小学解工程问题的方法归纳总结

小学解工程问题的方法归纳总结一、工程问题的基本概念工程问题是小学数学应用题中的一个重要类型，它主要研究工作总量、工作效率和工作时间这三个量之间的关系。工作总量通常用"1"来表示，工作效率是指单位时间内完成的工作量，工作时间则是完成工作总量所需的时间。它们之间的基本数量关系为：工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率。

二、工程问题的常见题型及解法

（一）简单的工程问题1.已知工作效率和工作时间，求工作总量例题：一项工程，甲队每天能完成10米的工作量，工作了5天，求这项工程的总量是多少？分析：已知甲队的工作效率是每天10米，工作时间是5天，根据工作总量=工作效率×工作时间，可得工作总量为10×5=50米。解法：10×5=50（米）总结：这种类型的题目直接运用基本数量关系即可求解。2.已知工作总量和工作时间，求工作效率例题：一项工程总量是60米，乙队6天完成，求乙队每天完成多少米的工作量？分析：已知工作总量是60米，工作时间是6天，根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得乙队工作效率为60÷6=10米/天。解法：60÷6=10（米/天）总结：通过已知的工作总量和工作时间来计算工作效率。3.已知工作总量和工作效率，求工作时间例题：一项工程总量是80米，丙队每天能完成20米，求丙队完成这项工程需要多少天？分析：已知工作总量是80米，工作效率是每天20米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得丙队工作时间为80÷20=4天。解法：80÷20=4（天）总结：利用工作总量和工作效率来确定工作时间。

（二）合作工程问题1.两人合作完成工程例题：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。现在甲、乙两队合作，需要多少天完成？分析：首先求出甲、乙两队的工作效率。甲队单独做10天完成，那么甲队的工作效率就是工作总量"1"除以工作时间10天，即\(1\div10=\frac{1}{10}\)；乙队单独做15天完成，乙队的工作效率就是\(1\div15=\frac{1}{15}\)。然后求甲、乙两队合作的工作效率，合作工作效率等于甲队工作效率加上乙队工作效率，即\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}\)。通分计算\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\)。最后根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得合作完成时间为\(1\div\frac{1}{6}=6\)天。解法：甲队工作效率：\(1\div10=\frac{1}{10}\)乙队工作效率：\(1\div15=\frac{1}{15}\)合作工作效率：\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{1}{6}\)合作完成时间：\(1\div\frac{1}{6}=6\)（天）总结：对于两人合作工程问题，关键是先分别求出各自工作效率，再求出合作工作效率，最后根据公式计算工作时间。2.多人合作完成工程例题：一项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成，丙单独做要40天完成。现在甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成？分析：分别求出甲、乙、丙三人的工作效率。甲队工作效率为\(1\div20=\frac{1}{20}\)；乙队工作效率为\(1\div30=\frac{1}{30}\)；丙队工作效率为\(1\div40=\frac{1}{40}\)。然后求三人合作的工作效率，即\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}\)。通分计算：\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}=\frac{6}{120}+\frac{4}{120}+\frac{3}{120}=\frac{13}{120}\)。最后根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得合作完成时间为\(1\div\frac{13}{120}=\frac{120}{13}\approx9.23\)天。解法：甲队工作效率：\(1\div20=\frac{1}{20}\)乙队工作效率：\(1\div30=\frac{1}{30}\)丙队工作效率：\(1\div40=\frac{1}{40}\)合作工作效率：\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}=\frac{6+4+3}{120}=\frac{13}{120}\)合作完成时间：\(1\div\frac{13}{120}=\frac{120}{13}\)（天）总结：多人合作工程问题与两人合作类似，先分别求出各自工作效率，再求合作工作效率，进而得出工作时间。

