山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年第一学期期末考试九年级数学试卷（时间：120分钟满分120分）第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.9的平方根是（）A3 B.9 C. D.2.苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.下列图形中，不是正方体展开图的是（）A. B.C. D.4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.5.如图，直线，的顶点在直线上，且．若，，则的度数为（）A. B. C. D.6.谷子，古称稷、粟，亦称梁，谷穗一般成熟后呈金黄色，卵圆形籽实，粒小且多为黄色，去皮后俗称小米，山西就是谷物的故乡之一．某校学生小坤在一块谷子试验田中随机抽取了10棵成熟期的谷子，测量其谷穗长度，并制成如下统计表．谷穗编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩谷穗长度/cm16172019182020172118则关于谷穗长度这组数据的众数和中位数分别是（）A.17，18 B.18，19 C.20， D.20，187.如图，点，分别是的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（）A. B. C. D.8.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．算筹有纵式和横式两种，如图（1）是利用算筹表示1-9这9个数字．规定个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．如：图（2）所示的算筹表示128．则图（3）所示的算筹表示的数是（）A.5423 B.3245 C.7649 D.94679.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（）A， B.，C.， D.，10.某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（）A. B. C. D.第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.写出一个比3大且比小的无理数________．12.不等式组的解集是______．13.如图，四边形是正方形，点是反比例函数图象上一点，若点A的坐标是，则______．14.如图，动点从点出发，每次跳跃随机绕正五边形顺时针或逆时针跳动1步或2步（每步长与长相等），则点跳跃两次后，恰好落在点处的概率为______．15.如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为______．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16（1）计算：．（2）化简：．17.在活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆上的点处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，质量为，右端处挂有3个钩码，每个钩码质量是．已知，若使轻质木杆水平位置平衡，则动力臂的长是多少？（温馨提示：动力动力臂阻力阻力臂）18.在校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校3500名学生最喜爱的艺术节目类型，学校节目策划组设计了如下的调查问卷，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图和统计表（均不完整）．“校园艺术节”最喜爱的艺术节目调查问卷请在下列选项中选择您最喜爱的艺术节目，在其后的“（）”内打“√”，非常感谢您的参与（每名同学必须选择且只能选择一类）．A．歌曲类节目（）B．舞蹈类节目（）C．乐器类节目（）D．课本剧节目（）节目类型歌曲舞蹈乐器课本剧人数282032请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）统计表中，扇形统计图中课本剧所对应的扇形圆心角的度数为；（2）请补全统计图；（3）请估计该校3500名学生中对舞蹈类节目最喜爱的学生有多少人；（4）学校节目策划组要根据以上调查报告合理编排节目，假如你是该策划组的成员，请结合以上调查数据写出一条合理化建议．19.如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，）20.为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同．（1）求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元．（2）该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？21.阅读以下材料，并完成相应的任务．定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．任务：（1）如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．（2）如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．①求证：点是的中点．②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．22.综合与实践折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，．【问题解决】（1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长．（2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时：试判断四边形的形状，并说明理由；求线段的长．【拓展延伸】（3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：）23.综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）点是直线下方抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标．（3）点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年第一学期期末考试九年级数学试卷（时间：120分钟满分120分）第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.9的平方根是（）A.3 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．直接利用平方根的意义进行求解即可．【详解】解：，∴9的平方根是．故选：C．2.苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：数据218000000用科学记数法表示为；故选B．【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．3.下列图形中，不是正方体展开图的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查几何体的平面展开图，熟练掌握几何体的平面展开图是解题的关键．由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【详解】根据正方体的展开图可知，只有D选项的图形不能还原成一个正方体．