系。相频特性：\(\varphi(\omega)=\angleG(j\omega)\)，表示输出信号与输入信号的相位差随频率的变化关系。

（二）典型环节的频率特性1.比例环节：\(G(s)=K\)，其频率特性为\(G(j\omega)=K\)，幅频特性\(A(\omega)=K\)，相频特性\(\varphi(\omega)=0\)。2.积分环节：\(G(s)=\frac{1}{s}\)，其频率特性为\(G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}\)，幅频特性\(A(\omega)=\frac{1}{\omega}\)，相频特性\(\varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\)。3.微分环节：\(G(s)=s\)，其频率特性为\(G(j\omega)=j\omega\)，幅频特性\(A(\omega)=\omega\)，相频特性\(\varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\)。4.惯性环节：\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，其频率特性为\(G(j\omega)=\frac{1}{1+jT\omega}\)，幅频特性\(A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+(T\omega)^2}}\)，相频特性\(\varphi(\omega)=\arctan(T\omega)\)。5.一阶微分环节：\(G(s)=Ts+1\)，其频率特性为\(G(j\omega)=1+jT\omega\)，幅频特性\(A(\omega)=\sqrt{1+(T\omega)^2}\)，相频特性\(\varphi(\omega)=\arctan(T\omega)\)。6.振荡环节：\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其频率特性