第七章 专题十一 动量守恒中的四类典型模型

第七章动量守恒定律专题十一动量守恒中的四类典型模型Contents题型1子弹打木块模型题型2滑块＋弹簧模型题型3滑块＋斜(曲)面模型题型4滑块＋滑板模型练习帮练透好题精准分层01Loremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit.目录核心考点五年考情命题分析预测子弹打木块模型本专题是本章的难点，滑块＋弹簧模型和滑块＋滑板模

型是高考的热点.预计2025年高考会出现考查滑块＋滑板

模型的选择题或滑块＋弹簧模型的计算题.核心考点五年考情命题分析预测滑块＋弹簧模型2023：辽宁T15，浙江6月T18；2022：全国乙T25；2021：天津T10；2019：全国ⅢT25本专题是本章的难点，滑块＋弹簧模型和滑块＋滑板模

型是高考的热点.预计2025年高考会出现考查滑块＋滑板模型的选择题或滑块＋弹簧模型的计算题.核心考点五年考情命题分析预测滑块＋斜(曲)面模

型2023：湖南T15，山东T18本专题是本章的难点，滑块＋弹簧模型和滑块＋滑板模型是高考的热点.预计2025年高考会出现考查滑块＋滑板模型的选择题或滑块＋弹簧模型的计算题.滑块＋滑板模型2023：辽宁T15；2022：山东T18，河北T13题型1子弹打木块模型

1.模型图示2.模型特点(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒.(2)系统的机械能有损失.3.两种情境(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)动量守恒：mv0＝(m＋M)v.

(2)子弹穿透木块动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2.

1.[子弹未穿透木块/2024江苏淮安模拟]如图所示，质量为M＝0.45kg的木块静止于

光滑水平面上，一质量为m＝0.05kg的子弹以水平速度v0＝100m/s打入木块并停在

木块中，下列说法正确的是(

A

)A.子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为v＝10m/sB.子弹对木块做的功W＝25JC.木块对子弹做正功D.子弹打入木块过程中产生的热量Q＝175JA

2.[子弹穿透木块]如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980g的

匀质木块，现有一颗质量为20g的子弹以大小为300m/s的水平速度沿木块的中

心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动.已

知木块沿子弹运动方向的长度为10cm，子弹打进木块的深度为6cm.设木块对

子弹的阻力保持不变.(1)求子弹和木块的共同速度以及它们在此过程中所产生的内能.[答案]

6m/s

882J

[解析]

设子弹射入木块后与木块的共同速度为v，对子弹和木块组成的系统，由

动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v

(2)若子弹是以大小为400m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块

后能否射穿该木块？[答案]

能

题型2滑块＋弹簧模型模型图示

水平地面光滑模型特点(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力

的矢量和为零，则系统动量守恒；(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能

将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统

机械能守恒；(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动

能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)；(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模

型，相当于碰撞结束时)3.[滑块与弹簧连接/多选]如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两

物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上.现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹

簧，速度—时间图像如图乙，则有(

CD

)A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长C.两物块的质量之比为m1：m2＝1：2D.在t2时刻A与B的动能之比Ek1：Ek2＝1：8CD[解析]

由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且此时系统动能最小，

根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，而t3时刻

处于伸长状态，故A错误；结合图像弄清两物块的运动过程，开始时A逐渐减速，B

逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被

压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速为零，然后反向加速，

t2时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增

大，两物块均减速，在t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此

从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；根据动量守恒定律，可知t＝0

时刻和t＝t1时刻系统总动量相等，有m1v1＝(m1＋m2)v2，其中v1＝3m/s，v2＝1m/s，

解得m1：m2＝1：2，故C正确；在t2时刻A的速度为vA＝-1m/s，B的速度为vB＝2

m/s，根据m1：m2＝1：2，求出Ek1：Ek2＝1：8，故D正确.命题拓展命题条件不变，一题多设问下列说法不正确的是(

C

)A.t1～t2时间内B的加速度在减小B.t1和t3时刻弹簧的弹性势能相等C.t2时刻弹簧处于压缩状态D.t3时刻弹簧的弹性势能最大C[解析]

