2024-2025学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式教学实录 新人教A版选修4-5

2024-2025学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式教学实录新人教A版选修4-5授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容教学内容：2024-2025学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式

新人教A版选修4-5

具体内容：本节课主要讲解基本不等式的定义、性质及其应用。包括基本不等式的形式、证明方法以及解决实际问题的应用。通过实例分析和课堂练习，帮助学生理解和掌握基本不等式的使用技巧，为后续学习不等式理论打下坚实基础。核心素养目标1.发展数学抽象能力，通过理解基本不等式的概念和性质，培养学生从具体情境中抽象出数学模型的能力。

2.培养逻辑推理能力，引导学生运用演绎推理证明基本不等式的性质，提高逻辑思维的严谨性。

3.增强数学建模意识，让学生在解决实际问题时，能够运用基本不等式建立数学模型，并分析模型的有效性。

4.提升数学运算能力，通过练习不等式的运算，提高学生准确、快速进行数学运算的能力。

5.培养学生的数学应用意识，使学生认识到数学在解决实际问题中的价值，激发学习数学的兴趣。教学难点与重点1.教学重点：

-明确基本不等式的概念：包括均值不等式和算术平均数与几何平均数不等式，重点强调这些不等式的适用范围和基本性质。

-理解不等式的证明方法：重点讲解如何利用综合法、分析法、反证法等证明基本不等式的性质，例如证明均值不等式时，需要理解并应用算术平均数和几何平均数的关系。

-掌握基本不等式的应用：重点练习如何运用基本不等式解决实际问题，如最大化问题、最小化问题等，举例说明如何在解题过程中识别和应用基本不等式。

2.教学难点：

-理解不等式证明的严谨性：学生在证明过程中可能会遇到逻辑推理的困难，难点在于如何确保每一步推理的准确性，避免逻辑错误。

-灵活运用基本不等式：学生需要在各种实际问题中识别出哪些可以使用基本不等式来解决，难点在于如何根据问题的特点选择合适的公式。

-解题思路的拓展：学生在解决复杂问题时，可能会陷入思维定式，难点在于如何开拓解题思路，运用基本不等式的变形或变式来解决问题。

-实际问题的抽象与建模：难点在于如何从具体问题中提取关键信息，抽象出数学模型，并运用基本不等式进行求解。例如，在解决优化问题时，需要理解变量之间的关系，并正确设置目标函数和约束条件。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解基本不等式的概念、性质和证明方法，确保学生掌握基础知识。

2.讨论法：组织学生围绕具体问题进行讨论，鼓励学生提出自己的见解，培养学生的批判性思维。

3.案例分析法：通过分析典型例题，引导学生理解基本不等式的应用，提高解题能力。

教学手段：

1.多媒体辅助教学：利用PPT展示不等式的图形和动画，帮助学生直观理解不等式的性质。

2.互动式教学软件：使用教学软件进行互动练习，提高学生的参与度和学习效果。

3.实物教具：使用几何图形、数轴等实物教具，帮助学生更好地理解不等式的几何意义。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，如“阅读并理解基本不等式的定义和性质”。

设计预习问题：围绕基本不等式，设计问题如“如何证明算术平均数与几何平均数不等式？”和“基本不等式在哪些实际问题中有应用？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照预习要求，阅读资料，理解基本不等式的概念和性质。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，例如尝试证明一个不等式的性质。

提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生通过自学掌握基本不等式的基础知识。

信息技术手段：利用在线平台和微信群，方便学生获取预习资料和进行交流。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过一个实际应用案例，如“如何比较两个数的平方根大小？”来引入基本不等式。

讲解知识点：详细讲解基本不等式的证明方法，如使用综合法证明均值不等式。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分组证明基本不等式，并分享证明过程。

解答疑问：针对学生在讨论中提出的问题，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考基本不等式的证明过程。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，尝试证明基本不等式。

提问与讨论：学生提出自己的疑问，并与其他同学进行讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解帮助学生理解基本不等式的证明方法。

实践活动法：通过小组活动，让学生在实践中掌握证明技能。

合作学习法：通过小组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置包含基本不等式应用的习题，如“求解不等式组”或“证明不等式”。

提供拓展资源：提供相关的数学竞赛题目或实际应用案例，如“如何应用基本不等式解决优化问题？”

反馈作业情况：及时批改作业，提供反馈，帮助学生发现错误和不足。

学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，巩固课堂所学。

拓展学习：学生利用拓展资源，进一步学习基本不等式的应用。

反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思，例如总结在证明过程中遇到的困难和解决方法。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生通过完成作业和拓展学习，自主提升能力。

反思总结法：通过反思，帮助学生总结经验，提高学习效率。

作用与目的：

通过课前预习和课后拓展，确保学生对基本不等式有全面的理解和应用能力。教学资源拓展1.拓展资源：

-基本不等式的历史背景：介绍基本不等式的发展历程，包括历史上著名的不等式证明，如欧几里得不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

-不等式的应用领域：探讨不等式在数学各个分支以及实际生活中的应用，如物理学中的能量守恒、经济学中的成本效益分析等。

-不等式的变式和推广：介绍基本不等式的变式，如调和平均数不等式、加权平均数不等式等，以及不等式的推广，如广义不等式、积分不等式等。

-不等式证明的技巧：收集和整理各种不等式证明的技巧，如放缩法、构造法、反证法等，并分析其适用条件和局限性。

-不等式与函数的关系：研究不等式与函数之间的关系，如利用不等式研究函数的极值、连续性等性质。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐阅读《数学分析基础》、《不等式理论及其应用》等书籍，加深对不等式理论的理解。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛，通过竞赛锻炼解决实际问题的能力。

