同济版高等数学教案第五章 定积分

同济版高等数学教案第五章定积分一、教学目标1.理解定积分的概念，掌握定积分的几何意义与物理意义。2.了解定积分的性质，能熟练运用性质进行简单计算和证明。3.掌握牛顿莱布尼茨公式，会用该公式计算定积分。4.理解定积分的换元法和分部积分法，能正确运用这两种方法计算定积分。5.了解反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分。

二、教学重难点

（一）重点1.定积分的概念和性质。2.牛顿莱布尼茨公式及其应用。3.定积分的换元法和分部积分法。

（二）难点1.定积分概念中对极限的理解。2.定积分换元法中积分限的变换。3.反常积分收敛性的判断及计算。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）定积分的概念（2学时）1.引入通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题，引出定积分的概念。2.定积分的定义设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界，在\([a,b]\)中任意插入若干个分点\(a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\)，把区间\([a,b]\)分成\(n\)个小区间\([x_{i1},x_i]\)，其长度\(\Deltax_i=x_ix_{i1}\)，在每个小区间\([x_{i1},x_i]\)上任取一点\(\xi_i\)，作乘积\(f(\xi_i)\Deltax_i\)，并作和\(S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，记\(\lambda=\max\{\Deltax_1,\Deltax_2,\cdots,\Deltax_n\}\)，如果当\(\lambda\to0\)时，和\(S_n\)的极限存在，且极限值与区间\([a,b]\)的分法及\(\xi_i\)的取法无关，则称这个极限为函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分，记作\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，即\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)。3.定积分的几何意义当\(f(x)\geq0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由曲线\(y=f(x)\)，直线\(x=a\)，\(x=b\)及\(x\)轴所围成的曲边梯形的面积；当\(f(x)\leq0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示上述曲边梯形面积的负值；当\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有负时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示介于\(x\)轴、曲线\(y=f(x)\)以及直线\(x=a\)，\(x=b\)之间的各部分面积的代数和。4.定积分的物理意义变速直线运动的路程\(s=\int_{T_1}^{T_2}v(t)dt\)，其中\(v(t)\)是速度函数，\([T_1,T_2]\)是运动时间区间。5.例题讲解例1：利用定积分定义计算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)。解：1.分割：将\([0,1]\)分成\(n\)等份，分点为\(x_i=\frac{i}{n}\)，\(i=0,1,\cdots,n\)，每个小区间长度\(\Deltax=\frac{1}{n}\)。2.近似代替：取\(\xi_i=x_i=\frac{i}{n}\)，则\(f(\xi_i)\Deltax=(\frac{i}{n})^2\cdot\frac{1}{n}\)。3.求和：\(S_n=\sum_{i=1}^{n}(\frac{i}{n})^2\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2\)。由\(\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)，可得\(S_n=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\)。4.取极限：\(\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{1}{3}\)，所以\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。

（二）定积分的性质（2学时）1.性质1\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）2.性质2\(\int_{a}^{b}[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx\)3.性质3\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)（\(a<c<b\)），该性质称为定积分对积分区间的可加性。4.性质4如果在区间\([a,b]\)上\(f(x)\geq0\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0\)（\(a<b\)）。5.性质5如果在区间\([a,b]\)上\(f(x)\leqg(x)\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx\)（\(a<b\)）。6.性质6\(\vert\int_{a}^{b}f(x)dx\vert\leq\int_{a}^{b}\vertf(x)\vertdx\)（\(a<b\)）。7.性质7（积分中值定理）如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则在积分区间\([a,b]\)上至少存在一个点\(\xi\)，使\(\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(ba)\)，\(\xi\in[a,b]\)。8.例题讲解例2：已知\(\int_{0}^{1}f(x)dx=3\)，\(\int_{0}^{1}g(x)dx=2\)，求\(\int_{0}^{1}[3f(x)2g(x)]dx\)。解：根据定积分性质\(\int_{0}^{1}[3f(x)2g(x)]dx=3\int_{0}^{1}f(x)dx2\int_{0}^{1}g(x)dx=3\times32\times2=5\)。

