2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(4,3)，则与向量a同向的单位向量的坐标为(

)A.(35,−45) B.(2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab=2sinAsinB，则△ABC的外接圆半径为(

)A.2 B.1 C.223.(2−3i)(3+i)的虚部为(

)A.9 B.−7 C.9i D.−7i4.已知函数f(x)=log12(x2A.(−∞,2) B.(2,+∞) C.(5,+∞) D.(−∞,−1)5.已知△ABC的外接圆的圆心为O，且2AO=AB+AC，|BC|=A.−13BC B.23BC 6.已知锐角θ满足2cos2θ=1+sin2θ，则tanθ=(

)A.13 B.12 C.2 7.已知tanθ=3，θ为第三象限角.复数z=cos(32A.i B.1+i C.−i D.1−i8.若a、b是小于180的正整数，且满足sin(a+b)°sina∘=sinA.2对 B.6对 C.8对 D.12对二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，且A.|a|=3 B.a⋅b=−12

C.a与b10.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+2b2A.△ABC一定是钝角三角形 B.2tanA+tanC=0

C.角B的最大值为π6 D.11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x∈R，都有f(x)≥f(−A.f(x)图象的对称中心为(kπ2−π6,1)k∈Z

B.f(x)在[−π12,π6]上的值域为[3+1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A=[−1,2]，B=(−∞,−p4)，且B⫋∁R13.若向量a,b满足|a|=3,|a−14.如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75°，则该座小山的海拔为______m；古塔AB的塔高为______m.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z满足：|z|=1+3i−z

(1)求复数z；

(2)求(1+i)216.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2=a2+b2−ab，cos2B=sinC．

(1)求B；

17.(本小题15分)

已知向量a=(2,−2),|b|=4，且(2a+b)⋅b=32．

(Ⅰ)求向量a与b的夹角；

(Ⅱ)求|2a−b|的值；18.(本小题17分)

已知P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点．

(Ⅰ)当AC=2CP时，用BA，BC表示BD，BP，并求BD⋅BP的值；

(Ⅱ)若|AP19.(本小题17分)

法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：

①当△ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O为费马点；

②当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．

请用以上知识解决下面的问题：

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为△ABC的费马点，且cos2A+cos2B−cos2C=1．

(1)求C；

(2)若c=4，求|MA|⋅|MB|+|MB|⋅|MC|+|MC|⋅|MA|的最大值；

(3)若参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.D

6.A

7.A

8.A

9.ACD

10.ACD

11.CD

12.[4,+∞)

13.314.475−253

15.解：(1)设复数z=a+bi，a，b∈R，

∵|z|=1+3i−z，∴|z|+z=1+3i，

∴a2+b2+a+bi=1+3i，

∴a2+b2+a=1b=3，解得a=−4b=316.解：(1)因为c2=a2+b2−ab，

所以cosC=a2+b2−c22ab=12，

因为C∈(0,π)，所以C=π3，

因为cos2B=sinC，所以cos2B=32，

因为0<B<2π3，所以0<2B<4π317.解：(Ⅰ)∵向量a=(2,−2),|b|=4，

∴|a|=4+4=22，

又(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=32，

∴2a⋅b+16=32，∴a⋅b=8，

∴cos<a，b>=a⋅b|a||b|=822×418.解：(Ⅰ)因为P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点，且AC=2CP，

所以BD=BM+MD=12BC+12MA=12BC+12(BA−BM)

=12BC+12(BA−12BC)=14BC+12BA，

BP=BC+CP=BC+12AC19.解：(1)∵cos2A+cos2B−cos2C=1，

∴1−2sin2A+1−2sin2B−1+2sin2C=1，

即sin2A+sin2B=sin2C，

由正弦定理得：a2+b2=c2，

∴C=90°．

(2)由(1)知C=90°，

∴△ABC的三个角都小于120°，

∵点M为△ABC的费马点，

∴∠AMB=∠BMC=∠CMA=120°，

由S△ABC=S△AMB+S△BMC+S△CMA得：

12ab=12|MA|⋅|MB|sin120°+12|MB|⋅|MC|sin120°+12|MC|⋅|MA|sin120°，

即ab=32(|MA|⋅|MB|+|MB|⋅|MC|+|MC|⋅|MA|)，

整理得|MA|⋅|MB|+