高中数学(沪教版)知识点梳理

高中数学知识点梳理

高一(上)知识点梳理

第一章集合与命题梳理

1.主要知识：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、

并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。

2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、

真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解

交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意

义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个

简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件

的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点

是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。

4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B,那么A是B的

子集，记作A.B.⑵相等的集合:如果A^B,且B^A,那么A=B.(3).真子集:

A=B且B中至少有一个元素不属于A,记作A^B.

5.集合的运算：(1)交集：AC\B={小GA且％eB}.

(2)并集：=(3)补集：CVA=eU^xA}.

6.充分条件、必要条件、充要条件

如果尸=>Q,那么P是Q的充分条件，Q是P的必栗条件。

如果尸OQ,那么P是Q的充要条件。也就是说，命题P与命题Q是等价命题。

有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。

2.数集有：自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R。

3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图

叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。

7充分条件与必要条件。

注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。

2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。

3.证明A是B的充票条件：（1）充分性的证明：AnB.（2）必要性的证明：

BnA.

4.原命题与它的逆否命题同真（假），因此它们是等价命题，逆命题与否

命题互为逆否命题。

第二章不等式

1.主要内容：不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式（组）的解法、

分时不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不

等式的解法、基本不等式、不等式的证明。

2.基本要求：掌握不等式的基本性质及常用的不等式的性质，掌握一元二次不

等式的解法，掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法，会解简单的无

理不等式和高次不等式，掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思

路，并会用这些方法证明简单的不等式。

3.重难点：重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法，基本不等式及

其证明。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法，解不等式的应用，比较

法、综合法、分析法证明简单的不等式。

不等式的基本性质：1.如果a>>c;那么a>c.

2.如果a>"刃口么a+c>c.

3.如果a>6,c>0,刃口么ac>6c:女口果a>b,c<0,刃口么ac<be.

4.如果a>>d,那么a+c>b+d.

5.如果a>Z?>0,c>d>0,那么ac>bd.

6.出口果a>Z?〉0,刃口么0<，<L.

ab

7.如果那么a”

8.出口果a>6〉0,刃口么y[a>\lb(n&N*,n>1).

一元二次不等式的解法：这个知识点很重要，可根据A与0的关系来求解，注意

解的区间的表示，不等式组也是一样。解分式不等式的方法就是将它转化为解整

式不等式。

两个基本不等式：1.对于任意实数a和仇有/+》222ab，当且仅当a=6时等号

成立。2.对任意正数a和瓦有..十.2疝,当且仅当a=b时等号

2

成立。我们把"一十"和疝分另U叫做正数a、人的算术平均数和几何平均数。

2

第三章函数的基本性质

1.主要内容：函数、函数的运算；函数的奇偶性、单调性、周期性、函数的最大

值或最小值。

2.基本要求：理解函数的概念，能使用函数的记号y=/(x)表示y是x的函数，会

求函数值/(a),会求简单函数的定义域和值域。理解函数运算意义，会求两

个函数的和与积。掌握函数奇偶性、单调性、周期性概念，会求一些简单函数

的最大值和最小值。

3.重难点：重点是函数关系的建立，函数奇偶性、单调性、周期性等的判定，以

及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。难点是求函数

的值域、最大值和最小值。

注意：(1)函数的运算中一定票考虑函数自变量的定义域，定义域会随着函数的运

算改变而改变。

⑵函数讲到奇偶性时其定义域一定要关于原点对称。

⑶偶函数的性质：/(x)=/(-x).

⑷奇函数的性质：/(X)=-/(-X).

⑸单调性和最值性。

(6)零点的概念，实际上，函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的解，也

就是函数y=/(x)的图像与x轴的交点的横坐标.

第四章施函数、指数函数和对数函数（上）

1.主要内容：赛函数的概念及其在（0,+00）内的单调性。指数函数及其性质，

2.基本要求：掌握幕函数的定义域及其性质，特别是在（0,+oo）内的单调性会画暴

函数的图像，掌握指数函数的图像及其性质。

3.重难点：重点是赛函数性质的探求，指数函数的图像和性质；难点是赛函数性

质的运用指数函数的单调性。

注意：1.露函数的定义：一般地，函数y=x*（左为常数，左eQ）叫做幕函数。

2.指数函数的定义：一般地，函数丁=优（。>0且。¥1）叫做指数函数。其

中x是自变量，函数的定义域是R.暴函数与指数函数的形式一定要区分开。

指数函数的性质：1.指数函数丁=相的函数值恒大于零.性质

2.指数函数y=/的图像经过点（0,1）.