（三）交替工作问题1.两人交替工作例题：一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成。现在甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时......两人如此交替工作，完成任务时共用了多少小时？分析：先求出甲、乙两人各做1小时完成的工作量。甲1小时完成\(\frac{1}{12}\)，乙1小时完成\(\frac{1}{18}\)，那么两人各做1小时（一个循环）完成的工作量是\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)。通分计算\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3+2}{36}=\frac{5}{36}\)。用工作总量"1"除以一个循环完成的工作量\(\frac{5}{36}\)，可得循环次数：\(1\div\frac{5}{36}=\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}\)，即经过7个完整循环后还剩下工作量\(17\times\frac{5}{36}=1\frac{35}{36}=\frac{1}{36}\)。此时轮到甲做，甲完成剩下的\(\frac{1}{36}\)需要的时间是\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)小时。所以总共用的时间是\(7\times2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)小时。解法：甲1小时工作量：\(\frac{1}{12}\)乙1小时工作量：\(\frac{1}{18}\)一个循环工作量：\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}\)循环次数：\(1\div\frac{5}{36}=7\frac{1}{5}\)7个循环后剩余工作量：\(17\times\frac{5}{36}=\frac{1}{36}\)甲完成剩余工作量时间：\(\frac{1}{36}\div\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\)小时总时间：\(7\times2+\frac{1}{3}=14\frac{1}{3}\)（小时）总结：两人交替工作问题，先求出一个循环的工作量，确定循环次数，再计算剩余工作量由谁完成以及所需时间，从而得出总时间。2.多人交替工作例题：一项工程，甲、乙、丙三人按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流做。甲单独做需要10天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要15天完成。那么完成这项工程需要多少天？分析：先求出甲、乙、丙三人各做一天完成的工作量。甲一天完成\(\frac{1}{10}\)，乙一天完成\(\frac{1}{12}\)，丙一天完成\(\frac{1}{15}\)，三人各做一天（一个循环）完成的工作量是\(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}\)。通分计算\(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{6+5+4}{60}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\)。用工作总量"1"除以一个循环完成的工作量\(\frac{1}{4}\)，可得循环次数：\(1\div\frac{1}{4}=4\)次，刚好4个完整循环完成工程。每个循环是3天，所以总共用的时间是\(4\times3=12\)天。解法：甲一天工作量：\(\frac{1}{10}\)乙一天工作量：\(\frac{1}{12}\)丙一天工作量：\(\frac{1}{15}\)一个循环工作量：\(\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\)循环次数：\(1\div\frac{1}{4}=4\)次总时间：\(4\times3=12\)（天）总结：多人交替工作问题与两人交替工作思路相同，先求一个循环工作量，确定循环次数，进而得到总时间。

（四）有休息的工程问题1.一人有休息的工程问题例题：一项工程，甲单独做需要30天完成，甲工作3天休息1天。问甲完成这项工程需要多少天？分析：甲工作3天休息1天，那么以4天为一个周期，甲在一个周期内工作3天。甲一个周期完成的工作量是\(\frac{1}{30}\times3=\frac{1}{10}\)。用工作总量"1"除以一个周期完成的工作量\(\frac{1}{10}\)，可得周期数：\(1\div\frac{1}{10}=10\)个周期。每个周期4天，但最后一个周期完成工作后就结束了，不需要再算休息时间，所以前9个周期的天数是\(9\times4=36\)天，第10个周期工作3天，总共需要\(36+3=39\)天。解法：甲一个周期（4天）工作量：\(\frac{1}{30}\times3=\frac{1}{10}\)周期数：\(1\div\frac{1}{10}=10\)个总时间：\(9\times4+3=39\)（天）总结：一人有休息的工程问题，先确定工作周期，求出每个周期的工作量，进而计算周期数和总时间。2.多人有休息的工程问题例题：一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。甲工作2天休息1天，乙工作3天休息1天。甲、乙合作完成这项工程需要多少天？分析：甲工作2天休息1天，以3天为一个周期，甲一个周期完成的工作量是\(\frac{1}{20}\times2=\frac{1}{10}\)；乙工作3天休息1天，以4天为一个周期，乙一个周期完成的工作量是\(\frac{1}{30}\times3=\frac{1}{10}\)。先找出3和4的最小公倍数12天，在这12天里甲完成的工作量是\(\frac{1}{10}\times(12\div3)=\frac{4}{10}\)，乙完成的工作量是\(\frac{1}{10}\times(12\div4)=\frac{3}{10}\)，两人总共完成\(\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10}\)。还剩下工作量\(1\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\)。接下来甲、乙一起工作，他们合作一天完成的工作量是\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}\)。完成剩下的\(\frac{3}{10}\)工作量需要的时间是\(\frac{3}{10}\div\frac{1}{12}=\frac{18}{5}=3.6\)天。前面12天加上后面的3.6天，总共需要\(12+3.6=15.6\)天。解法：甲一个周期（3天）工作量：\(\frac{1}{20}\times2=\frac{1}{10}\)乙一个周期（4天）工作量：\(\frac{1}{30}\times3=\frac{1}{10}\)12天内甲、乙完成工作量：\(\frac{1}{10}\times(12\div3)+\frac{1}{10}\times(12\div4)=\frac{4+3}{10}=\frac{7}{10}\)剩余工作量：\(1\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\)甲、乙合作一天工作量：\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{1}{12}\)完成剩余工作量时间：\(\frac{3}{10}\div\frac{1}{12}=3.6\)天总时间：\(12+3.6=15.6\)（天）总结：多人有休息的工程问题，先分别确定各自工作周期及每个周期工作量，找出共同周期内完成的工作量，再计算剩余工作量所需时间，从而得到总时间。