平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计

平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量正交分解的概念，会把向量正交分解。掌握平面向量的坐标表示，能正确地写出向量的坐标。明确向量坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点坐标之间的关系，会根据向量的起点、终点坐标求向量的坐标。2.过程与方法目标通过对向量正交分解的探究，培养学生观察、分析、归纳和类比的能力。通过向量坐标表示的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生感受数学的严谨性，培养学生认真、规范的学习态度。体会数学知识之间的内在联系，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点平面向量的正交分解及坐标表示。向量坐标与点的坐标之间的关系。2.教学难点对平面向量正交分解概念的理解。向量坐标的确定，特别是当向量起点不在原点时坐标的计算。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，通过多媒体辅助教学，直观展示向量的正交分解和坐标表示，引导学生积极思考、主动探究。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问：什么是向量？向量有哪些表示方法？学生回答后，教师总结：向量是既有大小又有方向的量，可表示为有向线段、字母等。2.情境引入展示一个斜拉桥的图片，提问：桥塔对钢索的拉力可以用什么来表示？这些拉力之间有什么关系？引导学生思考向量的分解问题，从而引出本节课的主题--平面向量的正交分解及坐标表示。

（二）讲解新课（25分钟）1.平面向量的正交分解多媒体展示一个向量\(\overrightarrow{a}\)，并将其放在直角坐标系中。教师讲解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。例如，在直角坐标系中，向量\(\overrightarrow{a}\)可以分解为\(x\)轴方向的向量\(\overrightarrow{i}\)和\(y\)轴方向的向量\(\overrightarrow{j}\)，使得\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}\)，其中\(\overrightarrow{a_x}\)与\(\overrightarrow{i}\)共线，\(\overrightarrow{a_y}\)与\(\overrightarrow{j}\)共线，且\(\overrightarrow{i}\perp\overrightarrow{j}\)。让学生观察几个不同的向量，思考它们在直角坐标系中的正交分解情况，小组内交流讨论。请小组代表发言，分享小组讨论的结果，教师进行点评和总结。2.平面向量的坐标表示教师讲解：在平面直角坐标系中，分别取与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的两个单位向量\(\overrightarrow{i}\)、\(\overrightarrow{j}\)作为基底。对于平面内的任一向量\(\overrightarrow{a}\)，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数\(x\)、\(y\)，使得\(\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)。我们把有序实数对\((x,y)\)叫做向量\(\overrightarrow{a}\)的坐标，记作\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，其中\(x\)叫做\(\overrightarrow{a}\)在\(x\)轴上的坐标，\(y\)叫做\(\overrightarrow{a}\)在\(y\)轴上的坐标。结合前面向量\(\overrightarrow{a}\)的正交分解，进一步说明\(x\)、\(y\)与\(\overrightarrow{a_x}\)、\(\overrightarrow{a_y}\)的关系，即\(x\overrightarrow{i}\)是\(\overrightarrow{a_x}\)在\(x\)轴上的坐标表示，\(y\overrightarrow{j}\)是\(\overrightarrow{a_y}\)在\(y\)轴上的坐标表示。给出几个具体的向量，让学生根据上述定义写出它们的坐标，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。3.向量坐标与点的坐标之间的关系教师讲解：已知\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(\overrightarrow{AB}=(x_2x_1,y_2y_1)\)。即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。例如，已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，则\(\overrightarrow{AB}=(31,42)=(2,2)\)。让学生练习：已知\(M(2,3)\)，\(N(4,1)\)，求\(\overrightarrow{MN}\)和\(\overrightarrow{NM}\)的坐标。学生计算后，教师进行点评，强调计算过程中的注意事项。

（三）例题讲解（15分钟）例1：如图，分别用基底\(\overrightarrow{i}\)，\(\overrightarrow{j}\)表示向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)，并求出它们的坐标。

（多媒体展示图形）

解：由图可知，\(\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\)，所以\(\overrightarrow{a}=(3,2)\)；\(\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\)，所以\(\overrightarrow{b}=(2,3)\)；\(\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i}2\overrightarrow{j}\)，所以\(\overrightarrow{c}=(3,2)\)。

例2：已知\(\overrightarrow{a}=(2,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，\(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\)的坐标。

解：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2+(3),1+4)=(1,5)\)；\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(2(3),14)=(5,3)\)；\(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}=3(2,1)+4(3,4)=(6,3)+(12,16)=(6,19)\)。

教师引导学生分析例题，讲解解题思路和步骤，强调向量运算的坐标法则。让学生模仿例题进行练习，巩固所学知识。

（四）课堂练习（10分钟）1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(3,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,5)\)，求\(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)的坐标。2.已知\(A(2,3)\)，\(B(1,4)\)，求\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{BA}\)的坐标。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,1)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，求\(x\)的值。

学生独立完成练习，教师巡视，及时发现学生存在的问题并进行个别指导。练习结束后，请学生上台展示答案，教师进行点评和总结。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括平面向量的正交分解、坐标表示以及向量坐标与点的坐标之间的关系。2.请学生谈谈本节课的收获和体会，教师进行补充和完善。3.强调本节课的重点和难点，让学生在课后继续巩固复习。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材第100页练习第1、2、3题。2.拓展作业：已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，当\(x\)为何值时，\(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)与\(2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)平行？并求出此时它们的夹角。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对平面向量的正交分解及坐标表示有了一定的理解和掌握。在教学过程中，采用了多种教学方法相结合，如讲授法、讨论法、探究法等，