故选：D．4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据整式的加减，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方解答即可．【详解】解：A.，此选项错误；不符合题意；B.，此选项错误；不符合题意；C.，此选项正确，符合题意；D.，此选项错误；不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减，多项式乘以多项式，单项式除以单项式，积的乘方，平方差公式，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．5.如图，直线，的顶点在直线上，且．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线的性质，先由三角形内角和定理得，再由外角的性质得，再由平行线的性质得，最后由可得答案．【详解】解：如图，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：C．6.谷子，古称稷、粟，亦称梁，谷穗一般成熟后呈金黄色，卵圆形籽实，粒小且多为黄色，去皮后俗称小米，山西就是谷物的故乡之一．某校学生小坤在一块谷子试验田中随机抽取了10棵成熟期的谷子，测量其谷穗长度，并制成如下统计表．谷穗编号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩谷穗长度/cm16172019182020172118则关于谷穗长度这组数据的众数和中位数分别是（）A.17，18 B.18，19 C.20， D.20，18【答案】C【解析】【分析】本题考查的是众数，中位数的含义，掌握“求解一组数据的众数，中位数”是解本题的关键．分别计算这一组数据的众数，中位数，从而可得答案．【详解】解：随机抽取了10棵成熟期的谷子，测量其谷穗长度，按照从小到大的顺序排列后为：16，17，17，18，18，19，20，20，20，21；第5个，第6个数据分别为18，19，所以中位数是；出现次数最多的数据是20，所以众数是，故选：C7.如图，点，分别是的边，的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接，，经测量得，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟悉掌握尺规作图和相关性质定理．根据题干描述得知为线段的垂直平分线，即是斜边上的中线，，是的中位线，．【详解】解：根据题意可知：为线段的垂直平分线，点是线段的中点，，是直角三角形，∴是斜边上的中线，，∵点，分别是的边，的中点，∴是的中位线，．故答案为：．8.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．算筹有纵式和横式两种，如图（1）是利用算筹表示1-9这9个数字．规定个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．如：图（2）所示的算筹表示128．则图（3）所示的算筹表示的数是（）A.5423 B.3245 C.7649 D.9467【答案】C【解析】【分析】根据提供的数字表示方法，结合数位解答即可．本题考查了数的认识，正确认识数的表示是解题的关键．【详解】解：根据题意，千位上数字是7，百位上数字是6，十位上的数字是4，各位上的数字是9，于是得到一个四位数7649，故选：C．9.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律．根据“上加下减，左加右减”的原则，求出平移前后的二次函数的解析式，即可解答．【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为，所以，，，故选：A．10.某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．【详解】如图，连接，，交于点，∵，∴是直径，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴门洞的圆弧所对的圆心角为，∴改建后门洞的圆弧长是(m)，故选：C【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.写出一个比3大且比小的无理数________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据无理数的意义，利用3和的平方作答即可，答案不是唯一的．【详解】∵，，∴，∴比3大且比小的无理数可以是，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了无理数、实数大小比较，熟练掌握实数大小比较是解题原则．12.不等式组的解集是______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：由①得，，由②得，，∴原不等式组的解集为：，故答案为：．13.如图，四边形是正方形，点是反比例函数图象上一点，若点A的坐标是，则______．【答案】3【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何综合，涉及求反比例函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、坐标与图形等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．过A作轴于E，过C作交延长线于F，利用正方形的性质和全等三角形的判定证明，利用坐标与图形性质得到，，进而求得点C坐标为，利用待定系数法求解k值即可．【详解】解：过A作轴于E，过C作交延长线于F，则轴，，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，，∵点A的坐标是，∴，，∴点C坐标，∵点是反比例函数图象上一点，∴，故答案为：3．14.如图，动点从点出发，每次跳跃随机绕正五边形顺时针或逆时针跳动1步或2步（每步长与长相等），则点跳跃两次后，恰好落在点处的概率为______．【答案】【解析】【分析】画出树状图，找出符合结果的个数，用公式即可求解．本题考查了用画树状图求概率，掌握解法是解题的关键．【详解】解：画树状图得共有种等可能结果，点跳跃两次后，恰好落在点处有种结果，；故答案为：．15.如图，在中，，，点在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点，连接．若，，则的长为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．根据题意证明，可得，求出，，在中，由勾股定理得：，所以，证明可得，设，则，所以，在中，由勾股定理得：，即，解出的值，即可得到答案．【详解】解：由题意知，，又，，，又，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：（舍去），，，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16（1）计算：．（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合计算，分式的混合计算，零指数幂．（1）先根据数的乘方，绝对值的性质及开方法则，零指数幂分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；（2）先把除法化为乘法，再约分即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式．17.