高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计 新人教A版必修1

高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计新人教A版必修1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解教学设计新人教A版必修1设计意图本节课通过运用二分法求方程的近似解，让学生理解并掌握数学在解决实际问题中的应用，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。通过具体实例的讲解和练习，使学生能够熟练运用二分法求解方程的近似解，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标1.培养学生的数学抽象能力，理解函数与方程的内在联系。

2.培养学生的逻辑推理能力，学会运用二分法进行近似求解。

3.增强学生的数学建模意识，将实际问题转化为数学问题进行求解。

4.提升学生的数学运算能力，熟练掌握二分法计算步骤。学习者分析1.学生已经掌握了等差数列、等比数列的基本概念和求和公式，以及基本的函数性质，如单调性、奇偶性等。这些知识是学习本节内容的基础，学生应能够理解函数在解决实际问题中的重要性。

2.学生对数学的学习兴趣可能因人而异，部分学生可能对函数的应用感到好奇和兴奋，愿意探索数学与现实生活的联系。学生的学习能力方面，大部分学生能够理解新概念，但可能对复杂的数学推导和计算感到困难。学习风格上，有的学生可能偏好通过直观图形理解，有的则更习惯于逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难包括：理解二分法的基本原理，掌握如何将实际问题转化为二分法的求解过程，以及如何在实际计算中避免陷入无限循环或精度不足的问题。此外，对于计算能力较弱的学生来说，如何精确地找到区间中点，以及如何判断逼近精度是挑战之一。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过讲解二分法的原理和应用步骤，引导学生理解其逻辑基础。随后组织小组讨论，让学生分享在实际问题中如何应用二分法。

2.设计“实际问题解决”案例研究，让学生分组选择实际问题，运用二分法进行求解，并通过课堂展示和点评提高学生的问题解决能力。

3.利用多媒体教学工具，展示二分法求解过程的动画，帮助学生直观理解算法步骤。同时，提供在线计算器或软件工具，让学生进行实际操作练习。教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过提问学生已知的方程求解方法，如代数方法、图形方法等，引导学生回顾函数与方程的关系。接着，提出问题：“在解决某些复杂方程时，我们如何快速找到方程的近似解？”以此来激发学生的探究欲望，引出本节课的主题——用二分法求方程的近似解。

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

（1）讲解二分法的原理，以一个具体的函数为例，说明二分法的基本步骤：选取初始区间、判断中点、计算函数值、调整区间。强调二分法在寻找函数零点中的应用。

（2）分析二分法的关键点，如如何选择合适的初始区间、如何判断逼近精度等，并结合实例讲解。

（3）讨论二分法的适用范围和局限性，如对函数单调性的要求、区间长度的影响等。

用时：10分钟

3.实践活动

详细内容：

（1）让学生分组，每组选择一个实际问题，如计算方程的根、求解函数的最值等，运用二分法进行求解。

（2）组织学生进行课堂展示，讲解解题过程和结果，其他同学进行点评和讨论。

（3）针对学生展示过程中出现的问题，教师进行总结和讲解，强调二分法的应用要点。

用时：15分钟

4.学生小组讨论

详细内容举例回答：

（1）关于如何选择合适的初始区间，学生讨论了以下内容：

-可以从函数图像中观察函数的变化趋势，选择包含零点的区间。

-可以根据实际问题背景，选择一个符合实际的初始区间。

（2）关于判断逼近精度，学生讨论了以下内容：

-可以设置一个精度阈值，当区间长度小于该阈值时，认为找到了近似解。

-可以通过比较相邻两次迭代的中点，判断区间长度是否足够小。

（3）关于二分法的适用范围和局限性，学生讨论了以下内容：

-二分法适用于函数在区间上单调的情况，不适用于有多个零点的函数。

-当函数变化平缓时，二分法可能需要较多的迭代次数。

用时：10分钟

5.总结回顾

内容：本节课通过讲解二分法的基本原理和应用步骤，使学生掌握了用二分法求方程近似解的方法。同时，通过实践活动，提高了学生运用二分法解决实际问题的能力。在总结过程中，教师强调以下重点：

-二分法的适用范围和局限性。

-如何选择合适的初始区间和判断逼近精度。

-如何将实际问题转化为二分法的求解过程。

用时：5分钟

总用时：45分钟学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解二分法的原理和应用场景

2.提高数学建模能力

学生在学习过程中，需要将实际问题转化为数学问题，运用二分法进行求解。这一过程培养了学生的数学建模能力，使他们能够更好地将现实世界的问题转化为数学模型。

3.增强逻辑推理能力

二分法求解过程中，学生需要不断判断和调整区间，这一过程锻炼了学生的逻辑推理能力。学生学会了如何从已知信息中推断出未知信息，提高了他们的逻辑思维能力。

4.提升计算能力

在二分法求解过程中，学生需要进行一系列的计算，包括求中点、计算函数值等。通过这些计算，学生的计算能力得到了提升，他们能够更加熟练地进行数学运算。

5.培养问题解决能力

6.强化团队合作意识

在小组讨论和实践活动环节，学生需要与同伴合作，共同解决问题。这一过程培养了学生的团队合作意识，使他们学会了倾听、沟通、协作，提高了团队协作能力。

7.增进对数学的兴趣

8.提高自主学习能力

在教师引导下，学生通过自主学习、小组讨论、实践活动等方式，逐步掌握了二分法。这一过程培养了学生的自主学习能力，使他们能够在没有教师指导的情况下，独立完成学习任务。

9.增强数学应用意识

10.提升创新思维能力

在解决实际问题的过程中，学生需要不断尝试新的方法，寻找最优解。这一过程培养了学生的创新思维能力，使他们能够在面对问题时，提出独特的解决方案。教学反思与改进回顾这节课的教学，我觉得有几个方面做得不错，但也存在一些可以改进的地方。

