2.2.1 向量的加法运算（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）

教学目标2.2.1向量的加法运算教学目标1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；教学教学重难点教学重点：向量加法的运算及其几何意义.教学难点：向量加法运算的几何意义．教学工具教材分析本节教材一是通过具体实例引入向量加法的定义，二是掌握向量加法的几何意义，熟练利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则求向量的和．教学工具教材分析教学课件教学教学过程（一）情境导入我们知道，数可以进行加法和减法运算．那么,向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？人们通过对位移等向量的研究发现，向量可以进行加法和减法及数乘等运算．向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算．家住昆明的小张打算自驾去成都旅游，出发前查看交通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，所以改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都．小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地．试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都．因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和．【设计意图】从生活实例出发，使学生自然地走向知识点，激发学生学习兴趣.（二）探索新知一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次作AB=a，BC=b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和，也称AC为向量a与向量b的和向量，记作a+b,如图所示．即a+b=AC=AB+BC．用视频演示和向量.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法,称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时,在平面上任取一点A,依次作，,得到一个新的向量,称向量为向量a与向量b的和,记作a+b.规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0.由上面的分析可知,表示各个向量的有向线段首尾相接,由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量,这是向量加法的几何意义,如右图所示.【设计意图】带领学生分析,引导式启发学生得出结果.仔细分析关键词语“首尾相接“加深记忆.（三）典例剖析例1.如图所示,在▱ABCD中,用向量AB,AD表示向量AC

解:根据向量加法的三角形法则可知，AC

=AB+BC．又因为▱ABCD中，AD

=BC

，所以，AC

=AB一般地,给定两个非零向量AB,AD，以线段AB和AD为邻边作▱ABCD,则向量AC就是向量AB,AD的和,这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)=a+(b+c).(结合律)例2.如图，已知a、b，求作a＋b．解:(1)运用三角形法则.如图所示,在平面内任取一点A，作AB=a,BC=b,则甲AC

=a＋b，乙AC

=a甲＝a＋b乙＝a＋b(2)运用平行四边形法则.如图所示,在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形，则向量OC=a＋b.乙图不能用运用平行四边形法则作出.三角形法则与平行四边形法则的区别与联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定．例3.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km．则飞机飞行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；两次飞行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))．依题意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°．所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2)＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°．【设计意图】通过例题进一步领会理解掌握,观察学生是否理解知识点.（四）巩固练习1．如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．解:如下图中(1)、(2)所示，首先作OA＝a，然后作AB＝b，则OB＝a＋b．2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＝______；(2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝______；(3)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FC,\s\up16(→))＝______．3．向量(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→)))＋(eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(OM,\s\up16(→))化简结果为 ()A．eq\o(BC,\s\up16(→)) B．eq\o(AB,\s\up16(→))C．eq\o(AC,\s\up16(→)) D．eq\o(AM,\s\up16(→))解：原式＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))＝eq\o(AM,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))．4.如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，设eq\o(CE,\s\up16(→))、eq\o(CF,\s\up16(→))分别表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up16(→))表示，则eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＝eq\o(CG,\s\up16(→))．易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，∴|eq\o(CE,\s\up16(→))|＝|eq\o(CG,\s\up16(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)．|eq\o(CF,\s\up16(→))|＝|eq