控制工程基础习题解答2

控制工程基础习题解答2一、选择题1.系统的传递函数只取决于（）A.系统的结构和参数B.输入信号C.输出信号D.初始条件答案：A解析：传递函数是系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，它只取决于系统本身的结构和参数，与输入、输出信号以及初始条件无关。

2.二阶系统的传递函数为\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，当\(0\lt\zeta\lt1\)时，系统的阶跃响应为（）A.单调上升B.衰减振荡C.等幅振荡D.发散振荡答案：B解析：当\(0\lt\zeta\lt1\)时，二阶系统处于欠阻尼状态，其阶跃响应为衰减振荡。

3.若系统的传递函数为\(G(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)，则系统的阻尼比\(\zeta\)为（）A.0B.0.5C.1D.2答案：B解析：将\(G(s)=\frac{1}{s(s+1)}\)化为标准形式\(G(s)=\frac{1}{s^2+s}\)，与二阶系统传递函数标准式\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)对比，可得\(2\zeta\omega_n=1\)，\(\omega_n^2=1\)，解得\(\omega_n=1\)，\(\zeta=0.5\)。

4.系统的频率特性\(G(j\omega)\)是（）A.系统的稳态输出与稳态输入之比B.系统的输出与输入之比C.系统的传递函数D.系统的幅频特性与相频特性的乘积答案：A解析：频率特性是指系统在正弦输入信号作用下，稳态输出与稳态输入之比，它包括幅频特性和相频特性。

5.已知系统的开环传递函数\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，则系统的开环增益\(K\)为（）A.0B.1C.2D.K答案：D解析：在开环传递函数\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)中，\(K\)就是开环增益。

二、填空题1.控制系统按输入量的变化规律可分为______控制系统、______控制系统和______控制系统。答案：恒值；随动；程序解析：恒值控制系统输入量为常量，要求系统输出保持恒定；随动控制系统输入量是任意变化的，要求系统输出能迅速、准确地跟随输入量变化；程序控制系统输入量按预定程序变化，要求系统按预定程序工作。

2.线性系统的基本特性是______和______。答案：叠加性；齐次性解析：叠加性指系统对几个输入同时作用的响应等于各个输入单独作用响应之和；齐次性指当输入增大\(k\)倍时，其输出也增大\(k\)倍。

3.二阶系统的单位阶跃响应的超调量\(\sigma\%\)与阻尼比\(\zeta\)的关系为______。答案：\(\sigma\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%\)解析：这是二阶系统超调量与阻尼比的重要关系式。

4.系统的频率响应是指系统对______输入信号的稳态响应。答案：正弦解析：频率响应就是研究系统对正弦输入信号的稳态输出特性。

5.若系统的传递函数为\(G(s)=\frac{1}{s+1}\)，则其脉冲响应为______。答案：\(h(t)=e^{-t}u(t)\)解析：对\(G(s)=\frac{1}{s+1}\)进行拉氏反变换，可得脉冲响应\(h(t)=e^{-t}u(t)\)，其中\(u(t)\)是单位阶跃函数。

三、简答题1.简述控制系统的性能指标有哪些？答：控制系统的性能指标可分为时域性能指标和频域性能指标。时域性能指标：-上升时间\(t_r\)：响应从初始值上升到稳态值的规定百分比（通常为90%、95%等）所需的时间。-峰值时间\(t_p\)：响应超过稳态值达到第一个峰值所需的时间。-超调量\(\sigma\%\)：响应的最大偏离量与稳态值之比，反映系统的相对稳定性。-调节时间\(t_s\)：响应达到并保持在稳态值的规定误差范围内所需的时间，衡量系统的快速性。-稳态误差\(e_{ss}\)：系统在稳态时输出与输入的差值，反映系统的控制精度。

频域性能指标：-幅频特性：描述系统对不同频率正弦输入信号的幅值放大倍数。-相频特性：描述系统对不同频率正弦输入信号的相位滞后或超前情况。-截止频率\(\omega_c\)：幅频特性下降到其零频值的\(1/\sqrt{2}\)倍时的频率，反映系统的带宽。-相角裕度\(\gamma\)：系统开环频率特性在截止频率处的相角与\(-180^{\circ}\)之和，衡量系统的相对稳定性。-幅值裕度\(K_g\)：系统开环频率特性幅值为1时对应的频率处的幅值倒数，也用于衡量系统的相对稳定性。

2.什么是系统的传递函数？它有哪些特点？答：系统的传递函数是指在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。

特点：-只取决于系统本身的结构和参数，与输入、输出信号以及初始条件无关。-传递函数是复变量\(s\)的有理分式，其分子多项式的次数低于或等于分母多项式的次数。-传递函数可以反映系统的动态特性，通过它可以方便地分析系统的稳定性、稳态性能和动态响应等。-同一类型的系统具有相同形式的传递函数，只是参数不同。

3.简述二阶系统的动态性能与阻尼比\(\zeta\)和自然频率\(\omega_n\)的关系。答：-阻尼比\(\zeta\)：-当\(0\lt\zeta\lt1\)时，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡。\(\zeta\)越小，超调量越大，振荡越剧烈；\(\zeta\)越大，超调量越小，响应越平稳。-当\(\zeta=1\)时，系统处于临界阻尼状态，阶跃响应为非振荡过程，上升速度比过阻尼时快。-当\(\zeta\gt1\)时，系统处于过阻尼状态，阶跃响应为非振荡过程，且\(\zeta\)越大，响应越缓慢。-自然频率\(\omega_n\)：\(\omega_n\)决定了系统的振荡频率。\(\omega_n\)越大，系统响应越快，上升时间、峰值时间等越小。