由v-t图像可知t1～t2时间内B的加速度在减小，A正确，不符合题意；t1和t3

时刻，A和B的速度均相等，则A和B系统的总动能相等，弹簧的弹性势能相等，B正

确，不符合题意；t2时刻，A和B的加速度均为零，说明弹簧弹力为零，则弹簧在t2时

刻处于原长状态，C错误，符合题意；t3时刻，A和B的速度相等，弹簧的弹性势能

最大，D正确，不符合题意.4.[滑块与弹簧不连接]如图所示，一木板放在光滑水平面上，木板的右端与一根沿

水平方向放置的轻质弹簧相连，弹簧的自由端在Q点.木板的上表面左端点P与Q点之

间是粗糙的，P、Q之间的距离为L，Q点右侧表面是光滑的.一质量为m＝0.2kg的滑

块(可视为质点)以水平速度v0＝3m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又

被弹回.已知木板质量M＝0.3kg，滑块与木板表面P、Q之间的动摩擦因数为μ＝

0.2，g＝10m/s2.(1)若L＝0.8m，求滑块滑上木板后的运动过程中弹簧的最大弹性势能；[答案]

0.22J

解得Ep＝0.22J(2)要使滑块既能挤压弹簧，最终又没有滑离木板，则木板上P、Q之间的距离L应在

什么范围内？[答案]

0.675m≤L＜1.35m

解得L2＝0.675m所以P、Q之间的距离L应满足0.675m≤L＜1.35m.题型3滑块＋斜(曲)面模型

模型图示

水平地面光滑、曲面光滑模型特点5.[滑块脱离曲面]如图所示，在光滑的水平地面上，静置一质量为m的四分之一光滑

圆弧滑块，圆弧半径为R，一质量也为m的小球，以水平速度v0自滑块的左端A处滑

上滑块，当二者共速时，小球刚好到达圆弧上端B.

若将小球的初速度增大为2v0，不

计空气阻力，则小球能达到距B点的最大高度为(

C

)A.RB.1.5RC.3RD.4RC

命题拓展情境不变，一题多设问以水平速度v0自滑块的左端A处滑上滑块，小球与滑块分离时的速度是多少？[答案]

0

(1)小球与物块碰撞前瞬间小球的速度v0；[答案]

v0＝2m/s

(2)小球与物块碰撞后瞬间物块的速度v1；

(3)圆弧轨道的半径R.

7.[滑块与斜面结合]如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧

一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面

3m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为

h＝0.3m(h小于斜面体的高度).已知小孩与滑板的总质量为m1＝30kg，冰块的质量

为m2＝10kg，小孩与滑板始终无相对运动.取重力加速度的大小g＝10m/s2.(1)求斜面体的质量；[答案]

20kg

[解析]

规定向左为正方向.冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速

度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3.对冰块与斜面体，由水平方向动量守恒

和机械能守恒定律得m2v0＝(m2＋m3)v

①

式中v0＝3m/s为冰块推出时的速度，联立①②式并代入题给数据得v＝1m/s，m3＝

20kg

③.(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？[答案]

不能，理由见解析[解析]

设小孩推出冰块后的速度为v1，对小孩与冰块，由动量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0

④代入数据得v1＝-1m/s

⑤设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，对冰块与斜面体，由动量守恒定律和

机械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3

⑥

联立③⑥⑦式并代入数据得v2＝-1m/s

⑧由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在小孩后

方，故冰块不能追上小孩.题型4滑块＋滑板模型示意图木板初速度为零且足够长木板有初速度且足够长，板块反向

地面光滑

地面光滑v-t图像

8.[滑块、滑板同向运动]如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑水平面上，

一个质量也为M的物块(可视为质点)以一定的初速度从左端冲上木板，如果长木板

是固定的，物块恰好停在木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上木板后在木

板上滑行的距离为(

C

)A.LC

9.[滑块、滑板反向运动]质量为M＝1.0kg的长木板A在光滑水平面上以v1＝0.5m/s的

速度向左运动，某时刻质量为m＝0.5kg的小木块B以v2＝4m/s的速度从左端向右滑

上长木板，经过时间t＝0.6s小木块B相对A静止，已知重力加速度g取10m/s2，求：(1)两者相对静止时的运动速度v；[答案]