3.函数丁=优（a>1）在（一oo,+oo）内是增函数；

函数y=优在（-00,+8）内是减函数.

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第四章赛函数、指数函数和对数函数（下）

1.主要知识：幕函数的概念及其在（0,+co）内的单调性。对数；反函数；指数函数、

对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。

2.基本要求：掌握赛函数的定义域及其性质，特别是在（0,+oo）内的单调性。会画

赛函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。对数积、商、幕的运算性质，

掌握换底公式并会灵活运用，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像

上的关系。指数函数与对数函数互为反函数的结论，会解简单的指数方程和对

数方程。

3.重难点：幕函数性质的探求及其运用。对数的意义与运算性质，反函数的概念，

指数函数与对数函数的图像和性质（单调性）。

说明：①赛函数丁=%"（。€。,£是常数）的定义域。由常数?确定，但总有

（0,+co）0D.D不外乎是（0,+OQ）,[0,+。（-opO）0,+拈（-R）：四种。当

D=（-00,0）（0,+8或D=（-8,+oo时，赛函数y=x"是奇函数或偶函数，因此研

究幕函数的性质，主要是研究幕函数在（0too上的性质。当

7>0时，y=在（0,+8）是增函数；当7<00寸，y=x"在（0,+8）上是减函数，

赛函数的图像都经过（1,1）。

②指数函数y=ax（a>0,且a#1）有些同学常会与赛函数y=xa{aeQ,a是常数）

混淆。

③换底公式log》N=MN.（其中o>0,a^l,b>0,b^l,N>0）

log,涉

④函数y=/（x）的定义域是它的反函数y=/T（x）的值域；函数y=/（x）的值域

就是它的反函数y=/T（尤）的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线

y=x对"称。

⑤对数函数y=logaX（a>0,且a#l）与指数函数y=a*（a>0,且a#l）互为反函数。

⑥在解对数方程时必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程

变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。

第五章三角比

第1节任意角的三角比

1.主要内容：正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有重

合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的弧

长公式，扇形的面积公式。任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、

正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。终边相同的两个角的同名三角比

的关系，单位圆。

2.重难点：任意角的三角比的定义，由角的范围求三角比的取值范围和由三角比

的取值范围求角的范围。

第2节三角恒等式

1.主要内容：同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系）、诱导公式、

两角和与差的正弦、余弦和正切，两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、

余弦和正切。【理】三角比的积化和差与和差化积。

2.重难点：三角恒等变形，如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形，三角公式

的变式训练。

第3节解斜三角形

1.主要内容：已知三角形的两边及夹角，求三角形的面积。正弦定理、余弦定理、

扩充的正弦定理。解斜三角形。

2.重难点：正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。

第六章三角函数

第1节三角函数的图像与性质

1.主要内容：正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、

奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正弦

函数、余弦函数和正切函数的图像。

2.重难点：掌握正弦函数的概念性质和图像并领悟有关方法。在此基础上类似地

研究并掌握余弦函数和正切函数。研究三角函数式的性质，设法把已知函数表

达式转化为形如y=Asin（0x+°）（A>O,o>O）的表达式。

第2节反三角函数与最简三角方程

1.主栗内容：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程，简单的三

角方程。

2.重难点：掌握反正弦函数的概念并领悟其研究方法，在此基础上，研究并掌握

反余弦函数和反正切函数。含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。三角

函数的图像分析方法。

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第七章数列与数学归纳法

1.主要知识：第1节数列：数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项

与等比数列，等差数列与等比数列的通项公式。

第2节数学归纳法：数学归纳法的原理，数学归纳法的一般步骤，

数学归纳法的应用。

第3节数列的极限：数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用

的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。

2.基本要求：第1节数列：理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义，

会求等差中项与等比数列，理解数列通项公式的含义，掌握等差数列与等比数

列的通项公式。

第2节数学归纳法：会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的

等式，领会“归纳一猜想一论证”的思想方法。

第3节数列的极限：掌握数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，掌握无

穷等比数列前n项和的极限公式。

3.重难点：第1节数列：等差数列与等比数列的通项公式，数列的概念及由计算

数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式。

第2节数学归纳法：用数学归纳法证明命题的步骤，数学归纳法的应用及通过

归纳猜想命题的一般结论。

第3节数列的极限：无穷等比数列各项和公式的应用。

公式：(1)等差数列｛%｝的通项公式：an=ax+(n-l)d.

(2)等差数列｛a“｝的前n项和公式：S,=="q+也尸d.

(3)等比数列｛%｝的通项公式：a“=a@T.

