江苏省部分学校2024-2025学年高三1月一模前适应性联合测试数学试卷

江苏省部分学校2024-2025学年高三1月一模前适应性联合测试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三一、选择题（共10题，每题5分）要求：本题主要考查函数、导数和三角函数等基础知识。1.已知函数f（x）=ax^2+bx+c，若f（x）在x=1时取得极小值，则a，b，c应满足的关系是：（）A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c>02.若sinα+cosα=1，则sin2α的值为：（）A.1B.2C.0D.-13.设数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，则数列{an}的前n项和S_n为：（）A.n(n+1)B.n(n+2)C.n(n+1)/2D.n(n+2)/24.若等差数列{an}满足a1+a4=12，a2+a5=18，则a3+a6的值为：（）A.15B.16C.17D.185.已知函数f（x）=x^3-3x，求f（x）在x=0，x=1，x=2时的单调性。（）A.单调递增，单调递减，单调递增B.单调递减，单调递增，单调递减C.单调递增，单调递增，单调递减D.单调递减，单调递减，单调递增6.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k的取值为：（）A.±1B.±2C.±3D.±47.设函数f（x）=lnx+1/x，若f（x）在x=1时取得极小值，则a的值为：（）A.1B.2C.3D.48.已知数列{an}满足an+1=an/2，且a1=2，则数列{an}的前n项和S_n为：（）A.2nB.2n+1C.2n/2D.2n/39.若函数f（x）=x^3-3x在区间[0，2]上单调递增，则a的取值范围是：（）A.a≤0B.a>0C.a≤1D.a>110.设数列{an}满足an+1=2an+3，且a1=1，则数列{an}的前n项和S_n为：（）A.2n^2+3nB.2n^2+3n+1C.2n^2+3n-1D.2n^2+3n+2二、填空题（共5题，每题5分）要求：本题主要考查集合、复数和解析几何等基础知识。11.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+2x+1=0}，则A∩B=________。12.已知复数z=2+i，则|z|=________。13.已知点P（1，2）到直线x-y+1=0的距离为________。14.设复数z满足z^2+2z+1=0，则z=________。15.设直线l：2x-y+1=0与直线m：x+2y-3=0的交点为A，则A的坐标为________。三、解答题（共3题，每题20分）要求：本题主要考查函数、导数和数列等综合应用。16.已知函数f（x）=ax^2+bx+c，若f（x）在x=1时取得极小值，求a，b，c的关系。17.已知数列{an}满足an+1=an/2，且a1=2，求证：数列{an}是等比数列。18.已知函数f（x）=lnx+1/x，求f（x）在x=1，x=2，x=3时的单调性。四、应用题（共2题，每题20分）要求：本题主要考查数学建模和数学应用。19.设某工厂生产一批产品，生产成本为每件10元，售价为每件15元。已知销售量与价格之间的关系为：销售量=销售价格/5。若销售价格提高x元，求利润的变化。20.设某班级有男生m人，女生n人，男生平均身高为a米，女生平均身高为b米。求该班级平均身高的最小值。五、证明题（共1题，10分）要求：本题主要考查数学归纳法。21.证明：对于任意正整数n，都有1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。六、解答题（共1题，10分）要求：本题主要考查数学应用。22.设函数f（x）=x^3-3x，求f（x）在x=0，x=1，x=2时的最大值和最小值。本次试卷答案如下：一、选择题答案及解析：1.B.a>0，b<0，c>0解析：函数在x=1处取得极小值，因此导数f'(x)在x=1处为0，即2ax+b=0。由于是极小值，a>0，因此b=-2a<0。又因为f(1)是极小值，所以f(1)是局部最小值，因此f(1)>f(x)对x≠1成立，即a+b+c>f(1)。由于f(1)=a+b+c，所以a+b+c>a+b+c，矛盾，因此c>0。2.C.0解析：由sinα+cosα=1，得sinα=1-cosα。因为sin^2α+cos^2α=1，所以(1-cosα)^2+cos^2α=1，即2cos^2α-2cosα=0，解得cosα=0或cosα=1。当cosα=0时，sinα=1，所以sin2α=2sinαcosα=0；当cosα=1时，sinα=0，同样sin2α=0。3.C.n(n+1)/2解析：数列{an}是一个等比数列，公比为1/2，首项a1=2。因此，an=2*(1/2)^(n-1)，所以S_n=a1*(1-1/2^n)/(1-1/2)=2*(1-1/2^n)/(1/2)=n(n+1)/2。4.A.15解析：设等差数列的公差为d，则a1+a4=a1+3d=12，a2+a5=a1+d+a1+4d=18。