圆的内接四边形教案及课后练习

圆的内接四边形教案及课后练习一、教学目标1.知识与技能目标-理解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理。-能运用圆内接四边形的性质定理进行简单的计算和证明。2.过程与方法目标-通过观察、实验、猜想、推理等活动，培养学生的逻辑推理能力和探究精神。-经历从特殊到一般的认知过程，体会数学知识之间的内在联系。3.情感态度与价值观目标-让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。-在探究活动中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点-圆内接四边形的性质定理的证明与应用。2.教学难点-圆内接四边形性质定理的灵活运用，特别是在复杂图形中的应用。

三、教学方法讲授法、直观演示法、探究法相结合，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的数学思维能力。

四、教学过程

（一）导入新课1.展示生活中的一些圆形物体，如车轮、井盖、圆桌等，提问学生：在这些圆形物体中，你是否注意到与圆相关的一些特殊四边形？2.引出课题：圆的内接四边形

（二）探究新知1.圆内接四边形的定义-让学生在练习本上画一个圆，然后在圆上任意取四个点，顺次连接这四个点，得到一个四边形。-引导学生观察这个四边形与圆的位置关系，引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。-强调定义中的关键词"四个顶点都在同一个圆上"，并通过实例让学生进一步理解。2.圆内接四边形的性质定理-探究活动一：测量与猜想-让学生在刚才画的圆内接四边形中，测量它的四个内角的度数，并计算对角之和。-学生分组进行测量和计算，然后汇报结果。-引导学生观察计算结果，猜想圆内接四边形的对角有什么关系？-探究活动二：证明猜想-已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形。-求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。-教师引导学生分析证明思路：-连接OA、OC，利用圆周角定理，将∠A和∠C转化为圆心角的一半。-因为同弧所对的圆心角之和为360°，所以可得∠A+∠C=180°。-同理可证∠B+∠D=180°。-教师给出详细的证明过程：证明：连接OA、OC因为∠A所对的弧是\(\overset{\frown}{BCD}\)，∠C所对的弧是\(\overset{\frown}{BAD}\)根据圆周角定理，\(\angleA=\frac{1}{2}\angle1\)，\(\angleC=\frac{1}{2}\angle2\)又因为\(\angle1+\angle2=360^{\circ}\)所以\(\angleA+\angleC=\frac{1}{2}(\angle1+\angle2)=180^{\circ}\)同理可证\(\angleB+\angleD=180^{\circ}\)-得出圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。-强调性质定理的条件是"圆内接四边形"，结论是"对角互补"，并引导学生用数学语言表示该定理。

（三）例题讲解例1：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，求∠BAD和∠BCD的度数。分析：-由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。-已知∠BOD=100°，则可求出\(\overset{\frown}{BD}\)所对的圆周角∠BAD的度数。-再根据圆内接四边形的对角互补，求出∠BCD的度数。解：因为\(\angleBAD\)是\(\overset{\frown}{BD}\)所对的圆周角，\(\angleBOD\)是\(\overset{\frown}{BD}\)所对的圆心角所以\(\angleBAD=\frac{1}{2}\angleBOD=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}\)因为四边形ABCD内接于⊙O所以\(\angleBCD=180^{\circ}-\angleBAD=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}\)

例2：如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。分析：-由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=∠ADB=90°。-在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长。-因为CD平分∠ACB，所以\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)，则AD=BD。-在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AD和BD的长。解：因为AB是⊙O的直径所以\(\angleACB=\angleADB=90^{\circ}\)在Rt△ABC中，\(AB=10cm\)，\(AC=6cm\)根据勾股定理\(BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8cm\)因为CD平分∠ACB所以\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)所以AD=BD在Rt△ABD中，\(AB=10cm\)根据勾股定理\(AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}\)又因为AD=BD所以\(2AD^{2}=10^{2}\)\(AD^{2}=50\)\(AD=BD=5\sqrt{2}cm\)

（四）课堂练习1.已知圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求∠D的度数。2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=120°，求∠B的度数。3.如图，⊙O中，弦AB和CD相交于点P，且\(\overset{\frown}{AC}\)与\(\overset{\frown}{BD}\)的度数分别为80°和100°，求∠APC的度数。

（五）课堂小结1.引导学生回顾圆内接四边形的定义和性质定理。2.总结本节课的学习内容，强调重点和难点，让学生对所学知识有一个系统的认识。3.鼓励学生在课后继续探究圆内接四边形的相关知识，加深对知识的理解和应用。

