排列组合应用教学设计

排列组合应用教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解排列组合的概念，掌握排列数与组合数的计算公式，并能运用公式解决简单的排列组合问题。通过实际问题的分析与解决，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力，提高学生运用排列组合知识解决实际问题的能力。2.过程与方法目标经历排列组合概念的形成过程，通过观察、分析、类比等方法，引导学生自主探究排列组合的区别与联系，培养学生的归纳总结能力。在解决排列组合问题的过程中，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法，提高学生的解题策略和方法的选择能力。3.情感态度与价值观目标通过解决一些有趣的实际问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。让学生感受数学在实际生活中的广泛应用，体会数学的应用价值，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点排列组合的概念、排列数与组合数的计算公式。运用排列组合知识解决实际问题，如排队问题、分组问题、分配问题等。2.教学难点正确区分排列与组合问题，理解排列组合问题的本质特征。如何引导学生分析问题，找出问题中的关键因素，合理选择排列组合方法解决问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解排列组合的基本概念、公式和原理，使学生系统地掌握知识。2.问题驱动法：通过提出一系列问题，引导学生思考、分析和解决问题，培养学生的思维能力和创新能力。3.小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作探究，让学生在交流中互相学习、互相启发，共同提高解决问题的能力。4.案例教学法：通过实际案例的分析与讲解，让学生体会排列组合知识在实际生活中的应用，增强学生的应用意识和实践能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示问题问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，并安排他们的出场顺序，有多少种不同的安排方法？2.引导思考让学生思考这两个问题有什么不同，从而引出本节课的主题--排列组合。

（二）讲授新课（25分钟）1.排列组合的概念排列的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。组合的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。举例说明排列与组合的区别：例如，从1、2、3中选两个数组成两位数，这是排列问题，因为12和21是不同的两位数；而从1、2、3中选两个数求和，这是组合问题，因为1+2和2+1的结果是一样的。2.排列数与组合数的计算公式排列数公式：$A_{n}^m=n(n1)(n2)\cdots(nm+1)=\frac{n!}{(nm)!}$组合数公式：$C_{n}^m=\frac{A_{n}^m}{A_{m}^m}=\frac{n!}{m!(nm)!}$讲解公式的推导过程：通过列举法推导排列数公式，以从n个不同元素中取出m个元素的排列为例，第一个位置有n种选择，第二个位置有n1种选择，......，第m个位置有nm+1种选择，根据乘法原理得到排列数公式。组合数公式则是在排列数公式的基础上，由于组合不考虑顺序，所以除以m个元素的全排列数$A_{m}^m$。举例计算排列数与组合数：计算$A_{5}^3$和$C_{5}^3$的值，让学生熟悉公式的应用。

（三）课堂练习（15分钟）1.基础练习练习1：计算$A_{6}^4$和$C_{6}^4$的值。练习2：从5个不同的元素中取出3个元素的排列数是多少？组合数是多少？练习3：判断下列问题是排列问题还是组合问题，并说明理由。（1）从10名学生中选2名学生参加座谈会，有多少种不同的选法？（2）从10名学生中选2名学生分别参加数学和物理竞赛，有多少种不同的选法？（3）10个车站之间的车票有多少种？（4）10个车站之间的票价有多少种？2.小组合作练习问题：有7本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？组织学生进行小组讨论，鼓励学生尝试不同的方法解决问题。小组代表汇报讨论结果，教师进行点评和总结，讲解不同方法的思路和优缺点。

（四）知识拓展（10分钟）1.排列组合的综合应用讲解排列组合综合问题的解题原则：先组合后排列，即先根据题意确定是组合问题还是排列问题，然后再运用相应的公式进行计算。例题分析：例1：从6名男生和4名女生中，选出3名男生和2名女生分别担任五门不同学科的课代表，有多少种不同的选法？分析：先从6名男生中选3名男生，有$C_{6}^3$种选法；再从4名女生中选2名女生，有$C_{4}^2$种选法；然后将选出的5名学生进行全排列，担任五门不同学科的课代表，有$A_{5}^5$种排法。根据分步乘法计数原理，共有$C_{6}^3\timesC_{4}^2\timesA_{5}^5$种不同的选法。例2：将5个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，有多少种不同的放法？分析：先从5个小球中选出2个小球看作一个整体，与另外3个小球全排列，有$A_{4}^4$种排法；然后将这2个小球进行全排列，有$A_{2}^2$种排法。根据分步乘法计数原理，共有$C_{5}^2\timesA_{4}^4\timesA_{2}^2$种不同的放法。2.排列组合中的常见模型相邻问题--捆绑法：对于要求相邻的元素，将它们看作一个整体与其他元素进行排列，同时要注意内部元素的排列顺序。不相邻问题--插空法：对于要求不相邻的元素，先将其他元素排列好，然后在这些元素形成的空隙中插入不相邻的元素。分组分配问题：分组问题要注意是否平均分组，平均分组需要除以组数的全排列数；分配问题则是在分组的基础上，将分好的组分配到不同的对象中。举例说明常见模型的应用：例3：7人站成一排，其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？分析：将甲、乙两人看作一个整体，与其他5人全排列，有$A_{6}^6$种排法；甲、乙两人内部有$A_{2}^2$种排法。根据分步乘法计数原理，共有$A_{6}^6\timesA_{2}^2$种不同的排法。例4：7人站成一排，其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？分析：先将除甲、乙之外的5人全排列，有$A_{5}^5$种排法；5人形成6个空隙，从中选2个空隙插入甲、乙两人，有$A_{6}^2$种排法。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^5\timesA_{6}^2$种不同的排法。例5：将9个人平均分成三组，有多少种不同的分法？分析：先从9个人中选3个人为一组，有$C_{9}^3$种选法；再从剩下的6个人中选3个人为一组，有$C_{6}^3$种选法；最后剩下的3个人为一组，有$C_{3}^3$种选法。但这样分组会出现重复情况，因为这三组的顺序是无关的，所以要除以$A_{3}^3$。共有$\frac{C_{9}^3\timesC_{6}^3\timesC_{3}^3}{A_{3}^3}$种不同的分法。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括排列组合的概念、排列数与组合数的计算公式、排列组合的综合应用以及常见模型。2.让学生分享本节课的学习收获和体会，教师进行总结和补充，强调重点知识和解题方法。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业教材课后习题：第[X]页，习题[X]，第[X]、[X]、[X]题。补充作业：从8名男生和6名女生中选出5人担任班委，分别求符合下列条件的选法种数：（1）男生甲必须当选；（2）女生乙不能当选；（3）至少有2名女生当选；（4）至多有3名女生当选。2.拓展作业探究：在生活中还有哪些地方会用到排列组合知识？请举例说明，并尝试用排列组合方法解决相关问题。思考：如何用排列组合知识解决一些复杂的概率问题？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对排列组合的概念、公式和应用有了初步的理解和掌握。在教学过程中，采用问题驱动法、小组合作学习法等多种教学方法，激发了学生的学