江西省抚州市南丰县第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

江西省抚州市南丰县第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班试卷标题：江西省抚州市南丰县第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷。一、选择题（共10题，每题5分）要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$为常数），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-\infty,0)$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,-\frac{1}{2}]$D.$(-\frac{1}{2},+\infty)$2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，则$a_6+a_7+a_8$的值为（）A.30B.40C.50D.603.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)$的值为（）A.1B.2C.3D.44.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，则$q$的值为（）A.2B.4C.8D.165.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，则$f(x)$的定义域为（）A.$\{x|x\neq2\}$B.$\{x|x\neq0\}$C.$\{x|x\neq1\}$D.$\{x|x\neq-2\}$6.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，若$f(x)$在$x=2$处取得极值，则$f'(2)$的值为（）A.0B.1C.-1D.不存在7.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，则$a_6+a_7+a_8$的值为（）A.30B.40C.50D.608.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)$的值为（）A.1B.2C.3D.49.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，则$q$的值为（）A.2B.4C.8D.1610.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，则$f(x)$的定义域为（）A.$\{x|x\neq2\}$B.$\{x|x\neq0\}$C.$\{x|x\neq1\}$D.$\{x|x\neq-2\}$二、填空题（共5题，每题5分）要求：直接写出答案。11.已知函数$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$为常数），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围为______。12.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，则$a_6+a_7+a_8$的值为______。13.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，则$f'(1)$的值为______。14.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，则$q$的值为______。15.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，若$f(x)$在$x=2$处取得极值，则$f'(2)$的值为______。三、解答题（共30分）16.（10分）已知函数$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$为常数），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。17.（10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，求$a_6+a_7+a_8$的值。18.（10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$f'(1)$的值。四、证明题（共20分）19.（10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，证明$a_6+a_7+a_8=30$。20.（10分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，证明$f'(1)=3$。五、应用题（共20分）21.（10分）某工厂生产一批产品，每天生产的产品数量为等差数列，第一天的生产量为10件，第五天的生产量为30件，求该工厂每天平均生产的产品数量。22.（10分）某商店销售一批商品，每天销售的商品数量为等比数列，第一天的销售量为20件，第三天的销售量为80件，求该商店每天平均销售的商品数量。六、综合题（共20分）23.（10分）已知函数$f(x)=\lnx+ax^2$（$a$为常数），若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。24.（10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=80$，求$a_6+a_7+a_8$的值。本次试卷答案如下：一、选择题1.D。由题意知$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化简得$2ax^2+1>0$，因为$x^2>0$，所以$a>-\frac{1}{2x^2}$，由于$x>0$，所以$a\geq-\frac{1}{2}$，故选D。2.B。由等差数列的性质知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6+a_7+a_8=3a_1+18d=3\times10+18\times5=90$，故选B。3.A。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因为$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐点，故$f(x)$在$x=1$处取得极值，$f'(1)=3$，故选A。4.B。由等比数列的性质知$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$，$a_3=8$，解得$q=2$，故选B。5.A。函数$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$的定义域为$\{x|x\neq2\}$，故选A。6.D。由$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，得$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$，因为$f'(x)$在$x=2$处不存在，所以$f(x)$在$x=2$处取得极值，故$f'(2)$不存在，故选D。7.B。同第2题。8.A。同第3题。9.B。同第4题。10.A。同第5题。二、填空题11.$a\geq-\frac{1}{2}$。由$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化简得$2ax^2+1>0$，因为$x^2>0$，所以$a>-\frac{1}{2x^2}$，由于$x>0$，所以$a\geq-\frac{1}{2}$。12.90。由等差数列的性质知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6+a_7+a_8=3a_1+18d=3\times10+18\times5=90$。13.3。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因为$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐点，故$f(x)$在$x=1$处取得极值，$f'(1)=3$。14.2。由等比数列的性质知$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$，$a_3=8$，解得$q=2$。15.不存在。由$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，得$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$，因为$f'(x)$在$x=2$处不存在，所以$f(x)$在$x=2$处取得极值，故$f'(2)$不存在。三、解答题16.求解$a$的取值范围。由$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化简得$2ax^2+1>0$，因为$x^2>0$，所以$a>-\frac{1}{2x^2}$，由于$x>0$，所以$a\geq-\frac{1}{2}$。17.求解$a_6+a_7+a_8$的值。由等差数列的性质知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6+a_7+a_8=3a_1+18d=3\times10+18\times5=90$。18.求解$f'(1)$的值。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因为$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐点，故$f(x)$在$x=1$处取得极值，$f'(1)=3$。四、证明题19.证明$a_6+a_7+a_8=30$。由等差数列的性质知$S_5=5a_1+10d$，$S_8=8a_1+28d$，代入$S_5=50$，$S_8=80$，解得$a_1=10$，$d=5$，所以$a_6=a_1+5d=10+5\times5=35$，$a_7=a_1+6d=10+6\times5=40$，$a_8=a_1+7d=10+7\times5=45$，因此$a_6+a_7+a_8=35+40+45=120$。20.证明$f'(1)=3$。由$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，因为$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以$x=1$是$f(x)$的拐点，故$f(x)$在$x=1$处取得极值，$f'(1)=3$。五、应用题21.求解每天平均生产的产品数量。由等差数列的性质知$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=10$，$a_5=30$，解得$d=5$，所以$a_2=a_1+d=10+5=15$，$a_3=a_1+2d=10+2\times5=20$，$a_4=a_1+3d=10+3\times5=25$，$a_5=a_1+4d=10+4\times5=30$，因此每天平均生产的产品数量为$\frac{a_2+a_3+a_4+a_5}{4}=\frac{15+20+25+30}{4}=22.5$。22.求解每天平均销售的商品数量。由等比数列的性质知$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=20$，$a_3=80$，解得$q=2$，所以$a_2=a_1q=20\times2=40$，$a_4=a_1q^3=20\times2^3=160$，$a_5=a_1q^4=20\times2^4=640$，因此每天平均销售的商品数量为$\frac{a_2+a_4+a_5}{3}=\frac{40+160+640}{3}=280$。六、综合题23.求解$a$的取值范围。由$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，即$2ax+\frac{1}{x}>0$，化简得$2ax^2+1>0$，因为$x^2>0$，所以$a>-\fra