例3：估计\(\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\)的值。解：因为\(y=e^{x^2}\)在\([0,1]\)上单调递减，所以\(e^{1}\leqe^{x^2}\leqe^0\)，即\(\frac{1}{e}\leqe^{x^2}\leq1\)。由定积分性质\(\frac{1}{e}(10)\leq\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\leq1\times(10)\)，即\(\frac{1}{e}\leq\int_{0}^{1}e^{x^2}dx\leq1\)。

（三）牛顿莱布尼茨公式（2学时）1.定理如果函数\(F(x)\)是连续函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的一个原函数，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)\)，该公式称为牛顿莱布尼茨公式，也记作\(\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}\)。2.证明思路利用定积分的定义以及原函数的性质进行证明。3.例题讲解例4：计算\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)。解：因为\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，所以\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{2}=\ln2\ln1=\ln2\)。

例5：计算\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx\)。解：因为\((\cosx)^\prime=\sinx\)，所以\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=[\cosx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}(\cos0)=1\)。

（四）定积分的换元法（2学时）1.定理设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，函数\(x=\varphi(t)\)满足条件：（1）\(\varphi(\alpha)=a\)，\(\varphi(\beta)=b\)；（2）\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)（或\([\beta,\alpha]\)）上具有连续导数，且其值域\(R_{\varphi}\subseteq[a,b]\)，则有\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt\)。2.注意事项换元的同时要相应地变换积分限。3.例题讲解例6：计算\(\int_{0}^{4}\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx\)。解：令\(t=\sqrt{2x+1}\)，则\(x=\frac{t^21}{2}\)，\(dx=tdt\)。当\(x=0\)时，\(t=1\)；当\(x=4\)时，\(t=3\)。原积分化为\(\int_{1}^{3}\frac{\frac{t^21}{2}+2}{t}\cdottdt=\int_{1}^{3}(\frac{t^21}{2}+2)dt=\int_{1}^{3}(\frac{t^2}{2}+\frac{3}{2})dt=[\frac{t^3}{6}+\frac{3t}{2}]_{1}^{3}=(\frac{3^3}{6}+\frac{3\times3}{2})(\frac{1^3}{6}+\frac{3\times1}{2})=\frac{27}{6}+\frac{9}{2}\frac{1}{6}\frac{3}{2}=\frac{26}{6}+3=\frac{13}{3}+3=\frac{22}{3}\)。

例7：计算\(\int_{0}^{a}\sqrt{a^2x^2}dx\)（\(a>0\)）。解：令\(x=a\sint\)，则\(dx=a\costdt\)。当\(x=0\)时，\(t=0\)；当\(x=a\)时，\(t=\frac{\pi}{2}\)。原积分化为\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2a^2\sin^2t}\cdota\costdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2t)dt=\frac{a^2}{2}[t+\frac{1}{2}\sin2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{a^2}{2}(\frac{\pi}{2}+000)=\frac{\pia^2}{4}\)。

（五）定积分的分部积分法（2学时）1.定理设函数\(u=u(x)\)及\(v=v(x)\)在区间\([a,b]\)上具有连续导数，则有\(\int_{a}^{b}u(x)v^\prime(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}\int_{a}^{b}u^\prime(x)v(x)dx\)，即\(\int_{a}^{b}udv=[uv]_{a}^{b}\int_{a}^{b}vdu\)。2.例题讲解例8：计算\(\int_{0}^{1}xe^xdx\)。解：令\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根据分部积分公式\(\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^xdx=(e0)[e^x]_{0}^{1}=e(e1)=1\)。

例9：计算\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cosxdx\)。解：令\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，则\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cosxdx=[x\sinx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=(\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}0)[\cosx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}(01)=\frac{\pi}{2}+1\)。

（六）反常积分（2学时）1.无穷限的反常积分（1）定义：设函数\(f(x)\)在区间\([a,+\infty)\)上连续，取\(b>a\)，如果极限\(\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)存在，则称此极限为函数\(f(x)\)在无穷区间\([a,+\infty)\)上的反常积分，记作\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\)，即\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)。类似地可定义\(\int_{\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)，\(\int_{\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^