小学数学工程问题经典例题解析

小学数学工程问题经典例题解析一、工程问题基本概念与公式1.基本概念工程问题是小学数学应用题中的重点内容，它主要研究工作总量、工作效率和工作时间这三个量之间的关系。工作总量：指的是完成一项工作的总体任务量，通常用"1"来表示，也可以是具体的数量。工作效率：表示单位时间内完成的工作量，它是衡量工作快慢的指标。工作时间：完成工作所花费的时间。2.基本公式工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率

二、经典例题解析

（一）简单的工程问题1.例题一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，几天可以完成这项工程？2.解析首先，我们把这项工程的工作总量看作"1"。根据公式，甲的工作效率=工作总量÷甲的工作时间=1÷10=1/10；乙的工作效率=工作总量÷乙的工作时间=1÷15=1/15。两人合作的工作效率就是甲、乙工作效率之和，即1/10+1/15。通分计算：1/10+1/15=3/30+2/30=5/30=1/6。再根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得两人合作完成这项工程需要的时间为：1÷1/6=6（天）。3.总结这类简单工程问题，关键在于明确工作总量、分别求出各自工作效率，进而求出合作工作效率，最后利用公式算出工作时间。

（二）工作效率变化的工程问题1.例题一项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成。甲先做了几天后，剩下的由乙接着做，共用25天完成。甲、乙各做了多少天？2.解析设甲做了x天，则乙做了（25x）天。甲的工作效率是1÷20=1/20，乙的工作效率是1÷30=1/30。根据工作总量=甲的工作量+乙的工作量，可列方程：1/20×x+1/30×(25x)=1去括号得：1/20×x+25/301/30×x=1移项得：1/20×x1/30×x=125/30通分计算：3/60×x2/60×x=30/3025/301/60×x=5/30x=5/30×60=10（天）那么乙做的天数为2510=15（天）。3.总结对于工作效率变化的工程问题，可通过设未知数，根据工作总量的关系列方程求解。要注意找出题目中的等量关系，合理设未知数表示工作量。

（三）多人合作的工程问题1.例题一项工程，甲、乙合作需要8天完成，乙、丙合作需要9天完成，甲、丙合作需要18天完成。那么甲、乙、丙三人合作，需要多少天完成？2.解析设甲、乙、丙三人的工作效率分别为甲、乙、丙。已知甲+乙=1/8①乙+丙=1/9②甲+丙=1/18③①+②+③得：2×（甲+乙+丙）=1/8+1/9+1/18通分计算：2×（甲+乙+丙）=9/72+8/72+4/72=21/72=7/24则甲+乙+丙=7/24÷2=7/48根据工作时间=工作总量÷工作效率，三人合作完成这项工程需要的时间为：1÷7/48=48/7（天）3.总结多人合作的工程问题，通常需要先求出各组合的工作效率之和，再通过适当的运算求出整体的工作效率，最后计算工作时间。这里通过将三个等式相加求出三人效率和是解题关键。

（四）有休息情况的工程问题1.例题一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作，中间甲休息了2天，乙也休息了若干天，结果10天完成了任务。乙休息了几天？2.解析甲工作的时间是102=8（天）甲的工作效率是1÷12=1/12甲完成的工作量是1/12×8=2/3那么乙完成的工作量是12/3=1/3乙的工作效率是1÷18=1/18乙工作的时间是1/3÷1/18=6（天）所以乙休息的时间是106=4（天）3.总结对于有休息情况的工程问题，要明确每个人实际工作的时间，根据各自工作效率求出工作量，进而算出休息时间。需注意工作时间的准确计算和工作量与工作效率、工作时间的对应关系。

（五）工程问题中的周期问题1.例题一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙......的顺序交替工作，每次1小时，那么需要多少小时才能完成？2.解析甲1小时完成的工作量是1÷6=1/6乙1小时完成的工作量是1÷10=1/10甲乙各做1小时看作一个周期，一个周期完成的工作量是1/6+1/10=5/30+3/30=8/30=4/151÷4/15=3（周期）......3/153个周期后完成的工作量是4/15×3=4/5还剩下的工作量是14/5=1/5此时轮到甲做，甲完成剩下的1/5需要的时间是1/5÷1/6=6/5=1.2（小时）总共需要的时间是3×2+1.2=7.2（小时）3.总结工程问题中的周期问题，关键是找出周期的工作量，通过计算周期数和剩余工作量来确定总时间。要注意周期的循环规律以及每个周期内不同人工作量的计算。