解得a1=3，d=3。因此a3+a6=(a1+2d)+(a1+5d)=2a1+7d=2*3+7*3=15。5.A.单调递增，单调递减，单调递增解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<0时，f'(x)>0，函数单调递增；当0<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。6.A.±1解析：直线与圆相切，意味着直线到圆心的距离等于圆的半径。圆心到直线的距离公式为|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中Ax+By+C=0是直线方程。对于直线y=kx+1，有A=-k，B=1，C=1，圆的半径为2。所以|k*0+1*0+1|/√((-k)^2+1^2)=2，解得k=±1。7.A.1解析：f'(x)=1/x-1/x^2，令f'(x)=0，解得x=1。因为f''(x)=-1/x^2<0，所以x=1是f(x)的极大值点。又因为f(1)=ln1+1/1=1，所以f(x)在x=1时取得极小值，a=1。8.A.2n解析：数列{an}是一个等比数列，公比为1/2，首项a1=2。因此，an=2*(1/2)^(n-1)，所以S_n=a1*(1-1/2^n)/(1-1/2)=2*(1-1/2^n)/(1/2)=2n。9.A.a≤0解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<0时，f'(x)>0，函数单调递增；当0<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)在x=0时取得最大值，在x=1时取得最小值，所以a≤0。10.A.2n^2+3n解析：数列{an}是一个等差数列，公差为3，首项a1=1。因此，an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2，所以S_n=n/2*(a1+an)=n/2*(1+3n-2)=2n^2+3n。二、填空题答案及解析：11.{1}解析：集合A和B的元素都是方程x^2-3x+2=0和x^2+2x+1=0的解，解这两个方程得到A={1}，B={-1,0}，所以A∩B={1}。12.√5解析：复数z的模是|z|=√(Re(z)^2+Im(z)^2)，其中Re(z)是z的实部，Im(z)是z的虚部。对于z=2+i，有|z|=√(2^2+1^2)=√5。13.√2解析：点到直线的距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中Ax+By+C=0是直线方程。对于点P(1,2)和直线x-y+1=0，有d=|1*1+(-1)*2+1|/√(1^2+(-1)^2)=√2。14.-1+i解析：方程z^2+2z+1=0可以写成(z+1)^2=0，所以z=-1。又因为z是复数，所以z=-1+i。15.(-1,2)解析：解方程组2x-y+1=0和x+2y-3=0得到x=-1，y=2，所以交点A的坐标为(-1,2)。三、解答题答案及解析：16.解析：由f'(x)=2ax+b=0，得x=-b/(2a)。因为f(x)在x=1时取得极小值，所以x=-b/(2a)=1，即b=-2a。又因为f(1)是极小值，所以f(1)>f(x)对x≠1成立，即a+b+c>a+b+c，矛盾，因此c>0。17.解析：由an+1=an/2，得an=2*an-1。因为a1=2，所以an=2^(n-1)*a1=2^(n-1)*2=2^n。因此，数列{an}是等比数列。18.解析：f'(x)=1/x-1/x^2，令f'(x)=0，解得x=1。因为f''(x)=-1/x^2<0，所以x=1是f(x)的极大值点。又因为f(1)=ln1+1/1=1，所以f(x)在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值，在x=3时取得极大值。四、应用题答案及解析：19.解析：销售量Q=销售价格P/5，利润L=(销售价格-生产成本)*销售量=(P-10)*P/5。当销售价格提高x元时，销售价格为P+x，销售量为(P+x)/5，利润为L=(P+x-10)*(P+x)/5。利润的变化为ΔL=L(P+x)-L(P)=(P+x-10)*(P+x)/5-(P-10)*P/5。20.解析：班级平均身高为(a*m+b*n)/(m+n)。要使平均身高最小，需要找到a*m+b*n的最小值。由于a和b是固定的，所以需要找到m和n的最小值。由于男生和女生的人数总和是固定的，所以m和n的最小值是它们相等的时候，即m=n。因此，平均身高的最小值为(a+b)/2。五、证明题答案及解析：21.解析：当n=1时，1^2=1*(1+1)(2*1+1)/6成立。假设当n=k时，1^2+2^2+3^2+…+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立。当n=k+1时，1^2+2^2+3^2+…+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/