数学：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案

数学：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解并掌握基本初等函数的导数公式。熟练掌握导数的运算法则。能够运用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数。2.过程与方法目标通过对基本初等函数导数公式的推导，培养学生的逻辑推理能力。在运用导数运算法则求导的过程中，提高学生的运算能力和解题技巧。经历从特殊到一般的归纳过程，培养学生的归纳总结能力。3.情感态度与价值观目标让学生体会数学的严谨性和科学性，培养学生对数学的兴趣。通过合作学习，培养学生的团队协作精神。

二、教学重难点1.教学重点基本初等函数的导数公式。导数的运算法则。利用公式和法则求函数的导数。2.教学难点基本初等函数导数公式的推导。导数运算法则的综合运用。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过回顾上节课所学的导数的定义，提问学生：如何求函数\(y=x^2\)在\(x=1\)处的导数？引导学生利用导数定义进行求解，从而引出本节课要学习的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，这样可以让学生感受到新知识与旧知识之间的联系，激发学生的学习兴趣。

（二）讲解新课（30分钟）1.基本初等函数的导数公式常数函数的导数设\(y=C\)（\(C\)为常数），根据导数的定义\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}\)，因为\(\Deltay=CC=0\)，所以\(y^\prime=0\)，即\((C)^\prime=0\)。幂函数的导数设\(y=x^n\)（\(n\inQ\)），根据导数定义\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^nx^n}{\Deltax}\)。利用二项式定理\((a+b)^n=a^n+na^{n1}b+\cdots+b^n\)将\((x+\Deltax)^n\)展开得：\((x+\Deltax)^n=x^n+nx^{n1}\Deltax+\cdots+(\Deltax)^n\)则\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{x^n+nx^{n1}\Deltax+\cdots+(\Deltax)^nx^n}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}(nx^{n1}+\cdots+(\Deltax)^{n1})\)当\(\Deltax\to0\)时，后面含\(\Deltax\)的项都趋于\(0\)，所以\(y^\prime=nx^{n1}\)，即\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)。正弦函数的导数设\(y=\sinx\)，根据导数定义\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\sin(x+\Deltax)\sinx}{\Deltax}\)。利用三角函数的和角公式\(\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB\)，可得：\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\sinx\cos\Deltax+\cosx\sin\Deltax\sinx}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\left(\sinx\frac{\cos\Deltax1}{\Deltax}+\cosx\frac{\sin\Deltax}{\Deltax}\right)\)因为\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\cos\Deltax1}{\Deltax}=0\)，\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\sin\Deltax}{\Deltax}=1\)，所以\(y^\prime=\cosx\)，即\((\sinx)^\prime=\cosx\)。余弦函数的导数设\(y=\cosx\)，同理可得\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\cos(x+\Deltax)\cosx}{\Deltax}\)。利用三角函数的和角公式\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)，经过化简可得\(y^\prime=\sinx\)，即\((\cosx)^\prime=\sinx\)。指数函数的导数设\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），根据导数定义\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{a^{x+\Deltax}a^x}{\Deltax}\)。\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{a^x(a^{\Deltax}1)}{\Deltax}\)令\(t=a^{\Deltax}1\)，则\(\Deltax=\log_a(1+t)\)，当\(\Deltax\to0\)时，\(t\to0\)。所以\(y^\prime=\lim\limits_{t\to0}\frac{a^x\cdott}{\log_a(1+t)}\)\(=a^x\lim\limits_{t\to0}\frac{1}{\frac{\log_a(1+t)}{t}}\)因为\(\lim\limits_{t\to0}\frac{\log_a(1+t)}{t}=\frac{1}{\lna}\)，所以\(y^\prime=a^x\lna\)，即\((a^x)^\prime=a^x\lna\)。特别地，当\(a=e\)时，\((e^x)^\prime=e^x\)。对数函数的导数设\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），根据导数定义\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\log_a(x+\Deltax)\log_ax}{\Deltax}\)。\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\log_a\frac{x+\Deltax}{x}}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\log_a(1+\frac{\Deltax}{x})}{\Deltax}\)令\(t=\frac{\Deltax}{x}\)，则\(\Deltax=xt\)，当\(\Deltax\to0\)时，\(t\to0\)。所以\(y^\prime=\lim\limits_{t\to0}\frac{\log_a(1+t)}{xt}\)\(=\frac{1}{x}\lim\limits_{t\to0}\frac{\log_a(1+t)}{t}\)因为\(\lim\limits_{t\to0}\frac{\log_a(1+t)}{t}=\frac{1}{\lna}\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{x\lna}\)，即\((\log_ax)^\prime=\frac{1}{x\lna}\)。特别地，当\(a=e\)时，\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)。