(4)等比数列｛〃鹿｝的前n项和公式：Sn=n%(q=1)

s“=虹二g或s“=中I)

1-q1-q

(5)当0<1时=0,lim—=0(〃-8)

(6)无穷等比数列各项的和：S=心」(hl<1).

1-q

第八章平面向量的坐标表示

1.主要内容：平面向量及其运算，平面向量的坐标表示及其运算，基向量、平面

向量分解定理，平面向量的数量积及其坐标表示，平面向量的夹角，平面向量

的平行和垂直。

2.基本要求：理解平面向量的有关概念：向量的方向，向量的模，单位向量，位

置向量，负向量，向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角，向量

的加减法，向量的数乘，向量的数量积，一个向量在另一个向量上的投影等。

掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标表示方法，

线段的定比分点公式和中点公式。会判别两个向量的平行关系和垂直关系，会

运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。理解基向量和

平面向量分解定理。

3.重难点：重点是向量的数量积，向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角。难

点是向量的夹角的概念和向量的数量积。

+AX2

X—

注意：(1)有向线段的定比分点的坐标公式：11+，(2^-1)

■+仪

1+2

(2)向量〉与向蓟的夹角6的取值范围是0＜。＜了.

(3)向量a与向量族的数量积：a»b=abcos0

(4)向量a与向量垂直的充要条件是：a»b=0

(5)向量a=(x,y)的模的计算公式：a=+/.

第九章矩阵和行列式初步

1.主要内容：矩阵及矩阵有关运算，二阶行列式、三阶行列式，二元、三元线性

方程组的矩阵表示，二元、三元线性方程组的解的讨论。

2.基本要求：理解矩阵的意义，会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。掌握行列

式的意义，理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式，掌握二阶、三阶行列

式的对角线展开法则，掌握三阶行列式按照某一行(列)的代数余子式展开的

方法，会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、三

元线性方程组的解的情况进行讨论，会根据二元线性方程组的解的情况判断直

角坐标系平面内两条直线的位置关系。

3.重难点：重点是运用行列式研究二元、三元线性方程组，难点是对含字母系数

的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。

注意：（1）经过往年高考试题分析代数余子式这个知识点常考，一般是出在填空

题；⑵二元一次方程组，（*）的解的判别：（i）DHO,方程组

a2x+b2y=c2

（*）有唯一解.（ii）D=0：①D、、R,中至少有一个不为零，方程组（*）无

解；②。,=£\=0,方程组（*）有无穷多解。

第十章算法初步

1.算法的表述：主要有三种表述方法：（1）通常语言（2）程序框图（3）计算机

程序

2.算法的思想方法：主要是将接替过程数值化、程序化、机械化的方法。

3.高考每年必考一道填空题，学生大部分能做对，难度不大。

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第十一章坐标平面上的直线

1.主要知识：直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方

程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离，两直线的夹角以及两

平行线之间的距离。

2.基本要求：掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（例如：直

线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。熟练判断点与直线、直线与直线的

不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

3.重难点：初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示

进行转化，定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条件

求出直线方程。熟练运用待定系数法。

（1）图形与方程

图形方程

直线1ox+Z?y+c=0(〃,/?不同时为零)①

⑵直线的几何特征与二元一次方程的代数特征

几何特征代数特征

点A在直线上点A的坐标(x,y)是方程①的解。

直线1的法方向法向量〃=(a,b)

直线1平行的向量方向向量2=(b,—a)

倾斜角斜率k=--

b

⑶直线的已知条件与所选直线方程的形式

直线的已知条件所选择直线方程的形式

已知直线1经过点A(x,j)

00点方向式方程士

UV

且与向量)二(u,V)平行

已知直线/经过点A(x0,y0)

点法向式方程a(x—Xo)+Z?(y-y0)=O

且与向量〃二(a,b)垂直

已知直线1经过点4匹，必)

^殳式方程”+〃y+c=0

和点B(x2,y2)

已知直线/的斜率为k,且经

过点A(%,%)点斜式方程y-%=k(x-x0)

(4)两直线的位置关系：I.;y=ktx+Z?.(z=1,2).

位置关系系数关系

人与，相交

hwk2

与4平行kx=k2且"wb2

「与4重合kx=k2且bx=b2

4与，2垂直k]•k2——1

(5)点到直线的距离公式d=H+H+^l

^a2+b2

(6)两直线的夹角公式cosa=]+,匆

击J+.击2?+.

⑺直线的倾斜角0的范围是0＜々＜乃，当直线/的斜率不存在时，直线的倾斜工.

