江西省赣州市南康中学2024-2025学年高二下学期第一次大考数学试题（含答案）

南康中学2024～2025学年度第二学期高二第一次大考数学试卷命题人：一、1．已知，下列数列是递增数列的是（

）A． B． C． D．2．（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.213．已知点关于轴的对称点为，则（）A．2 B． C． D．64．农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（

）A． B． C． D．5．已知为等差数列，则（

）A．126 B．144 C．162 D．1806．设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知点，若点满足，则点到直线的距离的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．78．若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平B．运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心C．相关系数越接近1，y与x相关的程度就越弱D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系10．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C． D．当取得最大值时，11．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（

）A．若，则四面体的体积为定值B．若，则点的轨迹为一段圆弧C．若的外心为，则为定值2D．若且，则存在点，使得的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中的系数为．13．已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则．14．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线的斜率为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知等比数列的公比，，．(1)求；(2)设，若，求．16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面．(1)求证：是棱的中点；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．在数列中，，.(1)证明：数列是等差数列.(2)求的通项公式.(3)若，记数列的前项和，求.18．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级．(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的分布列和数学期望．(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示．324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，．（i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；（ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率．参考公式与数据：①．②经验回归方程中，．③若随机变量，则．19．已知双曲线的离心率为2，且过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点），①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标；②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：．南康中学2024～2025学年度第二学期高二第一次大考数学参考答案题号1234567891011答案CADCCBDCBDBCABD5．C【详解】设等差数列的公差为d，由，解得，由，解得，所以，所以，所以6．B【详解】由椭圆，可知焦点，在轴上，且，所以，在上存在点，满足，在左右顶点时，取到最大值，只需在左右顶点时，，所以，所以，所以，解得，又椭圆的离心率小于1，所以的离心率的取值范围为.7．D【详解】令，由，可得，可得点的轨迹方程为，其中圆心，半径为2.而直线过定点，故距离的最大值为，8．C【详解】依题意，得，故只需考虑时，，．因为，只需要，即，整理得．令，则，所以对任意的恒成立，所以数列为递增数列，则，所以，即的取值范围为．9．BD【详解】解：对于A，根据正态曲线的几何特征，可知当不变时，即越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A错误；对于B，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心，故B正确；对于C，线性相关系数绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C错误；对于D，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D正确。10．BC【详解】设等差数列的公差为，由题意可得：，，即，，且，即B、C正确；因，故数列是递减数列，故A错误；因，，即当取得最大值时，，故D错误.11．ABD【详解】对A项，连接，故点在线段上，因为，故平面，所以到平面的距离为定值，又因为为定值，所以四面体的体积为定值，A对；对B项，如图，取中点，因为底面为一个内角的菱形，所以，以为原点建系如图，故，设，由可得，故点为以为圆心，为半径的圆落在正方形内的部分，设与圆交于点，因为，所以，故点轨迹的长度为，B对；对C项，如图，取中点，所以，故，C错；对D项，结合B项中建系，设，可得，所以，如图，设，在线段上取点，设，则，显然，连接使得共线，此时有最小值，故D对.12．【详解】，令，则，所以.13．9或18【详解】设等比数列的公比为，由，可得，即，解得或；当时，可得，又，所以；此时；当时，，可得，又，所以；此时；综上可得，或18.14．或【详解】如图，设因点关于轴对称的点为，故，因轴，是圆的直径，则，故轴，则.由可得，即得，也即.又，依题意，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，消去，得，则且，由，解得或，分别代入中，可得或，故直线的斜率为：或.15．【详解】（1）由题意得，所以.…6分（2）由（1）得，…7分所以，解得或（舍去）.…13分16．【详解】（1）取的中点，连接，又是的中点，则且，由在棱上，底面为矩形，则，故，由平面，平面且平面平面，则，所以为平行四边形，故，所以是的中点；…7分（2）平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，显然平面的一个法向量可以为，故，所以平面与平面夹角的余弦值；…15分17．【详解】（1）在数列中，由，得，则，而，即，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.…5分（2）由（1）得，则，即，所以的通项公式是.…10分（3）由（2）得，则，所以.…15分18．【详解】（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为，且，．X0123P…5分（2）（i）第一步：取对数．依题意，两边取对数，得，即．第二步：求经验回归方程．其中，由提供的参考数据，可知，又，故，由提供的参考数据，可得，故．当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498．…11分（ii）由（i）及提供的参考数据可知，又，即，可得，即，又，且，由正态分布的性质，得，记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则，所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865．…17分19．【详解】（1）由