2024-2025学年湖南省长沙市平高松雅湖高级中学高二（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市平高松雅湖高级中学高二（下）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|x2−4x−5≤0}，B={−5,−3,−1,1,3}，则A∩B=A.{−3,−1} B.{1,3} C.{−1,1,3} D.{−5,−3,−1,1}2.在数列{an}中，若a1=1，aA.−6 B.1 C.3 D.43.已知a=log0.61.6，b=0.011.1，A.c>b>a B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c4.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为2π，且球心O到该截面的距离为2，则球O的表面积是(

)A.8π B.12π C.24π D.32π5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−2)=0，则不等式xf(x)>0的解集为(

)A.(−∞,−2)∪(2,+∞) B.(−2,0)∪(2,+∞)

C.(−∞,−2)∪(0,2) D.(−2,0)∪(0,2)6.函数f(x)=23cos2(πA.[−1,2] B.[−1,1] C.[1,2] D.[−2,2]7.过点P(2,1)作⊙O：x2+y2=1的切线PA，PB，切点分别为A.13 B.23 C.38.已知数列{bn}满足b1=2，bn−bn−1=2n(n≥2)，设数列{1bn}的前A.10 B.11 C.12 D.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，B(1,1,2)，C(2,1,1)，D(1,1,1)，则(

)A.AB⊥CD B.AC与BD夹角的余弦值为63

C.AC在BD上的投影向量为3BD D.点A到直线10.已知等比数列{an}的公比不为1，设{an}的前n项和为Sn，若a1=1，且A.a5=8a2 B.数列{Sn−11.已知A，B，C是抛物线W：y2=28x上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为P(m,n)，则(

)A.当m=9时，|AB|的最大值为32

B.当m=8时，|CP|+|CF|的最小值为22

C.当n=5时，直线AB的斜率为145

D.当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用0，1，2这三个数字组成一个三位数(每个数字只能用一次)，则这个三位数是偶数的概率为______．13.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l经过F214.如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为102,AF与BD交于点O,OA=5OH,M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bcosA+3acosB+ctanA=0．

(1)求A；

(2)若a=416.(本小题15分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是A1B1的中点，AA1=A1C1=3，A117.(本小题15分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=9，4Sn=an2+2an+m．

(1)证明：{an}为等差数列．

(2)18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为25，且离心率为23．

(1)求C的方程．

(2)过点E(5,0)作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点F(1,0)作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H19.(本小题17分)

在数列{an}中，若存在k(k≥2,k∈N)项之和等于{an}中的某一项，则称{an}是“k和数列”．

(1)若an=2n−1，判断{an}是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由．

(2)在正项数列{bn}中，b1=1，且∀n∈参考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.D

6.A

7.B

8.B

9.ABD

10.BCD

11.ACD

12.3413.1014.−18

15.解：(1)因为3bcosA+3acosB+ctanA=0，

由正弦定理可得：3(sinBcosA+cosAsinB)+sinCtanA=0，

即3sin(A+B)+sinCtanA=0，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)>0，

所以tanA=−3，而A∈(0,π)，

可得A=2π3；

(2)a=4，由余弦定理可得a16.(1)证明：连接A1C，交AC1于点D，连接MD，

因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，

所以四边形AA1C1C为矩形，所以D为A1C的中点，

又M是A1B1的中点，所以DM/​/B1C，

因为DM⊂平面AMC1，B1C⊄平面AMC1，

所以B1C/​/平面AMC1；

(2)解：过点A1在平面AB1C1内作A1P⊥A1C1，

因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以A1P，A1A，A1C1两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

又AA1=A1C1=3，A1B1=4，∠C1A1B1=π3，

则A1(0,0,0)，B1(23,2,0)，C117.(1)证明：由4Sn=an2+2an+m，可得4Sn+1=an+12+2an+1+m，

两式相减可得：4an+1=an+12−an2+2an+1−2an，

则an+12−an2=2(an+1+an)，即(an+1+an)(an+1−18.解：(1)设C的半焦距为c(c>0)，则b=5,ca=23.

∵a2=b2+c2，∴a=3,c=2,

故C的方程为x29+y25=1．

(2)设直线ST的方程为x=my+5，则直线GH的方程为x=my+1，

联立方程组5x2+9y2=45,x=my+5,消去x整理得(5m2+9)y2+50my+80=0，

由Δ=(50m)2−4(5m2+9)×80>0，得m2>165．

设S(x1,y1)T(x2,y2)19.解：(1){an}是“3和数列”，不是“4和数列”，理由如下：

因为an=2n−1，

所以a1+a2+a3=1+3+5=9，

又a5=9，

所以{an}是“3和数列”，

由通项公式可知，{an}中每一项均为奇数，

故{an}中的任意4项之和肯定为偶数，

与{an}中的任何一项均不相等，故{an}不是“4和数列”；

所以{an}是“3和数列”，不是“4和数列”；

(2)证明：①b1=1且∀n∈N∗，b2n=2bn2，

故b2=2b12=2，

若{bn}