4.什么是频率响应法？它有哪些优点？答：频率响应法是利用系统的频率响应特性来分析和设计控制系统的方法。通过给系统施加不同频率的正弦输入信号，研究系统输出的稳态响应，得到系统的幅频特性和相频特性。

优点：-可以通过实验方法获得系统的频率响应，不需要建立系统的精确数学模型，对于一些难以用解析方法描述的系统也适用。-频率响应法可以直观地反映系统的频率特性，如带宽、相角裕度、幅值裕度等，这些指标与系统的动态性能密切相关，便于分析和设计系统的稳定性和动态响应。-频率响应法可以方便地进行系统的串联、并联和反馈连接的分析，以及控制系统的校正设计。

5.简述开环控制系统和闭环控制系统的特点。答：-开环控制系统：-结构简单，成本低。-系统的输出量不会对输入量产生影响，不存在反馈控制。-对于扰动的抑制能力较差，控制精度较低。-适用于对控制精度要求不高、扰动较小的场合。-闭环控制系统：-具有反馈回路，能够根据输出量与输入量的偏差进行控制，控制精度高。-对扰动具有较强的抑制能力，能自动补偿扰动对输出的影响。-系统结构复杂，成本较高，可能存在稳定性问题。-适用于对控制精度要求较高、存在较大扰动的场合。

四、计算题1.已知系统的传递函数\(G(s)=\frac{10}{s(s+1)(s+2)}\)，求系统的单位阶跃响应。解：首先将传递函数\(G(s)=\frac{10}{s(s+1)(s+2)}\)进行部分分式展开：设\(\frac{10}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}\)通分可得：\(10=A(s+1)(s+2)+Bs(s+2)+Cs(s+1)\)令\(s=0\)，得\(10=A(0+1)(0+2)\)，解得\(A=5\)令\(s=-1\)，得\(10=B(-1)(-1+2)\)，解得\(B=-10\)令\(s=-2\)，得\(10=C(-2)(-2+1)\)，解得\(C=5\)所以\(G(s)=\frac{5}{s}-\frac{10}{s+1}+\frac{5}{s+2}\)系统的单位阶跃响应\(c(t)\)的拉氏变换\(C(s)=G(s)\times\frac{1}{s}\)\(C(s)=(\frac{5}{s}-\frac{10}{s+1}+\frac{5}{s+2})\times\frac{1}{s}=\frac{5}{s^2}-\frac{10}{s(s+1)}+\frac{5}{s(s+2)}\)再分别对各项进行拉氏反变换：\(\mathcal{L}^{-1}[\frac{5}{s^2}]=5t\)\(\frac{10}{s(s+1)}=10(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1})\)，\(\mathcal{L}^{-1}[10(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1})]=10(1-e^{-t})\)\(\frac{5}{s(s+2)}=\frac{5}{2}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+2})\)，\(\mathcal{L}^{-1}[\frac{5}{2}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+2})]=\frac{5}{2}(1-e^{-2t})\)所以\(c(t)=5t-10(1-e^{-t})+\frac{5}{2}(1-e^{-2t})=5t-\frac{15}{2}+10e^{-t}-\frac{5}{2}e^{-2t}\)

2.已知二阶系统的传递函数\(G(s)=\frac{4}{s^2+2s+4}\)，求系统的阻尼比\(\zeta\)、自然频率\(\omega_n\)、上升时间\(t_r\)、峰值时间\(t_p\)、超调量\(\sigma\%\)和调节时间\(t_s\)（取\(\Delta=0.05\)）。解：将传递函数\(G(s)=\frac{4}{s^2+2s+4}\)化为标准形式\(G(s)=\frac{4}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)可得\(2\zeta\omega_n=2\)，\(\omega_n^2=4\)解得\(\omega_n=2\)，\(\zeta=0.5\)

上升时间\(t_r\)：\(t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}\)，其中\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，\(\beta=\arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\)\(\omega_d=2\sqrt{1-0.5^2}=\sqrt{3}\)\(\beta=\arctan\frac{\sqrt{1-0.5^2}}{0.5}=\frac{\pi}{3}\)\(t_r=\frac{\pi-\frac{\pi}{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\approx1.2\s\)

峰值时间\(t_p\)：\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1.8\s\)

超调量\(\sigma\%\)：\(\sigma\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%=e^{-\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-0.5^2}}}\times100\%\approx16.3\%\)

调节时间\(t_s\)：\(t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}=\frac{3.5}{0.5\times2}=3.5\s\)

3.已知系统的开环传递函数\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，试绘制系统的根轨迹。解：1.确定系统的开环极点：令\(s(s+1)(s+2)=0\)，解得开环极点\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-2\)。2.确定根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点的个数，所以根轨迹有3条分支。3.确定根轨迹的起点和终点：起点为开环极点\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-2\)；终点为开环零点（本题开环零点为0个），当\(K\rightarrow\infty\)时，根轨迹趋向于无穷远处。4.确定实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区间为\((-\infty,-2]\)和\([-1,0]\)，因为这些区间右边的开环极点个数为奇数。5.确定分离点和会合点：设\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}=\frac{K}{s^3+3s^2+2s}\)令\(1+G(s)H(s)=0\)，即\(s^3+3s^2+2s+K=0\)对\(s\)求导得\(3s^2+6s+2=0\)解得\(s=-1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)，舍去不在实轴根轨迹区间的点，得到分离点\(s=-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\)。6.确定渐近线：渐近线与实轴的夹角\(\varphi=\frac{(2q+1)\pi}{n-m}\)，\(q=