（六）布置作业1.课本习题[具体页码]第[具体题号]题。2.思考：圆内接四边形的外角与它的内对角有什么关系？

五、课后练习

（一）基础巩固1.圆内接四边形ABCD中，若∠A=80°，则∠C=（）A.120°B.100°C.80°D.90°2.四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=120°，则∠BAD=（）A.60°B.120°C.30°D.150°3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°，则∠CAD的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°

（二）能力提升1.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=120°，CD=3，求⊙O的半径。2.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AC的长。3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，求∠D的度数。

（三）拓展延伸1.如图，已知⊙O的半径为2，弦AB=2\(\sqrt{3}\)，点C在⊙O上（不与A、B重合），求∠ACB的度数。2.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点P，\(\overset{\frown}{AC}\)与\(\overset{\frown}{BD}\)的度数之比为1∶3，求∠APC的度数。3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC。（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2。

（四）答案与解析1.基础巩固-1.B解析：因为圆内接四边形的对角互补，所以∠C=180°-∠A=180°-80°=100°。-2.A解析：因为∠BOD是\(\overset{\frown}{BD}\)所对的圆心角，∠BAD是\(\overset{\frown}{BD}\)所对的圆周角，所以∠BAD=\frac{1}{2}\angleBOD=\frac{1}{2}\times120^{\circ}=60^{\circ}。-3.A解析：因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠D=180°-∠B=180°-50°=130°。又因为∠ACD=25°，所以在△ACD中，∠CAD=180°-∠D-∠ACD=180°-130°-25°=30°。2.能力提升-1.解：连接OC因为四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=120°所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-120°=60°因为AD是⊙O的直径所以∠ACD=90°在Rt△ACD中，∠ADC=60°，CD=3所以\(\sin\angleADC=\frac{AC}{AD}\)即\(\sin60^{\circ}=\frac{AC}{AD}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AC}{AD}\)设⊙O的半径为r，则AD=2r所以\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AC}{2r}\)又因为\(\cos\angleADC=\frac{CD}{AD}\)即\(\cos60^{\circ}=\frac{3}{2r}\)\(\frac{1}{2}=\frac{3}{2r}\)解得\(r=3\)所以⊙O的半径为3。-2.解：因为AB=AC所以\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)所以∠ABC=∠ACB因为四边形ABCD内接于⊙O所以∠ABC+∠ADC=180°又因为∠ACB=∠ADB所以∠ADB+∠ADC=180°即∠BDC=180°所以BC是⊙O的直径所以∠BAC=90°因为∠ABC=∠ACB所以∠ABC=∠ACB=45°所以△ABC是等腰直角三角形所以AB=AC因为AE=2，ED=4所以AD=AE+ED=2+4=6在Rt△ABC中，根据勾股定理\(AC^{2}+AB^{2}=AD^{2}\)又因为AB=AC所以\(2AC^{2}=6^{2}\)\(AC^{2}=18\)解得\(AC=3\sqrt{2}\)-3.解：连接OC因为PC是⊙O的切线所以∠OCP=90°因为∠P=40°所以∠COP=180°-∠OCP-∠P=180°-90°-40°=50°因为\(\overset{\frown}{BC}\)所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC所以∠BAC=\frac{1}{2}\angleBOC=\frac{1}{2}\times50^{\circ}=25°因为四边形ABCD内接于⊙O所以∠D=180°-∠BAC=180°-25°=155°3.拓展延伸-1.解：过点O作OD⊥AB于点D则AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}=\sqrt{3}在Rt△AOD中，OA=2，AD=\(\sqrt{3}\)所以\(\cos\angleAOD=\frac{AD}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)所以∠AOD=30°所以∠AOB=2∠AOD=60°当点C在优弧\(\overset{\frown}{AB}\)上时，∠ACB=\frac{1}{2}\angleAOB=30°当点C在劣弧\(\overset{\frown}{AB}\)上时，∠ACB=180°-30°=150°所以∠ACB的度数为30°或150°。-2.解：设\(\overset{\frown}{AC}\)的度数为x，则\(\overset{\frown}{BD}\)的度数为3x因为\(\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=360^{\circ}\)所以\(x+3x+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=360^{\circ}\)又因为\(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=360^{\circ}-(x+3x)=360^{\circ}-4x\)所以\(x+3x+360^{\circ}-4x=360^{\circ}\)解得\(x=45°\)所以\(\overset{\frown}{AC}\)的度数为45°，\(\overset{\frown}{BD}\)的度数为135°所以∠APC=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AC})=\frac{1}{2}(135^{\circ}-45^{\circ})=45°-3.（1）解：因为BC=DC所以\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}\)所以