辽宁省鞍山市2023届高三下学期第一次模拟联考数学试题 附答案

2023年度高三第一次模拟考试数学试卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（）A．-2 B．-1 C．1 D．22．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．3．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了（，1，2，…）是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算，不是质数．现设（，2，…），表示数列的前n项和，若：，则（）A．5 B．7 C．6 D．84．已知平面向量与的夹角为60°，，，则的值为（）A． B．2 C．4 D．5．已知，则（）A． B． C． D．6．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有（）A．50种 B．60种 C．80种 D．100种7．已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为2π，那么该圆锥的体积是（）A． B． C．π D．8．函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（）A．4 B．2 C．1 D．0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元10．已知函数（，）的最小正周期为π，且的图象过点，则下列结论中正确的是（）A．的最大值为B．的图象一条对称轴为C．在上单调递减D．把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象11．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段，为直径的圆经过点M，则（）A．双曲线C的渐近线方程为B．以线段为直径的圆的方程为C．点M的横坐标为2或-2D．的面积为12．如图所示，从一个半径为（单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥P-ABCD，则以下说法正确的是（）A．四棱锥P-ABCD的体积是m3B．四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是8πm3C．异面直线PA与CD所成角的大小为60°D．二面角A-PB-C所成角的余弦值为第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，常数项是______；14．若函数的图象在点处的切线方程为，则实数______；15．若正实数a，b满足，则的最小值为______；16．已知椭圆C：，（）的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为．（1）求AB的长；（2）求外接圆的面积．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/cm160166172173173182体重/kg445055555664根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高（单位：cm）的数据绘制成如图的茎叶图．①估计体重超过60kg的频率P，②视频率为概率，从抽出的10名男生中再选2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，为等边三角形，且面底面ABCD．（1）若M为BC中点，求证：；（2）求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．22．（本小题满分12分）已知函数（，）．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．2022-2023学年度下学期第一次模拟考试高三数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DACBACDB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9101112ABCACCDBCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．-6；14．﹣2；15．5；16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）解（1）∵，∴，∴是以2为公差的等差数列，…………（2分）∵，∴，即，解得，∴…………（5分）（2）∵，∴． …………（10分）18．（本小题满分12分）解（1）因为，所以，又，所以，又因，所以为等边三角形，故，由，可得，故，解得或6；…………（6分）（2）由（1）得：当时，，则，所以，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，所以外接圆的面积为，当时，，则，所以，同理外接圆的面积为，综上所述，外接圆的面积为．…………（12分）19．（本小题满分12分）解（1）依题意可知，∵，，∴，故关于的线性回归方程为．…………（6分）（2）令，得，故这10位男生的体重有3位体重超过60kg，X的可能取值为0，1，2，，，，则X的分布列为：X012P∴．…………（12分） 20．（本小题满分12分）解（1）取AD中点O，连接OM．因为在梯形ABCD中，O，M分别为AD，BC的中点，所以，又，所以．因为为等边三角形，故，又面底面ABCD，面面，面ADP，故底面ABCD．因为面ABCD，所以．又因为，所以面POM，而面POM，故．…………（6分）（2）由（1）可知，以O为坐标原点，以向量，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，设为平面PAD的一个法向量，则，即，令，则．设为平面PBC的一个法向量，则有则，即，令，则．于是，因为由图可知面PAD与面PBC所成的二面角为锐角，所以面PAD与面PBC所成的二面角的余弦值为．………（12分）21．（本小题满分12分）解（1）由题意可设抛物线方程为，､，由．可得，即．解得抛物线方程为：．…………（6分）（2）设直线l：，，，由联立得，．则．直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得．以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为．令．则．即，解得或．即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，…………（12分）22．（本小题满分12分）解（1）该函数的定义域为，，…………（2分）①当时，恒成立，函数的递增区间为；②当时，令，解得或，所以函数的递增区间为，递减区间为，