-观看教学视频：推荐观看《数学之美》、《数学分析》等教学视频，通过视频学习不等式的应用和证明技巧。

-实践项目研究：组织学生参与实践项目，如设计一个利用不等式解决实际问题的项目，提高学生的综合运用能力。

-开展小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享对不等式证明和应用的理解，培养学生的团队合作和沟通能力。

-制作教学课件：鼓励学生制作关于不等式的教学课件，通过制作过程加深对知识的理解和掌握。

-参考网络资源：引导学生利用网络资源，如数学论坛、在线课程等，拓宽知识面，学习更多相关内容。

-撰写学习心得：要求学生撰写关于不等式的学习心得，总结学习过程中的收获和体会，提高学习的深度和广度。课后作业1.证明以下不等式：

已知：\(a>0,b>0,c>0\)

证明：\(a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}\)

答案：由算术平均数与几何平均数不等式得：

\[

\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}

\]

两边同时乘以3得：

\[

a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}

\]

当且仅当\(a=b=c\)时取等号。

2.设\(x,y,z\)是实数，且\(x+y+z=3\)，证明：

\(xy+yz+zx\geq3\)

答案：由平方和公式得：

\[

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=9

\]

即：

\[

x^2+y^2+z^2=9-2(xy+yz+zx)

\]

由均值不等式得：

\[

\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq\sqrt[3]{x^2y^2z^2}

\]

即：

\[

9-2(xy+yz+zx)\geq3(xyz)^{\frac{2}{3}}

\]

整理得：

\[

2(xy+yz+zx)\leq9-3(xyz)^{\frac{2}{3}}

\]

即：

\[

xy+yz+zx\geq3

\]

当且仅当\(x=y=z=1\)时取等号。

3.求函数\(f(x)=x^2+4x+3\)的最小值。

答案：因为\(f(x)\)是二次函数，所以最小值在对称轴处取得，即\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\)。

将\(x=-2\)代入函数得\(f(-2)=(-2)^2+4(-2)+3=4-8+3=-1\)。

所以，函数的最小值是\(-1\)。

4.证明\((1+a)(1+b)(1+c)\geq8\)（其中\(a,b,c\)为实数）。

答案：由算术平均数与几何平均数不等式得：

\[

\frac{1+a+b+c}{4}\geq\sqrt[4]{(1+a)(1+b)(1+c)(1+c)}

\]

整理得：

\[

(1+a)(1+b)(1+c)\geq8

\]

当且仅当\(a=b=c=-1\)时取等号。

5.求函数\(f(x)=2x^2-3x+1\)的最大值和最小值。

答案：函数\(f(x)\)是一个开口向上的二次函数，所以最小值在对称轴处取得，即\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot2}=\frac{3}{4}\)。

将\(x=\frac{3}{4}\)代入函数得\(f\left(\frac{3}{4}\right)=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\left(\frac{3}{4}\right)+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}\)。

函数无最大值，因为开口向上。

对于最小值，因为\(x=\frac{3}{4}\)时取得最小值，所以最小值为\(\frac{1}{8}\)。教学反思与总结今天的课，我带大家学习了高中数学选修4-5中的基本不等式。这节课的内容对我来说是一次挑战，同时也是一次收获。

首先，我觉得我在教学方法上做得还不错。我尽量通过实例和故事来引入新知识，比如通过一个实际问题来引入基本不等式的概念，让学生能够直观地感受到数学与生活的联系。我发现，这样的教学方法能够激发学生的兴趣，让他们更加主动地参与到课堂中来。

在讲解基本不等式的性质和证明方法时，我尽量用简单易懂的语言，结合图形和数轴来帮助学生理解。比如，在讲解算术平均数与几何平均数不等式时，我用了几个简单的例子，让学生看到不等式是如何应用的。我觉得这种教学方法对于学生理解抽象的数学概念很有帮助。

但是，我也发现了一些不足。比如，在讲解证明方法时，有的学生还是不太能跟上我的思路，这说明我在讲解时可能没有做到让每个学生都能听懂。在今后的教学中，我需要更加注重个别辅导，帮助那些理解有困难的学生。

在课堂管理方面，我注意到一些学生参与度不高，可能是因为他们对这个知识点不够感兴趣或者有畏难情绪。针对这个问题，我打算在接下来的教学中，多设计一些互动环节，比如小组讨论、角色扮演等，让学生在活动中学习，提高他们的参与度。

最后，我想提出一些建议和改进措施。首先，我会在今后的教学中更加注重学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，采取不同的教学方法。其次，我会多设计一些实践活动，让学生在实际操作中提高解决问题的能力。此外，我还将加强与学生的沟通，了解他们的学习需求和困难，及时调整教学策略。作业布置与反馈作业布置：

为了巩固学生对基本不等式的理解，提高他们的应用能力，以下是我布置的作业：

1.完成教材中的练习题，包括证明基本不等式的性质、应用基本不等式解决实际问题等。

2.选择至少两个实际问题，尝试运用基本不等式进行建模和求解。

3.设计一个关于基本不等式的教学案例，包括问题背景、解题思路、解题步骤和总结。

4.搜集并整理与基本不等式相关的数学历史资料，撰写一篇简短的报告。

作业反馈：

1.批改作业时