1m/s，方向水平向右

[解析]

设水平向右为正方向从开始到相对静止，系统在水平方向动量守恒-Mv1＋mv2＝(M＋m)v解得v＝1m/s，方向水平向右.(3)小木块与长木板间的动摩擦因数μ.[答案]

0.5[解析]

长木板的动量变化量大小Δp＝Mv-(-Mv1)＝1.5kg·m/s.[解析]

对小木块B，根据动量定理得-μmgt＝mv-mv2解得μ＝0.5.(2)从木块滑上木板到相对木板静止的过程中，木板A的动量变化量的大小；[答案]

1.5kg·m/s

(1)开始时B、C间的距离；

(2)A最终离C右端的距离；

(3)从A冲上木板B到最终C静止的整个过程系统因摩擦产生的热量.

1.[滑块＋曲面/2023山东]如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形

轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上.作用在A上的水平外

力，使A与B以相同速度v0向右做匀速直线运动.当B的左端经过轨道末端时，从弧形

轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，

同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s.已知v0＝1m/s，v＝4m/s，mA＝mC＝1

kg，mB＝2kg，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数μ1＝0.1，C与B间动摩擦

因数μ2＝0.5，B足够长，使得C不会从B上滑下.B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计

碰撞时间，取重力加速度大小g＝10m/s2.12(1)求C下滑的高度H；[答案]

0.8m

(2)与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；

[解析]

设C滑上B以后，C的加速度大小为aC，B的加速度大小为a1，B、C共速时间为t1，s的最小值为s1，B、C共同的加速度大小为a2，经过t2时间A追上B，s的最大值为s2，

则由牛顿第二定律有μ2mCg＝mCaC解得aC＝5m/s2μ2mCg-μ1(mB＋mC)g＝mBa1解得a1＝1m/s212又v0＋a1t1＝v-aCt1解得t1＝0.5s

12(3)若s＝0.48m，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；[答案]

-6J

解得t3＝0.4s(另一解舍去)v1＝v-aCt3

解得W＝-6J12(4)若s＝0.48m，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物

体总动量的变化量Δp的大小.

[解析]

设B与P碰撞前瞬间的速度大小为v2，B与P碰撞后瞬间的速度为v3，B向左运动的加速度大小为a3，B向左运动时间t4与A相遇.设A、B碰撞前瞬间B的速度大小为v4；

A、B碰撞后瞬间，A的速度为v5，B的速度为v6，C的速度大小为v7，则由运动学公式

得v2＝v0＋a1t3解得v2＝1.4m/s由于P固定在地面上，B与P的碰撞为弹性碰撞，所以有v3＝v2＝1.4m/sB与P碰撞后向左运动的过程中，对B由牛顿第二定律得μ2mCg＋μ1(mB＋mC)g＝mBa312

以向右为正方向，A、B发生弹性碰撞，由动量守恒定律得mAv0-mBv4＝mAv5＋mBv612

即A、B碰撞后，A以速度v5向左运动，B以初速度v6向右运动

经分析可得，B、C最终静止，A最终以速度v5向左运动，故自C滑上B开始至三物体

达到平衡状态，这三个物体总动量的变化量为Δp＝mAv5-[(mA＋mB)v0＋mCv]

122.[滑块＋弹簧/2022全国乙]如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光

滑水平面上；物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰

撞结束，A、B的v-t图像如图(b)所示.已知从t＝0到t＝t0时间内，物块A运动的距离为

0.36v0t0.A、B

分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次

碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为θ(sinθ＝0.6)，

与水平面光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求

图(a)

图(b)12(1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；

12(2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；[答案]

0.768v0t0

[解析]

由图像知0～t0内物块B与物块A的位移差等于弹簧的最大压缩量，也就是题图中该段时间物块A、B图像所夹面积，物块A在0～t0时间内的位移SA＝0.36v0t0，即为

0～t0内，v-t图像中A线与t轴所夹面积.解法1在压缩弹簧的过程中，物块A、B所受弹簧弹力大小相等，方向相反，则物块A的加

速度始终是物块B加速度的5倍，有aA＝5aB若两者均做初速度为零的变速运动，则两者的位移满足SA＝5S'B12在图1中深灰色阴影面积为SA，浅灰色阴影面积为S'B.