通过详细推导基本初等函数的导数公式，让学生明白公式的由来，加深对公式的理解和记忆。

2.导数的运算法则法则1：两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导数的和（差），即\((u\pmv)^\prime=u^\prime\pmv^\prime\)。证明：设\(y=u(x)\pmv(x)\)，则\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{[u(x+\Deltax)\pmv(x+\Deltax)][u(x)\pmv(x)]}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)u(x)}{\Deltax}\pm\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{v(x+\Deltax)v(x)}{\Deltax}=u^\prime\pmv^\prime\)法则2：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)。证明：设\(y=u(x)v(x)\)，则\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)u(x)v(x)}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)v(x+\Deltax)u(x)v(x+\Deltax)+u(x)v(x+\Deltax)u(x)v(x)}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\left[v(x+\Deltax)\frac{u(x+\Deltax)u(x)}{\Deltax}+u(x)\frac{v(x+\Deltax)v(x)}{\Deltax}\right]\)当\(\Deltax\to0\)时，\(v(x+\Deltax)\tov(x)\)，所以\(y^\prime=u^\primev+uv^\prime\)。法则3：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即\(\left(\frac{u}{v}\right)^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}(v\neq0)\)。证明：设\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），则\(y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\frac{u(x+\Deltax)}{v(x+\Deltax)}\frac{u(x)}{v(x)}}{\Deltax}\)\(=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{u(x+\Deltax)v(x)u(x)v(x+\Deltax)}{\Deltaxv(x)v(x+\Deltax)}\)经过化简可得\(y^\prime=\frac{u^\primevuv^\prime}{v^2}\)。

在讲解导数运算法则时，通过详细的证明过程，让学生理解法则的推导依据，为正确运用法则求导打下基础。

（三）例题讲解（20分钟）例1：求下列函数的导数（1）\(y=2x^33x^2+5x4\)解：根据导数的加法法则\(y^\prime=(2x^3)^\prime(3x^2)^\prime+(5x)^\prime(4)^\prime\)由基本初等函数的导数公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)及\((C)^\prime=0\)可得：\(y^\prime=2\times3x^23\times2x+5\times10=6x^26x+5\)

（2）\(y=x\sinx\)解：根据导数的乘法法则\(y^\prime=(x)^\prime\sinx+x(\sinx)^\prime\)由基本初等函数的导数公式\((x)^\prime=1\)，\((\sinx)^\prime=\cosx\)可得：\(y^\prime=1\times\sinx+x\times\cosx=\sinx+x\cosx\)

（3）\(y=\frac{\lnx}{x}\)解：根据导数的除法法则\(y^\prime=\frac{(\lnx)^\prime\cdotx\lnx\cdot(x)^\prime}{x^2}\)由基本初等函数的导数公式\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，\((x)^\prime=1\)可得：\(y^\prime=\frac{\frac{1}{x}\cdotx\lnx\cdot1}{x^2}=\frac{1\lnx}{x^2}\)

通过以上例题，让学生巩固基本初等函数的导数公式和导数运算法则，掌握求导的方法和步骤，提高学生运用知识解决问题的能力。

（四）课堂练习（15分钟）1.求下列函数的导数（1）\(y=3x^2+2x1\)（2）\(y=\cosx\cdote^x\)（3）\(y=\frac{e^x}{x}\)2.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)在\(x=1\)处的导数为\(3\)，且\(f(1)=1\)，求\(a\)，\(b\)的值。

让学生在课堂上进行练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予纠正，强化学生对所学知识的掌握程度。

（五）课堂小结（5分钟）引导学生回顾本节课所学内容：1.基本初等函数的导数公式，包括常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式。2.导数的运算法则，即和（差）、积、商的导数法则。3.运用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求函数的导数。

通过课堂小结，帮助学生梳理知识，形成知识体系，加深对重点内容的记忆。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材P81练习1、2、3。2.拓展作业：已知函数\(y=x^2\lnx\)，求\(y^\prime\)，并求曲线\(y=x