数列的概念-教案

数列的概念-教案一、教学目标1.知识与技能目标理解数列的概念，了解数列的表示方法。掌握数列通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式。了解数列是一种特殊的函数，体会数列与函数之间的关系。2.过程与方法目标通过对实例的分析，培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，提高学生的逻辑思维能力。通过数列通项公式的探究，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法。3.情感态度与价值观目标通过数学史的介绍，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学文化素养。在探究活动中，培养学生积极参与、勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点数列的概念和通项公式。理解数列与函数的关系。2.教学难点数列通项公式的推导与应用。理解数列是一种特殊的函数，体会其定义域的特殊性。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示图片：展示三角形数和正方形数的图片（课本P28图2.11）。三角形数：1，3，6，10，...正方形数：1，4，9，16，...2.提出问题：这些数有什么规律？它们与我们以前学过的数有什么不同？引导学生观察这些数的排列规律，从而引出本节课的主题数列。

（二）讲解新课（25分钟）1.数列的概念引导学生观察导入部分的三角形数和正方形数，分析它们的共同特点：都是按照一定顺序排列的一列数。给出数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列的一般形式可以写成\(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\cdots\)，简记为\(\{a_{n}\}\)。其中\(a_{1}\)叫做数列\(\{a_{n}\}\)的第1项（或首项），\(a_{2}\)叫做第2项，\(\cdots\)，\(a_{n}\)叫做第\(n\)项。强调数列的有序性：数列与数集不同，数集中的元素是无序的、互异的，而数列中的项是有序的、可以重复的。2.数列的表示方法列举法：如上面提到的三角形数\(1,3,6,10,\cdots\)，正方形数\(1,4,9,16,\cdots\)，就是用列举法表示数列。让学生再举一些用列举法表示数列的例子，如数列\(2,4,6,8,10\)，可表示为\(\{2,4,6,8,10\}\)。通项公式法：引导学生观察数列\(2,4,6,8,10\)，分析其项与项数之间的关系：第1项\(2=2\times1\)，第2项\(4=2\times2\)，第3项\(6=2\times3\)，第4项\(8=2\times4\)，第5项\(10=2\times5\)。从而得出该数列的通项公式为\(a_{n}=2n\)（\(n\inN^{*}\)）。给出通项公式的定义：如果数列\(\{a_{n}\}\)的第\(n\)项\(a_{n}\)与\(n\)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。强调通项公式的作用：知道了数列的通项公式，就可以求出数列的任意一项。例如，对于数列\(\{a_{n}\}\)，若\(a_{n}=n^{2}\)，那么当\(n=3\)时，\(a_{3}=3^{2}=9\)。让学生思考如何根据数列的前几项写出通项公式：先观察数列各项的特点，寻找数字规律，再尝试用\(n\)表示出\(a_{n}\)。递推公式法：给出例子：已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)（\(n\inN^{*}\)）。解释递推公式的含义：如果已知数列\(\{a_{n}\}\)的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项\(a_{n}\)与它的前一项\(a_{n1}\)（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。让学生根据递推公式写出数列的前几项，进一步理解递推公式的作用。3.数列与函数的关系引导学生分析数列\(a_{n}=2n\)：当\(n=1\)时，\(a_{1}=2\)；当\(n=2\)时，\(a_{2}=4\)；当\(n=3\)时，\(a_{3}=6\)；\(\cdots\)可以把\(n\)看作自变量，\(a_{n}\)看作因变量，那么数列\(\{a_{n}\}\)就是从正整数集\(N^{*}\)（或它的有限子集\(\{1,2,\cdots,n\}\)）到实数集\(R\)的函数，其自变量是项数\(n\)，对应的函数值是数列的第\(n\)项\(a_{n}\)，记为\(a_{n}=f(n)\)。强调数列是一种特殊的函数：其特殊性在于定义域是正整数集\(N^{*}\)或它的有限子集\(\{1,2,\cdots,n\}\)。