首先，我在导入新课的时候，通过提问的方式激发了学生的兴趣，让他们回忆起之前学过的知识，这有助于他们更好地理解二分法的原理。但是，我发现有些学生对于函数与方程的关系理解得还不够深入，他们在将实际问题转化为数学问题时显得有些吃力。因此，我打算在未来的教学中，增加一些实例分析，让学生通过具体的例子来加深对这一概念的理解。

其次，我在讲授新课的过程中，尽量用简单明了的语言解释二分法的步骤和原理。不过，我也注意到，有些学生对于二分法的迭代过程和精度控制理解得不够清楚。我觉得这可能是因为我没有足够的时间来详细讲解每个步骤的数学意义。所以，我计划在下一节课中，花更多的时间来解释这些细节，或者通过制作一些辅助教学材料，如思维导图或动画，来帮助学生更好地理解。

在实践活动环节，我让学生分组进行实际问题解决，这个环节收到了很好的效果，学生们积极参与，讨论热烈。但是，我也发现，有些小组在展示时，对于解题过程的阐述不够清晰，没有很好地展示出二分法的应用。我认为，在未来的教学中，我需要更细致地指导学生如何进行有效的展示，包括如何组织语言、如何突出重点等。

在学生小组讨论环节，我鼓励学生从不同的角度思考问题，这有助于培养他们的创新思维。然而，我发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，没有充分展示自己的思考。为了改善这一点，我打算在未来的教学中，设置一些引导性问题，让学生在讨论前先独立思考，然后再进行小组讨论。

总的来说，我觉得这节课的教学效果还是不错的，学生们对二分法有了基本的了解，并能尝试运用它解决一些实际问题。但是，我也意识到，在教学过程中，我需要更加关注学生的个体差异，提供更多的个性化指导。以下是我的一些改进措施：

-在导入环节，我会准备更多与实际生活相关的例子，让学生感受到数学的应用价值。

-在新课讲授环节，我会增加更多的互动环节，如小组讨论、问题解答等，以帮助学生更好地理解和掌握知识点。

-在实践活动环节，我会提供更多的指导，帮助学生学会如何进行有效的展示和交流。

-在学生小组讨论环节，我会设计更有挑战性的问题，鼓励学生独立思考，并在讨论中发挥主导作用。

-在总结回顾环节，我会让学生参与总结，这样不仅能够巩固知识点，还能提高他们的总结能力。

我相信，通过这些改进措施，我能够更好地帮助学生掌握二分法，提高他们的数学思维能力。课堂在课堂教学中，评价学生的学习情况是确保教学效果的关键环节。以下是我对课堂评价的一些具体做法：

1.提问评价

提问是了解学生学习情况的重要手段。我会在课堂上通过提问来检验学生对二分法原理和步骤的掌握程度。例如，我会问：“如何选择一个合适的初始区间？”或者“在二分法中，如何判断逼近精度？”通过这些问题，我可以观察学生是否能准确回答，以及他们的回答是否体现了对知识点的理解。

2.观察评价

观察学生在课堂上的表现也是评价学习情况的一种方式。我会注意观察学生在课堂讨论中的参与度、在实践活动中的操作是否熟练、以及在解决问题的过程中是否能够独立思考。例如，当学生在小组讨论中分享解题思路时，我会注意他们是否能够清晰地表达自己的观点，以及是否能够倾听他人的意见。

3.测试评价

为了更全面地了解学生的学习效果，我会定期进行小测验。这些测验可以包括选择题、填空题和解答题，涵盖二分法的基本概念、步骤和应用。通过测试，我可以评估学生对知识点的掌握程度，并及时发现需要加强的环节。

4.及时反馈

在课堂评价过程中，我非常注重及时反馈。当学生在回答问题时出现错误时，我会耐心地纠正，并解释正确的解题思路。对于学生的优秀表现，我也会给予及时的肯定和鼓励，以增强他们的学习动力。

5.个别辅导

对于那些在课堂上表现不佳或理解有困难的学生，我会进行个别辅导。我会安排课后时间，针对他们的具体问题进行讲解，确保他们能够跟上课堂进度。

6.课堂互动

为了提高课堂评价的有效性，我会鼓励学生之间的互动。例如，我可能会让学生两人一组，互相提问和解答，这样既能锻炼他们的沟通能力，也能在互动中加深对知识的理解。

7.课堂总结

在每节课的结束时，我会进行课堂总结，让学生回顾本节课所学内容，并针对重点和难点进行复习。通过总结，我可以了解学生对知识点的记忆情况，并为他们提供复习的建议。板书设计①二分法原理

-二分法定义：在连续函数中，若函数值在某一区间内异号，则该区间内至少存在一点使得函数值为零。

-二分法步骤：选取初始区间，判断中点，计算函数值，调整区间。

②二分法应用

-应用场景：求解方程的根、函数的最值等。

-应用步骤：

-确定初始区间，保证区间内函数值异号。

-计算区间中点，判断函数值。

-根据函数值的正负调整区间，重复步骤2和3，直到满足逼近精度要求。

③二分法注意事项

-确保函数在区间内连续。

-选择合适的初始区间，避免无限循环。

-控制逼近精度，避免精度不足或过高的计算量。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学建模与应用》一书中关于二分法的章节，特别是讨论二分法在其他数学领域中的应用，如数值分析、优化问题等。

-视频资源：推荐在线教育平台上的数学讲座或教学视频，特别是关于二分法在实际问题中的应用案例。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，通过自学加深对二分法的理解。

-观看视频资源，了解二分法在不同学科中的应用，以及如何将数学理论应用于实际问题解决。

-学生可以尝试自己解决一些拓展题目，如使用二分法求解