（六）水管问题（工程问题的特殊形式）1.例题一个水池，有甲、乙两个进水管，丙是排水管。单开甲管12小时可将水池注满，单开乙管15小时可将水池注满，单开丙管20小时可将满池水放完。现在三管齐开，几小时可将空水池注满？2.解析甲管的注水效率是1÷12=1/12乙管的注水效率是1÷15=1/15丙管的排水效率是1÷20=1/20三管齐开时的实际注水效率是1/12+1/151/20通分计算：1/12+1/151/20=5/60+4/603/60=6/60=1/10根据工作时间=工作总量÷工作效率，注满空水池需要的时间是1÷1/10=10（小时）3.总结水管问题与工程问题类似，只是要注意进水管和排水管的工作效率的正负关系。进水管效率为正，排水管效率为负，通过计算实际的净注水效率来求解注满或排空水池的时间。

三、巩固练习

（一）基础练习题1.一件工作，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成。两人合作，多少天可以完成这件工作的3/4？2.修一条路，甲队单独修要12天完成，乙队每天修30米。如果两队合修，6天完成全长的2/3。这条路全长多少米？3.一项工程，甲、乙合作6天可以完成，乙、丙合作8天可以完成，甲、丙合作12天可以完成。三人合作多少天可以完成？

（二）提高练习题1.一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。甲先做了若干天后，由乙接着做，共用26天完成。甲做了多少天？2.一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。这项工程由甲单独做需要多少天完成？3.一个水池，装有甲、乙两根进水管和一根排水管丙。空池时，单开甲管5分钟可注满，单开乙管10分钟可注满。注满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时，将甲、乙、丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要多少分钟可注满水池？

（三）拓展练习题1.打印一份稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时......如此交替下去，打印这份稿件共要多少小时？2.一项工程，甲、乙合作12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这项工程的5/12。如果这项工程由甲、乙单独做，各需多少天？3.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙又转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？

四、练习题答案

（一）基础练习题答案1.甲的工作效率是1/15，乙的工作效率是1/20。两人合作完成3/4需要的时间是：3/4÷(1/15+1/20)=3/4÷(4/60+3/60)=3/4÷7/60=45/7（天）2.设这条路全长x米。甲队的工作效率是x÷12=x/12两队合修6天完成全长的2/3，可列方程：6×(x/12+30)=2/3x1/2x+180=2/3x2/3x1/2x=1801/6x=180x=1080（米）3.甲、乙合作效率是1/6，乙、丙合作效率是1/8，甲、丙合作效率是1/12。三人合作效率是(1/6+1/8+1/12)÷2=(4/24+3/24+2/24)÷2=9/48=3/16三人合作完成需要的时间是1÷3/16=16/3（天）

（二）提高练习题答案1.设甲做了x天，则乙做了（26x）天。甲的工作效率是1/20，乙的工作效率是1/30。可列方程：1/20×x+1/30×(26x)=11/20×x+26/301/30×x=11/60×x=126/301/60×x=4/30x=8（天）2.设甲的工作效率为x，乙的工作效率为y，丙的工作效率为z。根据题意可得：13×(x+y+z)=1①2z=4y=x+y②由②得：x=y，z=2y代入①得：13×(y+y+2y)=113×4y=1y=1/52x=1/52甲单独做需要52天完成。3.甲的注水效率是1/5，乙的注水效率是1/10，丙的排水效率是1/15。三管齐开2分钟完成的工作量是2×(1/5+1/101/15)=2×(6/30+3/302/30)=2×7/30=7/15还剩下的工作量是17/15=8/15关闭乙管后，甲丙合作的注水效率是1/51/15=2/15还需要的时间是8/15÷2/15=4（分钟）

（三）拓展练习题答案1.甲1小时完成1/12，乙2小时完成2×1/15=2/15，甲2小时完成2×1/12=1/6，乙1小时完成1/15。一个周期（6小时）完成的工作量是1/12+2/15+1/6+1/15=5/60+8/60+10/60+4/60=27/60=9/201÷9/20=2（周期）......2/202个周期后完成的工作量是9/20×2=9/10还剩下的工作量是19/10=1/10此时轮到甲做，甲完成剩下的1/10需要的时间是1/10÷1/12=6/5=1.2（小时）总共需要的时间是2×6+1.2=13.2（小时）2.设甲的工作效率为x，乙的工作效率为y。根据题意可得：12×(x+y)=1①3x+8y=5/12②由①得：x+y=1/12，x=1/12y代入②得：3×(1/12y)+8y=5/121/43y+8y