2

第十二章圆锥曲线

1.主要内容：直角坐标系中，曲线C是方程F(x,y)=0的曲线及方程F(x,y)

=0是曲线C的方程，圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线

的标准方程及它们的性质。

2.基本要求：理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是

否在曲线上及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这

些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用

直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们的位置关系并利用解析

法解决相应的几何问题。

3.重难点：建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，掌握代数研究

几何的方法，掌握把已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几

何问题。

4.椭圆、双曲线和抛物线及其标准方程表格

图椭圆双曲线抛物线

形

平面内到两个定点平面内与两个定点

片，心的距离和等于用,尸2的距离之差的绝平面上与一定点下和

几一条直线/（下不在/

常数2a（2«＞片区）对值等于常数

何上）的距离相等

2a（2a〈忻8|）

条

件

2222y2=2pxf=2py

j+J=1(。〉b〉0)—7—=1(。>°,b>0)

标a2b2ab

(P>。)

准其中02/其中02="+/

(p>o)

方

程

x轴，长轴为2a

对y轴，短轴为2bX轴，y轴，原点都对称X轴y轴

称

轴

(一〃,0)(。,0)(一〃,0)(4,0)

顶原点

(0,-/7)(01)

点

坐

标

(―Va1—b2,0)(―V〃2+/?2,0)

焦*。）”）

(V/—/?2,0)(7a2+b2,0)

点

坐

标

,b

渐y=±—x

a

近

线

方

程

P

准y=——

22

线

方

程

第十三章复数

1.主要内容：⑴复数的有关概念：复数，虚数，纯虚数，复数的实部和虚部，复

数的相等，复数的共机。（2）复平面的有关概念：复平面，实轴与虚轴，复数的

坐标表示，复数的向量表示，复数的模，复平面上两点的距离。（3）复数的运算：

加、减、乘、除、乘方，平方根，立方根（仅限于1的平方根的应用），复数

的积、商与乘法的模，实系数一元二次方程。

2.基本要求：掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，会进行复数的四则

运算法则，会求复数的平方根，会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数

的模，会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论=H的结论，

会求复数的模的最大值与最小值。会在复数集内解实系数一元二次方程。

3.重难点：复数的模，模是实数，复数的模的综合问题。

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第十四章空间直线与平面

1.主要知识：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法画

简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理，

等角定理，异面直线的概念，异面直线所成的角，空间直线与平面的位置关系，

空间平面与平面的位置关系。

2.基本要求：掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，理解异面直线所

成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。

3.重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、

平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线,

运用平面的基本性质进行说理证明问题。

知识结构图

平面的基本性质3个公理及3个推论

相交

第十五章简单几何体

图形的性质

‘多面体'

简单几何体＜.体积和表面积的计算

.旋转体,

直观图的画法

1.“斜二侧”画图法：图中的x轴、y轴、z轴分别表示现实中的前后方向、左

右方向、铅垂方向。现实中1cm长的线段，在x轴、y轴、z轴方向上的直

观图中的长度分别是0.5cm、1cm、1cm.

2.祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积相

等则这两空间图形的体积必然相等。

3.多面体和旋转体共同性质和度量公式:

多面体旋转体主要特征体积

柱体棱柱圆柱侧棱或母线平行，两底面平行S-h

锥体棱锥圆锥侧棱或母线共点，只有一个底面-Sh

3

43

球球球球面上的点到球心的距离相等—7vr

3

4.设几何体的底面周长为c(有两个不同底面时，周长分别记为q,c2),母线

或斜高长为h.

rrr^

(1)圆柱和直棱柱的表面积分别为％桂=仝一+c〃，S百=c"+地面面积X2

(2)圆锥和正棱锥的表面积分别为S阊椎=71c,S正+底面面积

lEjts2儿2

(3)半径为;■•的球的表面积为S球=力疗？.

5.球面距离：通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。

第十六章排列组合和二项式定理

1.乘法原理：如果完成一件事需栗〃个步骤，第1步有叫种不同的方法，第2

步有机2种不同的方法，...，第〃步有外种不同的方法，那么完成这件事

共

有N=m1m2…加”种不同的方法。

2.加法原理：如果完成一件事有〃类办法，在第1类办法中有吗种不同的方法,

在第2类办法中有机2种不同的方法，，在第n类办法中有“种不同的

方

法，那么完成这件事共有N=77R+牡---F也种不同的方法。

3.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(mW〃)个元素，按一定的次序排成

一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4.排列数公式：P；=w(n-l)(n-2)---(«-m+l).

特别地：£：="("—1)(〃—2)……3-2-1=