最大压缩量为X＝1.2v0t0-SA-S'B＝0.768v0t0

图1

图212解法20～t0过程，由动量守恒定律有mvA＋5mvB＝(m＋5m)v0结合运动学知识有mSA＋5mSB＝6mv0t0解得

SB＝1.128v0t0(B在0～t0内的位移)最大压缩量为X＝SB-SA＝1.128v0t0-0.36v0t0＝0.768v0t012(3)物块A与斜面间的动摩擦因数.[答案]

0.45

12

121.[多选]如图所示，在光滑的水平面上放有两个小球A和B，mA＞mB，B球上固定一

轻质弹簧.A球以速率v去碰撞静止的B球，则(

BD

)A.A球的最小速率为零C.当弹簧压缩到最短时，B球的速率最大BD12345678910

123456789102.[2024北京八一中学校考/多选]如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块A和B用一

轻质弹簧拴接在一起，弹簧处于原长.一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块A并留在其

中，射入时间极短.下列说法中正确的是(

BD

)A.子弹射入物块A的过程中，子弹和物块A的机械能守恒B.子弹射入物块A的过程中，子弹对物块A的冲量大小等于物块A

对子弹的冲量大小C.子弹射入物块A后，两物块与子弹的动能之和等于射入物块A

前子弹的动能D.两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时

的弹性势能BD12345678910

123456789103.[2024河南三门峡模拟/多选]光滑水平面上停放着质量为m、装有光滑弧形槽的小

车，一质量也为m的小球以水平速度v0沿槽口向小车滑去，到达某一高度后，小球

又返回右端，图甲小车放置在无阻碍的光滑水平面上，图乙小车靠墙停放，已知重

力加速度为g，则(

BC

)A.图甲中小球返回右端将向右做平抛运动B.图乙中小球返回右端将向右做平抛运动D.图甲中全过程小球对小车压力的冲量为mv0BC12345678910

12345678910

A.B的最大速率为4m/sC.B能与A再次发生碰撞D.B不能与A再次发生碰撞AD12345678910

123456789105.[设问创新/2024江苏盐城模拟]如图所示，一质量为M＝3.0kg的长木板B放在光滑

水平地面上，在其右端放一个质量为m＝1.0kg的小木块A.

同时给A和B大小均为v＝

5.0m/s、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A始终没有滑离

B.

在A做加速运动的时间内，B的速度大小可能是(

C

)A.1.8m/sB.2.4m/sC.2.8m/sD.3.5m/sC12345678910

123456789106.[2024湖南长沙南雅中学校考]质量为M，长度为d的木块放在光滑的水平面上，在

木块的右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动，质量为m的子弹以水平

速度v0射入静止的木块，刚好能将木块射穿.现拔去销钉，使木块能在水平面上自由

滑动，而子弹仍以水平速度v0射入静止的木块，设子弹在木块中受到的阻力大小恒

定，则(

C

)A.拔去销钉，木块和子弹组成的系统动量守恒，机械能也守恒C12345678910

123456789107.[2024江西南昌模拟]质量相等的A、B两球之间压缩一根轻质弹簧，静置于光滑水

平桌面上，当用挡板挡住A球而只释放B球时，B球被弹出落到距桌边水平距离为x的

地面上，如图所示，若再次以相同力压缩该弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时

释放，则B球的落地点距桌边水平距离为(

D

)B.2xC.xD12345678910

12345678910

8.[2024山西四校联考]如图所示，用不可伸长的轻质细绳将木块悬挂于一点O，开始

木块自由静止在O点下方的P点.质量为m的弹丸以水平向右的速度v1＝205m/s射入质

量为M＝40m的木块，射入木块后二者共同摆动的最大摆角为α，当其第一次返回P

位置时，第二粒相同的弹丸以水平向右的速度v2又击中木块，使木块向右摆动且最

大摆角仍为α，弹丸均未射出木块，木块和弹丸形状大小以及空气阻力均忽略不

计，则第