在活动课上，兴趣小组同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆上的点处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，质量为，右端处挂有3个钩码，每个钩码质量是．已知，若使轻质木杆水平位置平衡，则动力臂的长是多少？（温馨提示：动力动力臂阻力阻力臂）【答案】动力臂的长为【解析】【分析】设的长为，则的长为，根据杠杆平衡条件，构建一元一次方程，解答即可．本题考查了数学与物理的跨学科综合，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．【详解】解：设的长为，则的长为．根据题意，得，整理，得，解得，即．答：动力臂的长为．18.在校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校3500名学生最喜爱的艺术节目类型，学校节目策划组设计了如下的调查问卷，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图和统计表（均不完整）．“校园艺术节”最喜爱的艺术节目调查问卷请在下列选项中选择您最喜爱的艺术节目，在其后的“（）”内打“√”，非常感谢您的参与（每名同学必须选择且只能选择一类）．A．歌曲类节目（）B．舞蹈类节目（）C．乐器类节目（）D．课本剧节目（）节目类型歌曲舞蹈乐器课本剧人数282032请根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）统计表中，扇形统计图中课本剧所对应的扇形圆心角的度数为；（2）请补全统计图；（3）请估计该校3500名学生中对舞蹈类节目最喜爱的学生有多少人；（4）学校节目策划组要根据以上调查报告合理编排节目，假如你是该策划组的成员，请结合以上调查数据写出一条合理化建议．【答案】（1）20，（2）见解析（3）700人（4）从调查报告中可知，喜欢课本剧节目的同学最多，所以可以适当多安排几个课本剧节目【解析】【分析】本题考查了统计图表的综合应用，包括根据部分数据求总体、计算占比和圆心角度数、补全图表以及利用样本估计总体等知识，解题关键在于熟练掌握统计量之间的关系，通过已知数据准确计算未知数据．（1）根据喜爱歌曲类节目人数除以占比即可得出总人数，用总人数减去其余三项即可得出m的值，用乘以课本剧B社团的占比即可求出对应的圆心角度数．（2）分别求出课本剧和舞蹈的占比，然后补全条形分布即可．（3）用样本估计总体即可得出结论．（4）根据各类节目的占比提出建议即可．【小问1详解】解：，，课本剧所对应的扇形圆心角的度数：．故答案为：20，；【小问2详解】舞蹈：；课本剧：；补全统计图如下．【小问3详解】（人）．答：估计该校3500名学生中对舞蹈类节目最喜爱的学生有700人．【小问4详解】从调查报告中可知，因为喜欢课本剧和歌曲类节目的学生相对较多，可以适当增加课本剧和歌曲类节目的数量和表演形式；同时，也不能忽视舞蹈和乐器类节目，可以通过创新表演方式来吸引更多学生的关注，使艺术节节目更加丰富多样，满足不同学生的兴趣需求．（答案不唯一）19.如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，）【答案】，两点之间的距离约为米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．【详解】解：如图，延长交于点，则，在中，，，，，，，，在中，，，，答：，两点之间的距离约为米．20.为建设新农村，某村从某厂商购进甲、乙两种太阳能路灯．已知每盏甲种路灯的价格比每盏乙种路灯的价格贵80元，用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同．（1）求甲、乙两种路灯每盏的价格分别是多少元．（2）该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏．为支持新农村建设，该厂商对两种路灯进行了优惠：甲种路灯每盏降价50元，乙种路灯打九折．若要求甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半，则购买这批路灯最少需要花费多少元？【答案】（1）乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元（2）购买这批路灯最少需要花费元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和一次函数解析式是解此题的关键．（1）设乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元，根据“用12000元购买甲种路灯的数量恰好与用10000元购买乙种路灯的数量相同”列出分式方程，解方程即可得出答案；（2）设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路程盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得出关于的关系式，再根据“甲种路灯的数量不得少于乙种路灯数量的一半”求出的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得出答案．【小问1详解】解：设乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合实际，∴，∴乙种路灯每盏的价格为元，则甲种路灯每盏的价格为元；【小问2详解】解：设购买这批路灯花费元，其中购买甲种路程盏，则购买乙种路灯盏，由题意得：，由题意得：，解得：，∵，∴随着的增大而增大，∴当时，取最小值，最小值为，∴购买这批路灯最少需要花费元．21.阅读以下材料，并完成相应的任务．定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”．例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．任务：（1）如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．（2）如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．①求证：点是的中点．②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【解析】【分析】（1）过点A作的垂线交与点D即可．根据，由相似三角形性质即可得出．（2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，再根据中顶点的定义得出，进而可得出．②连接，根据，得出是的直径，且为10，再根据勾股定理得出，再得出，再根据正弦的定义即可求解．【小问1详解】解：点如图（1）所示．【小问2详解】解：①证明：如图（2），连接．，，，，．点是中边的中顶点，，，，即点是的中点．②如图（2），连接．，是的直径，．由①可知点是的中点，，．是的切线，，．，．【点睛】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的计算等知识，掌握“中顶点”的定义是解题的关键．22.综合与实践折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，．【问题解决】（1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长．（2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时：试判断四边形的形状，并说明理由；求线段的长．【拓展延伸】（3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：）【答案】（1）（2）四边形是平行四边形，见解析（3）与的数量关系