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1根据下面数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，写出它的前5项：（1）\(a_{n}=\frac{n}{n+1}\)（2）\(a_{n}=(1)^{n}\cdotn\)解：（1）当\(n=1\)时，\(a_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)；当\(n=2\)时，\(a_{2}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}\)；当\(n=3\)时，\(a_{3}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}\)；当\(n=4\)时，\(a_{4}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}\)；当\(n=5\)时，\(a_{5}=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}\)。（2）当\(n=1\)时，\(a_{1}=(1)^{1}\times1=1\)；当\(n=2\)时，\(a_{2}=(1)^{2}\times2=2\)；当\(n=3\)时，\(a_{3}=(1)^{3}\times3=3\)；当\(n=4\)时，\(a_{4}=(1)^{4}\times4=4\)；当\(n=5\)时，\(a_{5}=(1)^{5}\times5=5\)。讲解：通过代入不同的\(n\)值，利用通项公式求出数列的前几项，让学生熟悉通项公式的应用。2.例2已知数列\(\{a_{n}\}\)的前4项分别是下列各数，写出该数列的一个通项公式：（1）\(1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7}\)（2）\(2,0,2,0\)解：（1）观察数列各项的分子都是1，分母是从1开始的连续奇数，所以通项公式可以写为\(a_{n}=\frac{1}{2n1}\)。（2）方法一：可以看作是\(1+1,11,1+1,11\)，所以通项公式为\(a_{n}=1+(1)^{n+1}\)。方法二：也可以看作是\(2\times\frac{1+(1)^{n+1}}{2}\)，即\(a_{n}=2\times\frac{1+(1)^{n+1}}{2}\)。讲解：引导学生观察数列前几项的数字特征，寻找规律，从而写出通项公式。鼓励学生尝试不同的方法，培养学生的创新思维和归纳能力。3.例3已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，写出该数列的前5项，并推测其通项公式。解：已知\(a_{1}=1\)。由\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)可得：当\(n=1\)时，\(a_{2}=2a_{1}+1=2\times1+1=3\)；当\(n=2\)时，\(a_{3}=2a_{2}+1=2\times3+1=7\)；当\(n=3\)时，\(a_{4}=2a_{3}+1=2\times7+1=15\)；当\(n=4\)时，\(a_{5}=2a_{4}+1=2\times15+1=31\)。推测通项公式：观察\(1,3,7,15,31\)，可发现\(a_{1}=2^{1}1\)，\(a_{2}=2^{2}1\)，\(a_{3}=2^{3}1\)，\(a_{4}=2^{4}1\)，\(a_{5}=2^{5}1\)。所以推测通项公式为\(a_{n}=2^{n}1\)。讲解：先根据递推公式求出数列的前几项，再通过观察前几项的规律推测通项公式。让学生体会从特殊到一般的数学思想方法，以及递推公式与通项公式之间的联系。

（四）课堂练习（10分钟）1.根据下面数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，写出它的前4项：（1）\(a_{n}=n^{2}1\)（2）\(a_{n}=\frac{(1)^{n}}{n}\)2.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前4项分别是下列各数，写出该数列的一个通项公式：（1）\(3,5,7,9\)（2）\(\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20}\)3.已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=a_{n}+3\)，写出该数列的前5项，并推测其通项公式。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：数列的概念：按照一定顺序排列的一列数。数列的表示方法：列举法、通项公式法、递推公式法。数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集\(N^{*}\)或它的有限子集\(\{1,2,\cdots,n\}\)。2.强调重点知识：数列的通项公式是本节课的重点内容，它是研究数列的关键工具。要学会根据数列的前几项写出通项公式，以及利用通项公式解决相关问题。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本P33练习A组第1、2、3题。已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2a_{n}1\)，写出该数列的前5项，并推测其通项公式。2.拓展作业：查阅资料，了解数列在实际生活中的应用，并举例说明。思考：如何判断一个数列是否有通项公式？如果有，如何求出它的通项公式？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对数列的概念、表示方法以及与函数的关系有了初步的理解。在教学过程中，通过实例引入、问题引导等方